Theorem mhpaddcl 20334

Description: Homogeneous polynomials are closed under addition. (Contributed by SN, 26-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpaddcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpaddcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpaddcl.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpaddcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpaddcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpaddcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpaddcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpaddcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpaddcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpaddcl

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpaddcl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		mhpaddcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
3		mhpaddcl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4	3	mplgrp 20226	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
5	1, 2, 4	syl2anc 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
6		mhpaddcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
7		eqid 2820	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8		mhpaddcl.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		mhpaddcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
10	6, 3, 7, 1, 2, 8, 9	mhpmpl 20331	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11		mhpaddcl.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐻‘𝑁))
12	6, 3, 7, 1, 2, 8, 11	mhpmpl 20331	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘𝑃))
13		mhpaddcl.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑃)
14	7, 13	grpcl 18107	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
15	5, 10, 12, 14	syl3anc 1366	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃))
16		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17	3, 7, 16, 13, 10, 12	mpladd 20218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) = (𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌))
18	17	oveq1d 7168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) = ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)))
19		eqid 2820	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
20		ovexd 7188	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
21	19, 20	rabexd 5233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
22		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23		eqid 2820	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
24	22, 23	grpidcl 18127	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
25	2, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
26	3, 22, 7, 19, 10	mplelf 20209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
27	3, 22, 7, 19, 12	mplelf 20209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
28	22, 16, 23	grplid 18129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	2, 25, 28	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝑅)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	21, 25, 26, 27, 29	suppofssd 7864	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ∘f (+g‘𝑅)𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
31	18, 30	eqsstrd 4002	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))))
32	6, 23, 19, 1, 2, 8, 9	mhpdeg 20332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
33	6, 23, 19, 1, 2, 8, 11	mhpdeg 20332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑌 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
34	32, 33	unssd 4159	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 supp (0g‘𝑅)) ∪ (𝑌 supp (0g‘𝑅))) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
35	31, 34	sstrd 3974	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
36	6, 3, 7, 23, 19, 1, 2, 8	ismhp 20330	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ((𝑋 + 𝑌) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝑋 + 𝑌) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})))
37	15, 35, 36	mpbir2and 711	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3141  Vcvv 3493   ∪ cun 3931   ⊆ wss 3933  ^◡ccnv 5551   “ cima 5555  ‘cfv 6352  (class class class)co 7153   ∘_f cof 7404   supp csupp 7827   ↑_m cmap 8403  Fincfn 8506  ℕcn 11635  ℕ₀cn0 11895  Σcsu 15038  Basecbs 16479  +_gcplusg 16561  0_gc0g 16709  Grpcgrp 18099   mPoly cmpl 20129   mHomP cmhp 20318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7458  ax-cnex 10590  ax-resscn 10591  ax-1cn 10592  ax-icn 10593  ax-addcl 10594  ax-addrcl 10595  ax-mulcl 10596  ax-mulrcl 10597  ax-mulcom 10598  ax-addass 10599  ax-mulass 10600  ax-distr 10601  ax-i2m1 10602  ax-1ne0 10603  ax-1rid 10604  ax-rnegex 10605  ax-rrecex 10606  ax-cnre 10607  ax-pre-lttri 10608  ax-pre-lttrn 10609  ax-pre-ltadd 10610  ax-pre-mulgt0 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4465  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4836  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5457  df-eprel 5462  df-po 5471  df-so 5472  df-fr 5511  df-we 5513  df-xp 5558  df-rel 5559  df-cnv 5560  df-co 5561  df-dm 5562  df-rn 5563  df-res 5564  df-ima 5565  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7111  df-ov 7156  df-oprab 7157  df-mpo 7158  df-of 7406  df-om 7578  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-oadd 8103  df-er 8286  df-map 8405  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8831  df-pnf 10674  df-mnf 10675  df-xr 10676  df-ltxr 10677  df-le 10678  df-sub 10869  df-neg 10870  df-nn 11636  df-2 11698  df-3 11699  df-4 11700  df-5 11701  df-6 11702  df-7 11703  df-8 11704  df-9 11705  df-n0 11896  df-z 11980  df-uz 12242  df-fz 12891  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-tset 16580  df-0g 16711  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-subg 18272  df-psr 20132  df-mpl 20134  df-mhp 20322

This theorem is referenced by:  mhpsubg  20336