Theorem mhpaddcl 22380

Description: Homogeneous polynomials are closed under addition. (Contributed by SN, 26-Aug-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpaddcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpaddcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpaddcl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpaddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpaddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpaddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpaddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpaddcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpaddcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpaddcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2760	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpaddcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	1, 6	mhprcl 22372	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		mhpaddcl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
9		reldmmhp 22366	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
10	9, 1, 6	elfvov1 7456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		mhpaddcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12	2	mplgrp 22232	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
14	1, 2, 3, 6	mhpmpl 22373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15		mhpaddcl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))
16	1, 2, 3, 15	mhpmpl 22373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
17	3, 8, 13, 14, 16	grpcld 19072	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	2, 3, 18, 8, 14, 16	mpladd 22224	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
20	19	oveq1d 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)))
21		ovexd 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
22	5, 21	rabexd 5304	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	23, 4	grpidcl 19090	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	11, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26	2, 23, 3, 5, 14	mplelf 22213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
27	2, 23, 3, 5, 16	mplelf 22213	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
28	23, 18, 4, 11, 25	grplidd 19094	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	22, 25, 26, 27, 28	suppofssd 8202	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
30	20, 29	eqsstrd 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
31	1, 4, 5, 6	mhpdeg 22374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
32	1, 4, 5, 15	mhpdeg 22374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
33	31, 32	unssd 4138	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
34	30, 33	sstrd 3941	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
35	1, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 34	ismhp2 22370	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3412  Vcvv 3450   ∪ cun 3897  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677   supp csupp 8159   ↑_m cmap 8827  Fincfn 8953  ℕcn 12258  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17302   ↾_s cress 17323  +_gcplusg 17343  0_gc0g 17525   Σ_g cgsu 17526  Grpcgrp 19058  ℂ_fldccnfld 21586   mPoly cmpl 22122   mHomP cmhp 22362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-subg 19247  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-mhp 22365

This theorem is used by:  mhpsubg  22382  mhpind  43441