Theorem mhphf3 42580

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf2 42579 with the finite support restriction (frlmpws 21665, frlmbas 21670) on the assignments 𝐴 from variables to values. See comment of mhphf2 42579. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf3.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf3.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf3.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf3.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf3.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf3.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf3.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf3.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf3	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
2		mhphf3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
3		mhphf3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		reldmmhp 22030	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
5		mhphf3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
6		mhphf3.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	4, 5, 6	elfvov1 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		mhphf3.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9	3	subrgss 20487	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
11		mhphf3.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12	10, 11	sseldd 3949	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
13		mhphf3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
14		mhphf3.b	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
15		mhphf3.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
16	1, 2, 3, 7, 12, 13, 14, 15	frlmvscafval 21681	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
17	16	fveq2d 6864	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
18		mhphf3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
19		mhphf3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
20		mhphf3.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
21		mhphf3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
22	1, 3, 2	frlmbasmap 21674	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
23	7, 13, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
24	18, 5, 19, 3, 15, 20, 21, 8, 11, 6, 23	mhphf 42578	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
25	17, 24	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3916  {csn 4591   × cxp 5638  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∘_f cof 7653   ↑_m cmap 8801  Basecbs 17185   ↾_s cress 17206  ._rcmulr 17227   ·_𝑠 cvsca 17230  ._gcmg 19005  mulGrpcmgp 20055  CRingccrg 20149  SubRingcsubrg 20484   freeLMod cfrlm 21661   evalSub ces 21985   mHomP cmhp 22022

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-addf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-isom 6522  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-2o 8437  df-er 8673  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9319  df-sup 9399  df-oi 9469  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-z 12536  df-dec 12656  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-seq 13973  df-hash 14302  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17410  df-gsum 17411  df-prds 17416  df-pws 17418  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18716  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-mulg 19006  df-subg 19061  df-ghm 19151  df-cntz 19255  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-srg 20102  df-ring 20150  df-cring 20151  df-rhm 20387  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-sra 21086  df-rgmod 21087  df-cnfld 21271  df-dsmm 21647  df-frlm 21662  df-assa 21768  df-asp 21769  df-ascl 21770  df-psr 21824  df-mvr 21825  df-mpl 21826  df-evls 21987  df-mhp 22029

This theorem is referenced by:  mhphf4  42581