Theorem mhpaddcl 22481

Description: Homogeneous polynomials are closed under addition. (Contributed by SN, 26-Aug-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpaddcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpaddcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpaddcl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpaddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpaddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpaddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpaddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpaddcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpaddcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpaddcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2760	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpaddcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	1, 6	mhprcl 22473	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		mhpaddcl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑃)
9		reldmmhp 22467	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
10	9, 1, 6	elfvov1 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		mhpaddcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12	2	mplgrp 22333	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
14	1, 2, 3, 6	mhpmpl 22474	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15		mhpaddcl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))
16	1, 2, 3, 15	mhpmpl 22474	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
17	3, 8, 13, 14, 16	grpcld 19167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
18		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	2, 3, 18, 8, 14, 16	mpladd 22325	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
20	19	oveq1d 7439	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)))
21		ovexd 7459	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
22	5, 21	rabexd 5301	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
23		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	23, 4	grpidcl 19185	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	11, 24	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26	2, 23, 3, 5, 14	mplelf 22314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
27	2, 23, 3, 5, 16	mplelf 22314	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
28	23, 18, 4, 11, 25	grplidd 19189	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	22, 25, 26, 27, 28	suppofssd 8228	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
30	20, 29	eqsstrd 3943	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
31	1, 4, 5, 6	mhpdeg 22475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
32	1, 4, 5, 15	mhpdeg 22475	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
33	31, 32	unssd 4189	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
34	30, 33	sstrd 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
35	1, 2, 3, 4, 5, 7, 17, 34	ismhp2 22471	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ∪ cun 4148  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ∘_f cof 7695   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8981  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  +_gcplusg 17437  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  Grpcgrp 19153  ℂ_fldccnfld 21687   mPoly cmpl 22223   mHomP cmhp 22463

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-subg 19342  df-psr 22226  df-mpl 22228  df-mhp 22466

This theorem is used by:  mhpsubg  22483  mhpind  43759