Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpaddcl Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: Homogeneous polynomials are closed under addition. (Contributed by SN, 26-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpaddcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpaddcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mhpaddcl (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻𝑁))

Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpaddcl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpaddcl.p . 2 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2824 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 eqid 2824 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2824 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 mhpaddcl.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 mhpaddcl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
92mplgrp 20698 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
106, 7, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
11 mhpaddcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
121, 2, 3, 6, 7, 8, 11mhpmpl 20804 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
13 mhpaddcl.y . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝐻𝑁))
141, 2, 3, 6, 7, 8, 13mhpmpl 20804 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
15 mhpaddcl.a . . . 4 + = (+g𝑃)
163, 15grpcl 18113 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
1710, 12, 14, 16syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
18 eqid 2824 . . . . . 6 (+g𝑅) = (+g𝑅)
192, 3, 18, 15, 12, 14mpladd 20689 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋f (+g𝑅)𝑌))
2019oveq1d 7166 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g𝑅)) = ((𝑋f (+g𝑅)𝑌) supp (0g𝑅)))
21 ovexd 7186 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕ0m 𝐼) ∈ V)
225, 21rabexd 5223 . . . . 5 (𝜑 → { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
23 eqid 2824 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2423, 4grpidcl 18133 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
257, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
262, 23, 3, 5, 12mplelf 20680 . . . . 5 (𝜑𝑋:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
272, 23, 3, 5, 14mplelf 20680 . . . . 5 (𝜑𝑌:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
2823, 18, 4grplid 18135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
297, 25, 28syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3022, 25, 26, 27, 29suppofssd 7865 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋f (+g𝑅)𝑌) supp (0g𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g𝑅))))
3120, 30eqsstrd 3991 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g𝑅))))
321, 4, 5, 6, 7, 8, 11mhpdeg 20805 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
331, 4, 5, 6, 7, 8, 13mhpdeg 20805 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3432, 33unssd 4148 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 supp (0g𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g𝑅))) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3531, 34sstrd 3963 . 2 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
361, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 35ismhp2 20803 1 (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  {crab 3137  Vcvv 3480   ∪ cun 3917  ◡ccnv 5542   “ cima 5546  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151   ∘f cof 7403   supp csupp 7828   ↑m cmap 8404  Fincfn 8507  ℕcn 11636  ℕ0cn0 11896  Basecbs 16485   ↾s cress 16486  +gcplusg 16567  0gc0g 16715   Σg cgsu 16716  Grpcgrp 18105  ℂfldccnfld 20100   mPoly cmpl 20600   mHomP cmhp 20790 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7405  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-subg 18278  df-psr 20603  df-mpl 20605  df-mhp 20794 This theorem is referenced by:  mhpsubg  20810
 Copyright terms: Public domain W3C validator