Theorem evlsmhpvvval 43177

Description: Give a formula for the evaluation of a homogeneous polynomial given assignments from variables to values. The difference between this and evlsvvval 22146 is that 𝑏 ∈ 𝐷 is restricted to 𝑏 ∈ 𝐺, that is, we can evaluate an 𝑁-th degree homogeneous polynomial over just the terms where the sum of all variable degrees is 𝑁. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmhpvvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsmhpvvval.p	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
evlsmhpvvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsmhpvvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsmhpvvval.g	⊢ 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
evlsmhpvvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsmhpvvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsmhpvvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsmhpvvval.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsmhpvvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsmhpvvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsmhpvvval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
evlsmhpvvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmhpvvval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐷,𝑔   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,ℎ   𝑖,𝐼   𝐾,𝑏,𝑖   𝑔,𝑁   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏,𝑖   𝑈,𝑏,ℎ   𝑈,𝑖   𝜑,𝑏,𝑖   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐴(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑄(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑔,ℎ)   · (𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑈(𝑔)   ↑ (𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝐹(𝑔,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑔,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑔,ℎ)   𝑀(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑁(ℎ,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem evlsmhpvvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmhpvvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
4		evlsmhpvvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		evlsmhpvvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		evlsmhpvvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evlsmhpvvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
8		evlsmhpvvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
9		evlsmhpvvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		reldmmhp 22202	. . . 4 ⊢ Rel dom mHomP
11		evlsmhpvvval.p	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
12		evlsmhpvvval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
13	10, 11, 12	elfvov1 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14		evlsmhpvvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
15		evlsmhpvvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
16	11, 2, 3, 12	mhpmpl 22209	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
17		evlsmhpvvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17	evlsvvval 22146	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
19		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
20	14	crngringd 20296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	20	ringcmnd 20334	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
22		ovex 7429	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	5, 22	rabex2 5297	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
25	20	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27	2, 26, 3, 5, 16	mplelf 22049	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
28	4	subrgbas 20631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
29	6	subrgss 20622	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
30	28, 29	eqsstrrd 3971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
31	15, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
32	27, 31	fssd 6709	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
33	32	ffvelcdmda 7065	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
34	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
35	14	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
36	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
37		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
38	5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 37	evlsvvvallem 22144	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
39	6, 9, 25, 33, 38	ringcld 20310	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
40	39	fmpttd 7096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))):𝐷⟶𝐾)
41	4, 19	subrg0 20629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
42	15, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
43	42	oveq2d 7412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑆)) = (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
44		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
45	11, 44, 5, 12	mhpdeg 22210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
46		evlsmhpvvval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
47	45, 46	sseqtrrdi 3977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ 𝐺)
48	43, 47	eqsstrd 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑆)) ⊆ 𝐺)
49		fvexd 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
50	32, 48, 24, 49	suppssr 8175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
51	50	oveq1d 7411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
52	20	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → 𝑆 ∈ Ring)
53		eldifi 4084	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺) → 𝑏 ∈ 𝐷)
54	53, 38	sylan2 602	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
55	6, 9, 19, 52, 54	ringlzd 20345	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
56	51, 55	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
57	56, 24	suppss2 8180	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ 𝐺)
58	5, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17	evlsvvvallem2 22145	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
59	6, 19, 21, 24, 40, 57, 58	gsumres 19953	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
60	46	ssrab3 4035	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐷
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐷)
62	61	resmptd 6029	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺) = (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
63	62	oveq2d 7412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
64	18, 59, 63	3eqtr2d 2803	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  {crab 3414  Vcvv 3454   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904   ↦ cmpt 5181  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   “ cima 5650  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396   supp csupp 8140   ↑_m cmap 8808  Fincfn 8927  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468   Σ_g cgsu 17469  ._gcmg 19109  mulGrpcmgp 20186  Ringcrg 20283  CRingccrg 20284  SubRingcsubrg 20619  ℂ_fldccnfld 21424   mPoly cmpl 21958   evalSub ces 22125   mHomP cmhp 22198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-sup 9388  df-oi 9458  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-seq 14015  df-hash 14344  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-hom 17310  df-cco 17311  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-prds 17476  df-pws 17478  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-submnd 18818  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-srg 20237  df-ring 20285  df-cring 20286  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-lmod 20929  df-lss 20999  df-lsp 21039  df-assa 21905  df-asp 21906  df-ascl 21907  df-psr 21961  df-mvr 21962  df-mpl 21963  df-evls 22127  df-mhp 22201

This theorem is referenced by:  mhphf  43179