Theorem mhphf3 42632

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf2 42631 with the finite support restriction (frlmpws 21682, frlmbas 21687) on the assignments 𝐴 from variables to values. See comment of mhphf2 42631. (Contributed by SN, 23-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf3.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf3.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf3.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf3.f	⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
mhphf3.m	⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
mhphf3.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
mhphf3.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf3.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf3.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf3.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf3.p	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)

Assertion

Ref	Expression
mhphf3	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhphf3.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑆 freeLMod 𝐼)
2		mhphf3.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (Base‘𝐹)
3		mhphf3.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
4		reldmmhp 22047	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
5		mhphf3.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
6		mhphf3.p	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	4, 5, 6	elfvov1 7383	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
8		mhphf3.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
9	3	subrgss 20482	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
11		mhphf3.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
12	10, 11	sseldd 3930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
13		mhphf3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑀)
14		mhphf3.b	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝐹)
15		mhphf3.x	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑆)
16	1, 2, 3, 7, 12, 13, 14, 15	frlmvscafval 21698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
17	16	fveq2d 6821	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
18		mhphf3.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
19		mhphf3.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
20		mhphf3.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
21		mhphf3.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
22	1, 3, 2	frlmbasmap 21691	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑀) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
23	7, 13, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
24	18, 5, 19, 3, 15, 20, 21, 8, 11, 6, 23	mhphf 42630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
25	17, 24	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ⊆ wss 3897  {csn 4571   × cxp 5609  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603   ↑_m cmap 8745  Basecbs 17115   ↾_s cress 17136  ._rcmulr 17157   ·_𝑠 cvsca 17160  ._gcmg 18975  mulGrpcmgp 20053  CRingccrg 20147  SubRingcsubrg 20479   freeLMod cfrlm 21678   evalSub ces 22002   mHomP cmhp 22039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-ofr 7606  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-sup 9321  df-oi 9391  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-seq 13904  df-hash 14233  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-prds 17346  df-pws 17348  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-srg 20100  df-ring 20148  df-cring 20149  df-rhm 20385  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-sra 21102  df-rgmod 21103  df-cnfld 21287  df-dsmm 21664  df-frlm 21679  df-assa 21785  df-asp 21786  df-ascl 21787  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-evls 22004  df-mhp 22046

This theorem is referenced by:  mhphf4  42633