Theorem mhpaddcl 22145

Description: Homogeneous polynomials are closed under addition. (Contributed by SN, 26-Aug-2023.) Remove sethood hypothesis. (Revised by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpaddcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpaddcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpaddcl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpaddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpaddcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpaddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpaddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpaddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpaddcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpaddcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpaddcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2726	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2726	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2726	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		reldmmhp 22132	. . 3 ⊢ Rel dom mHomP
7		mhpaddcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
8	6, 1, 7	elfvov1 7466	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
9		mhpaddcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10		mhpaddcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	2	mplgrp 22026	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
12	8, 9, 11	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
13	1, 2, 3, 8, 9, 10, 7	mhpmpl 22138	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14		mhpaddcl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))
15	1, 2, 3, 8, 9, 10, 14	mhpmpl 22138	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
16		mhpaddcl.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
17	3, 16	grpcl 18936	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
18	12, 13, 15, 17	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
19		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
20	2, 3, 19, 16, 13, 15	mpladd 22018	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
21	20	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)))
22		ovexd 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
23	5, 22	rabexd 5340	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
24		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
25	24, 4	grpidcl 18960	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26	9, 25	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
27	2, 24, 3, 5, 13	mplelf 22007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
28	2, 24, 3, 5, 15	mplelf 22007	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
29	24, 19, 4	grplid 18962	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	9, 26, 29	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
31	23, 26, 27, 28, 30	suppofssd 8218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
32	21, 31	eqsstrd 4018	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
33	1, 4, 5, 8, 9, 10, 7	mhpdeg 22139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
34	1, 4, 5, 8, 9, 10, 14	mhpdeg 22139	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
35	33, 34	unssd 4187	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
36	32, 35	sstrd 3990	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
37	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 18, 36	ismhp2 22136	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3419  Vcvv 3462   ∪ cun 3945  ^◡ccnv 5681   “ cima 5685  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7688   supp csupp 8174   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8974  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17213   ↾_s cress 17242  +_gcplusg 17266  0_gc0g 17454   Σ_g cgsu 17455  Grpcgrp 18928  ℂ_fldccnfld 21343   mPoly cmpl 21903   mHomP cmhp 22124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-sup 9485  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13539  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-hom 17290  df-cco 17291  df-0g 17456  df-prds 17462  df-pws 17464  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-grp 18931  df-minusg 18932  df-subg 19117  df-psr 21906  df-mpl 21908  df-mhp 22131

This theorem is referenced by:  mhpsubg  22147  mhpind  42066