Theorem mhphf3 41967

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf2 41966 with the finite support restriction (frlmpws 21701, frlmbas 21706) on the assignments 𝐴 from variables to values. See comment of mhphf2 41966. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf3.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf3.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf3.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf3.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf3.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf3.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf3.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphf3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf3.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf3.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhphf3.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf3	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
2		mhphf3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
3		mhphf3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		mhphf3.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
5		mhphf3.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
6	3	subrgss 20523	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
8		mhphf3.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
9	7, 8	sseldd 3977	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
10		mhphf3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
11		mhphf3.b	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
12		mhphf3.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
13	1, 2, 3, 4, 9, 10, 11, 12	frlmvscafval 21717	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
14	13	fveq2d 6900	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
15		mhphf3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
16		mhphf3.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
17		mhphf3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
18		mhphf3.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
19		mhphf3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
20		mhphf3.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
21		mhphf3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
22	1, 3, 2	frlmbasmap 21710	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
23	4, 10, 22	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
24	15, 16, 17, 3, 12, 18, 4, 19, 5, 8, 20, 21, 23	mhphf 41965	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
25	14, 24	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  {csn 4630   × cxp 5676  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ∘_f cof 7683   ↑_m cmap 8845  ℕ₀cn0 12505  Basecbs 17183   ↾_s cress 17212  ._rcmulr 17237   ·_𝑠 cvsca 17240  ._gcmg 19031  mulGrpcmgp 20086  CRingccrg 20186  SubRingcsubrg 20518   freeLMod cfrlm 21697   evalSub ces 22038   mHomP cmhp 22077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-srg 20139  df-ring 20187  df-cring 20188  df-rhm 20423  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-cnfld 21297  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-assa 21804  df-asp 21805  df-ascl 21806  df-psr 21859  df-mvr 21860  df-mpl 21861  df-evls 22040  df-mhp 22084

This theorem is referenced by:  mhphf4  41968