Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmhpvvval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsmhpvvval 41889
Description: Give a formula for the evaluation of a homogeneous polynomial given assignments from variables to values. The difference between this and evlsvvval 41857 is that 𝑏 ∈ 𝐷 is restricted to 𝑏 ∈ 𝐺, that is, we can evaluate an 𝑁-th degree homogeneous polynomial over just the terms where the sum of all variable degrees is 𝑁. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsmhpvvval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsmhpvvval.p 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
evlsmhpvvval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsmhpvvval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsmhpvvval.g 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
evlsmhpvvval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsmhpvvval.x Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmhpvvval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsmhpvvval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsmhpvvval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
evlsmhpvvval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π»β€˜π‘))
evlsmhpvvval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsmhpvvval (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐷,𝑔   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,β„Ž   𝑖,𝐼   𝐾,𝑏,𝑖   𝑔,𝑁   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏,𝑖   π‘ˆ,𝑏,β„Ž   π‘ˆ,𝑖   πœ‘,𝑏,𝑖   𝑔,β„Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔,β„Ž)   𝐴(𝑔,β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑄(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑅(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑔,β„Ž)   Β· (𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   π‘ˆ(𝑔)   ↑ (𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝐹(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐻(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑔,β„Ž)   𝑀(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑁(β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑉(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)
Proof of Theorem evlsmhpvvval
StepHypRef Expression
1 evlsmhpvvval.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
2 eqid 2725 . . 3 (𝐼 mPoly π‘ˆ) = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
3 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))
4 evlsmhpvvval.u . . 3 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
5 evlsmhpvvval.d . . 3 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6 evlsmhpvvval.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
7 evlsmhpvvval.m . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
8 evlsmhpvvval.w . . 3 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
9 evlsmhpvvval.x . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘†)
10 evlsmhpvvval.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
11 evlsmhpvvval.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
12 evlsmhpvvval.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
13 evlsmhpvvval.p . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
144ovexi 7447 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
16 evlsmhpvvval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
17 evlsmhpvvval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π»β€˜π‘))
1813, 2, 3, 10, 15, 16, 17mhpmpl 22071 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)))
19 evlsmhpvvval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19evlsvvval 41857 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
21 eqid 2725 . . 3 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
2211crngringd 20185 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
2322ringcmnd 20219 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
24 ovex 7446 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
255, 24rabex2 5332 . . . 4 𝐷 ∈ V
2625a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
2722adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
28 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
292, 28, 3, 5, 18mplelf 21942 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
304subrgbas 20519 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
316subrgss 20510 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
3230, 31eqsstrrd 4013 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
3429, 33fssd 6734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢𝐾)
3534ffvelcdmda 7087 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾)
3610adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3711adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3819adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
39 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
405, 6, 7, 8, 36, 37, 38, 39evlsvvvallem 41855 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
416, 9, 27, 35, 40ringcld 20198 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) ∈ 𝐾)
4241fmpttd 7118 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))):𝐷⟢𝐾)
434, 21subrg0 20517 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4412, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4544oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘†)) = (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
46 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
4713, 46, 5, 10, 15, 16, 17mhpdeg 22072 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁})
48 evlsmhpvvval.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
4947, 48sseqtrrdi 4025 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝐺)
5045, 49eqsstrd 4012 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† 𝐺)
51 fvexd 6905 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
5234, 50, 26, 51suppssr 8194 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
5352oveq1d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))
5422adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
55 eldifi 4120 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
5655, 40sylan2 591 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
576, 9, 21, 54, 56ringlzd 20230 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = (0gβ€˜π‘†))
5853, 57eqtrd 2765 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = (0gβ€˜π‘†))
5958, 26suppss2 8199 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† 𝐺)
605, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19evlsvvvallem2 41856 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
616, 21, 23, 26, 42, 59, 60gsumres 19867 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺)) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
6248ssrab3 4073 . . . . 5 𝐺 βŠ† 𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† 𝐷)
6463resmptd 6040 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺) = (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))))
6564oveq2d 7429 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺)) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
6620, 61, 653eqtr2d 2771 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941   ↦ cmpt 5227  β—‘ccnv 5672   β†Ύ cres 5675   β€œ cima 5676  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   supp csupp 8158   ↑m cmap 8838  Fincfn 8957  β„•cn 12237  β„•0cn0 12497  Basecbs 17174   β†Ύs cress 17203  .rcmulr 17228  0gc0g 17415   Ξ£g cgsu 17416  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  SubRingcsubrg 20505  β„‚fldccnfld 21278   mPoly cmpl 21838   evalSub ces 22018   mHomP cmhp 22057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-lsp 20855  df-assa 21786  df-asp 21787  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-evls 22020  df-mhp 22064
This theorem is referenced by:  mhphf  41891
  Copyright terms: Public domain W3C validator