Theorem mhphf3 42757

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf2 42756 with the finite support restriction (frlmpws 21696, frlmbas 21701) on the assignments 𝐴 from variables to values. See comment of mhphf2 42756. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf3.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf3.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf3.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf3.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf3.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf3.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf3.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf3.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf3	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
2		mhphf3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
3		mhphf3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		reldmmhp 22071	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
5		mhphf3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
6		mhphf3.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	4, 5, 6	elfvov1 7397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		mhphf3.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9	3	subrgss 20496	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
11		mhphf3.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12	10, 11	sseldd 3931	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
13		mhphf3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
14		mhphf3.b	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
15		mhphf3.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
16	1, 2, 3, 7, 12, 13, 14, 15	frlmvscafval 21712	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
17	16	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
18		mhphf3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
19		mhphf3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
20		mhphf3.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
21		mhphf3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
22	1, 3, 2	frlmbasmap 21705	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
23	7, 13, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
24	18, 5, 19, 3, 15, 20, 21, 8, 11, 6, 23	mhphf 42755	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
25	17, 24	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ⊆ wss 3898  {csn 4577   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617   ↑_m cmap 8759  Basecbs 17127   ↾_s cress 17148  ._rcmulr 17169   ·_𝑠 cvsca 17172  ._gcmg 18988  mulGrpcmgp 20066  CRingccrg 20160  SubRingcsubrg 20493   freeLMod cfrlm 21692   evalSub ces 22018   mHomP cmhp 22063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-ofr 7620  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-sup 9337  df-oi 9407  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-seq 13916  df-hash 14245  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-mhm 18699  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-mulg 18989  df-subg 19044  df-ghm 19133  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-srg 20113  df-ring 20161  df-cring 20162  df-rhm 20399  df-subrng 20470  df-subrg 20494  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-sra 21116  df-rgmod 21117  df-cnfld 21301  df-dsmm 21678  df-frlm 21693  df-assa 21799  df-asp 21800  df-ascl 21801  df-psr 21856  df-mvr 21857  df-mpl 21858  df-evls 22020  df-mhp 22070

This theorem is referenced by:  mhphf4  42758