Theorem mhphf3 40482

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf2 40481 with the finite support restriction (frlmpws 21006, frlmbas 21011) on the assignments 𝐴 from variables to values. See comment of mhphf2 40481. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf3.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf3.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf3.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf3.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf3.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf3.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphf3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf3.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhphf3.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf3	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
2		mhphf3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
3		mhphf3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		mhphf3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		mhphf3.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
6	3	subrgss 20074	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
8		mhphf3.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
9	7, 8	sseldd 3927	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
10		mhphf3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
11		mhphf3.b	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
12		mhphf3.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12	frlmvscafval 21022	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
14	13	fveq2d 6808	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
15		mhphf3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
16		mhphf3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
17		mhphf3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
18		mhphf3.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
19		mhphf3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
20		mhphf3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		mhphf3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
22	1, 3, 2	frlmbasmap 21015	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
23	4, 10, 22	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
24	15, 16, 17, 3, 12, 18, 4, 19, 5, 8, 20, 21, 23	mhphf 40480	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
25	14, 24	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ⊆ wss 3892  {csn 4565   × cxp 5598  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307   ∘_f cof 7563   ↑_m cmap 8646  ℕ₀cn0 12283  Basecbs 16961   ↾_s cress 16990  ._rcmulr 17012   ·_𝑠 cvsca 17015  ._gcmg 18749  mulGrpcmgp 19769  CRingccrg 19833  SubRingcsubrg 20069   freeLMod cfrlm 21002   evalSub ces 21329   mHomP cmhp 21368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-addf 11000  ax-mulf 11001

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-ofr 7566  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-supp 8009  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-oadd 8332  df-er 8529  df-map 8648  df-pm 8649  df-ixp 8717  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-fsupp 9177  df-sup 9249  df-oi 9317  df-dju 9707  df-card 9745  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-9 12093  df-n0 12284  df-z 12370  df-dec 12488  df-uz 12633  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-seq 13772  df-hash 14095  df-struct 16897  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-mulr 17025  df-starv 17026  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-ip 17029  df-tset 17030  df-ple 17031  df-ds 17033  df-unif 17034  df-hom 17035  df-cco 17036  df-0g 17201  df-gsum 17202  df-prds 17207  df-pws 17209  df-mre 17344  df-mrc 17345  df-acs 17347  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-mhm 18479  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-mulg 18750  df-subg 18801  df-ghm 18881  df-cntz 18972  df-cmn 19437  df-abl 19438  df-mgp 19770  df-ur 19787  df-srg 19791  df-ring 19834  df-cring 19835  df-rnghom 20008  df-subrg 20071  df-lmod 20174  df-lss 20243  df-lsp 20283  df-sra 20483  df-rgmod 20484  df-cnfld 20647  df-dsmm 20988  df-frlm 21003  df-assa 21109  df-asp 21110  df-ascl 21111  df-psr 21161  df-mvr 21162  df-mpl 21163  df-evls 21331  df-mhp 21372

This theorem is referenced by:  mhphf4  40483