Theorem mhpaddcl 21913

Description: Homogeneous polynomials are closed under addition. (Contributed by SN, 26-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpaddcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpaddcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpaddcl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpaddcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpaddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpaddcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpaddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpaddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpaddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpaddcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpaddcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpaddcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2732	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2732	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2732	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpaddcl.i	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		mhpaddcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		mhpaddcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9	2	mplgrp 21795	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
10	6, 7, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
11		mhpaddcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
12	1, 2, 3, 6, 7, 8, 11	mhpmpl 21906	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
13		mhpaddcl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))
14	1, 2, 3, 6, 7, 8, 13	mhpmpl 21906	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
15		mhpaddcl.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
16	3, 15	grpcl 18863	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
17	10, 12, 14, 16	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	2, 3, 18, 15, 12, 14	mpladd 21787	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
20	19	oveq1d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)))
21		ovexd 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
22	5, 21	rabexd 5333	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
23		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	23, 4	grpidcl 18886	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	7, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26	2, 23, 3, 5, 12	mplelf 21776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
27	2, 23, 3, 5, 14	mplelf 21776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
28	23, 18, 4	grplid 18888	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	7, 25, 28	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	22, 25, 26, 27, 29	suppofssd 8190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
31	20, 30	eqsstrd 4020	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
32	1, 4, 5, 6, 7, 8, 11	mhpdeg 21907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
33	1, 4, 5, 6, 7, 8, 13	mhpdeg 21907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
34	32, 33	unssd 4186	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
35	31, 34	sstrd 3992	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
36	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 17, 35	ismhp2 21904	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   ∪ cun 3946  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘_f cof 7670   supp csupp 8148   ↑_m cmap 8822  Fincfn 8941  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  +_gcplusg 17201  0_gc0g 17389   Σ_g cgsu 17390  Grpcgrp 18855  ℂ_fldccnfld 21144   mPoly cmpl 21678   mHomP cmhp 21891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-psr 21681  df-mpl 21683  df-mhp 21895

This theorem is referenced by:  mhpsubg  21915  mhpind  41468