Theorem mhphf3 42575

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf2 42574 with the finite support restriction (frlmpws 21675, frlmbas 21680) on the assignments 𝐴 from variables to values. See comment of mhphf2 42574. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf3.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf3.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf3.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf3.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf3.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf3.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf3.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf3.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf3	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
2		mhphf3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
3		mhphf3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		reldmmhp 22040	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
5		mhphf3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
6		mhphf3.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	4, 5, 6	elfvov1 7395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		mhphf3.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9	3	subrgss 20475	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
11		mhphf3.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12	10, 11	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
13		mhphf3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
14		mhphf3.b	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
15		mhphf3.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
16	1, 2, 3, 7, 12, 13, 14, 15	frlmvscafval 21691	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
17	16	fveq2d 6830	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
18		mhphf3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
19		mhphf3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
20		mhphf3.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
21		mhphf3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
22	1, 3, 2	frlmbasmap 21684	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
23	7, 13, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
24	18, 5, 19, 3, 15, 20, 21, 8, 11, 6, 23	mhphf 42573	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
25	17, 24	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3438   ⊆ wss 3905  {csn 4579   × cxp 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ∘_f cof 7615   ↑_m cmap 8760  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  ._rcmulr 17180   ·_𝑠 cvsca 17183  ._gcmg 18964  mulGrpcmgp 20043  CRingccrg 20137  SubRingcsubrg 20472   freeLMod cfrlm 21671   evalSub ces 21995   mHomP cmhp 22032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-sup 9351  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-prds 17369  df-pws 17371  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-submnd 18676  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-lmod 20783  df-lss 20853  df-lsp 20893  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-cnfld 21280  df-dsmm 21657  df-frlm 21672  df-assa 21778  df-asp 21779  df-ascl 21780  df-psr 21834  df-mvr 21835  df-mpl 21836  df-evls 21997  df-mhp 22039

This theorem is referenced by:  mhphf4  42576