Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphf3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphf3 42587
Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf2 42586 with the finite support restriction (frlmpws 21762, frlmbas 21767) on the assignments 𝐴 from variables to values. See comment of mhphf2 42586. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhphf3.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf3.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf3.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
mhphf3.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf3.f 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf3.m 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf3.b = ( ·𝑠𝐹)
mhphf3.x · = (.r𝑆)
mhphf3.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf3.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mhphf3.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf3.l (𝜑𝐿𝑅)
mhphf3.p (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
mhphf3.a (𝜑𝐴𝑀)
Assertion
Ref Expression
mhphf3 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf3
StepHypRef Expression
1 mhphf3.f . . . 4 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
2 mhphf3.m . . . 4 𝑀 = (Base‘𝐹)
3 mhphf3.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑆)
4 reldmmhp 22133 . . . . 5 Rel dom mHomP
5 mhphf3.h . . . . 5 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
6 mhphf3.p . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
74, 5, 6elfvov1 7471 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
8 mhphf3.r . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
93subrgss 20564 . . . . . 6 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐾)
108, 9syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅𝐾)
11 mhphf3.l . . . . 5 (𝜑𝐿𝑅)
1210, 11sseldd 3983 . . . 4 (𝜑𝐿𝐾)
13 mhphf3.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑀)
14 mhphf3.b . . . 4 = ( ·𝑠𝐹)
15 mhphf3.x . . . 4 · = (.r𝑆)
161, 2, 3, 7, 12, 13, 14, 15frlmvscafval 21778 . . 3 (𝜑 → (𝐿 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
1716fveq2d 6908 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
18 mhphf3.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
19 mhphf3.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
20 mhphf3.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
21 mhphf3.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
221, 3, 2frlmbasmap 21771 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐴𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
237, 13, 22syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
2418, 5, 19, 3, 15, 20, 21, 8, 11, 6, 23mhphf 42585 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
2517, 24eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3479  wss 3950  {csn 4624   × cxp 5681  cfv 6559  (class class class)co 7429  f cof 7692  m cmap 8862  Basecbs 17243  s cress 17270  .rcmulr 17294   ·𝑠 cvsca 17297  .gcmg 19081  mulGrpcmgp 20133  CRingccrg 20227  SubRingcsubrg 20561   freeLMod cfrlm 21758   evalSub ces 22088   mHomP cmhp 22125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228  ax-addf 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-isom 6568  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-of 7694  df-ofr 7695  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-supp 8182  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8502  df-2o 8503  df-er 8741  df-map 8864  df-pm 8865  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9398  df-sup 9478  df-oi 9546  df-card 9975  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-3 12326  df-4 12327  df-5 12328  df-6 12329  df-7 12330  df-8 12331  df-9 12332  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12875  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-ress 17271  df-plusg 17306  df-mulr 17307  df-starv 17308  df-sca 17309  df-vsca 17310  df-ip 17311  df-tset 17312  df-ple 17313  df-ds 17315  df-unif 17316  df-hom 17317  df-cco 17318  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17625  df-mrc 17626  df-acs 17628  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mhm 18792  df-submnd 18793  df-grp 18950  df-minusg 18951  df-sbg 18952  df-mulg 19082  df-subg 19137  df-ghm 19227  df-cntz 19331  df-cmn 19796  df-abl 19797  df-mgp 20134  df-rng 20146  df-ur 20175  df-srg 20180  df-ring 20228  df-cring 20229  df-rhm 20464  df-subrng 20538  df-subrg 20562  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-lsp 20962  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-cnfld 21357  df-dsmm 21744  df-frlm 21759  df-assa 21865  df-asp 21866  df-ascl 21867  df-psr 21921  df-mvr 21922  df-mpl 21923  df-evls 22090  df-mhp 22132
This theorem is referenced by:  mhphf4  42588
  Copyright terms: Public domain W3C validator