Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmhpvvval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evlsmhpvvval 41630
Description: Give a formula for the evaluation of a homogeneous polynomial given assignments from variables to values. The difference between this and evlsvvval 41598 is that 𝑏𝐷 is restricted to 𝑏𝐺, that is, we can evaluate an 𝑁-th degree homogeneous polynomial over just the terms where the sum of all variable degrees is 𝑁. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsmhpvvval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsmhpvvval.p 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
evlsmhpvvval.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
evlsmhpvvval.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
evlsmhpvvval.g 𝐺 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
evlsmhpvvval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsmhpvvval.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsmhpvvval.w = (.g𝑀)
evlsmhpvvval.x · = (.r𝑆)
evlsmhpvvval.i (𝜑𝐼𝑉)
evlsmhpvvval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evlsmhpvvval.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsmhpvvval.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
evlsmhpvvval.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐻𝑁))
evlsmhpvvval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsmhpvvval (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏𝐺 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐷,𝑔   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,   𝑖,𝐼   𝐾,𝑏,𝑖   𝑔,𝑁   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏,𝑖   𝑈,𝑏,   𝑈,𝑖   𝜑,𝑏,𝑖   𝑔,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐴(𝑔,)   𝐷()   𝑄(𝑔,,𝑖,𝑏)   𝑅(𝑔,,𝑖)   𝑆(𝑔,)   · (𝑔,,𝑖,𝑏)   𝑈(𝑔)   (𝑔,,𝑖,𝑏)   𝐹(𝑔,,𝑖)   𝐺(𝑔,,𝑖)   𝐻(𝑔,,𝑖,𝑏)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑔,)   𝑀(𝑔,,𝑖,𝑏)   𝑁(,𝑖,𝑏)   𝑉(𝑔,,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem evlsmhpvvval
StepHypRef Expression
1 evlsmhpvvval.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2 eqid 2731 . . 3 (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
3 eqid 2731 . . 3 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
4 evlsmhpvvval.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
5 evlsmhpvvval.d . . 3 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 evlsmhpvvval.k . . 3 𝐾 = (Base‘𝑆)
7 evlsmhpvvval.m . . 3 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
8 evlsmhpvvval.w . . 3 = (.g𝑀)
9 evlsmhpvvval.x . . 3 · = (.r𝑆)
10 evlsmhpvvval.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
11 evlsmhpvvval.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
12 evlsmhpvvval.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13 evlsmhpvvval.p . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
144ovexi 7446 . . . . 5 𝑈 ∈ V
1514a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ V)
16 evlsmhpvvval.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
17 evlsmhpvvval.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐻𝑁))
1813, 2, 3, 10, 15, 16, 17mhpmpl 21996 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
19 evlsmhpvvval.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19evlsvvval 41598 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
21 eqid 2731 . . 3 (0g𝑆) = (0g𝑆)
2211crngringd 20147 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
2322ringcmnd 20179 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ CMnd)
24 ovex 7445 . . . . 5 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
255, 24rabex2 5334 . . . 4 𝐷 ∈ V
2625a1i 11 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
2722adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
28 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
292, 28, 3, 5, 18mplelf 21868 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
304subrgbas 20479 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
316subrgss 20470 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐾)
3230, 31eqsstrrd 4021 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
3429, 33fssd 6735 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝐷𝐾)
3534ffvelcdmda 7086 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝐹𝑏) ∈ 𝐾)
3610adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐼𝑉)
3711adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
3819adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
39 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐷) → 𝑏𝐷)
405, 6, 7, 8, 36, 37, 38, 39evlsvvvallem 41596 . . . . 5 ((𝜑𝑏𝐷) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))) ∈ 𝐾)
416, 9, 27, 35, 40ringcld 20158 . . . 4 ((𝜑𝑏𝐷) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))) ∈ 𝐾)
4241fmpttd 7116 . . 3 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))):𝐷𝐾)
434, 21subrg0 20477 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g𝑆) = (0g𝑈))
4412, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0g𝑆) = (0g𝑈))
4544oveq2d 7428 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑆)) = (𝐹 supp (0g𝑈)))
46 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (0g𝑈) = (0g𝑈)
4713, 46, 5, 10, 15, 16, 17mhpdeg 21997 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑈)) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
48 evlsmhpvvval.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
4947, 48sseqtrrdi 4033 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑈)) ⊆ 𝐺)
5045, 49eqsstrd 4020 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑆)) ⊆ 𝐺)
51 fvexd 6906 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑆) ∈ V)
5234, 50, 26, 51suppssr 8186 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷𝐺)) → (𝐹𝑏) = (0g𝑆))
5352oveq1d 7427 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷𝐺)) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))) = ((0g𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))
5422adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷𝐺)) → 𝑆 ∈ Ring)
55 eldifi 4126 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝐷𝐺) → 𝑏𝐷)
5655, 40sylan2 592 . . . . . 6 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷𝐺)) → (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))) ∈ 𝐾)
576, 9, 21, 54, 56ringlzd 20190 . . . . 5 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷𝐺)) → ((0g𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))) = (0g𝑆))
5853, 57eqtrd 2771 . . . 4 ((𝜑𝑏 ∈ (𝐷𝐺)) → ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))) = (0g𝑆))
5958, 26suppss2 8191 . . 3 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) supp (0g𝑆)) ⊆ 𝐺)
605, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19evlsvvvallem2 41597 . . 3 (𝜑 → (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) finSupp (0g𝑆))
616, 21, 23, 26, 42, 59, 60gsumres 19829 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
6248ssrab3 4080 . . . . 5 𝐺𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
6463resmptd 6040 . . 3 (𝜑 → ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) ↾ 𝐺) = (𝑏𝐺 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))))
6564oveq2d 7428 . 2 (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏𝐷 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏𝐺 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
6620, 61, 653eqtr2d 2777 1 (𝜑 → ((𝑄𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏𝐺 ↦ ((𝐹𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖𝐼 ↦ ((𝑏𝑖) (𝐴𝑖))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473  cdif 3945  wss 3948  cmpt 5231  ccnv 5675  cres 5678  cima 5679  cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8151  m cmap 8826  Fincfn 8945  cn 12219  0cn0 12479  Basecbs 17151  s cress 17180  .rcmulr 17205  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  .gcmg 18993  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  SubRingcsubrg 20465  fldccnfld 21233   mPoly cmpl 21769   evalSub ces 21944   mHomP cmhp 21983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-srg 20088  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-assa 21718  df-asp 21719  df-ascl 21720  df-psr 21772  df-mvr 21773  df-mpl 21774  df-evls 21946  df-mhp 21990
This theorem is referenced by:  mhphf  41632
  Copyright terms: Public domain W3C validator