Theorem evlsmhpvvval 43623

Description: Give a formula for the evaluation of a homogeneous polynomial given assignments from variables to values. The difference between this and evlsvvval 22402 is that 𝑏 ∈ 𝐷 is restricted to 𝑏 ∈ 𝐺, that is, we can evaluate an 𝑁-th degree homogeneous polynomial over just the terms where the sum of all variable degrees is 𝑁. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmhpvvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsmhpvvval.p	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
evlsmhpvvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsmhpvvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsmhpvvval.g	⊢ 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
evlsmhpvvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsmhpvvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsmhpvvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsmhpvvval.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsmhpvvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsmhpvvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsmhpvvval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
evlsmhpvvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmhpvvval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐷,𝑔   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,ℎ   𝑖,𝐼   𝐾,𝑏,𝑖   𝑔,𝑁   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏,𝑖   𝑈,𝑏,ℎ   𝑈,𝑖   𝜑,𝑏,𝑖   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔, ℎ)   𝐴(𝑔, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑄(𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝑅(𝑔, ℎ, 𝑖)   𝑆(𝑔, ℎ)   · (𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝑈(𝑔)   ↑ (𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝐹(𝑔, ℎ, 𝑖)   𝐺(𝑔, ℎ, 𝑖)   𝐻(𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑔, ℎ)   𝑀(𝑔, ℎ, 𝑖, 𝑏)   𝑁(ℎ, 𝑖, 𝑏)

Proof of Theorem evlsmhpvvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmhpvvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
4		evlsmhpvvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		evlsmhpvvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		evlsmhpvvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evlsmhpvvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
8		evlsmhpvvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
9		evlsmhpvvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		reldmmhp 22458	. . . 4 ⊢ Rel dom mHomP
11		evlsmhpvvval.p	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
12		evlsmhpvvval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
13	10, 11, 12	elfvov1 7462	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14		evlsmhpvvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
15		evlsmhpvvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
16	11, 2, 3, 12	mhpmpl 22465	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
17		evlsmhpvvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17	evlsvvval 22402	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
19		eqid 2761	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
20	14	crngringd 20473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	20	ringcmnd 20513	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
22		ovex 7453	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	5, 22	rabex2 5302	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
25	20	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27	2, 26, 3, 5, 16	mplelf 22305	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
28	4	subrgbas 20833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
29	6	subrgss 20824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
30	28, 29	eqsstrrd 3966	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
31	15, 30	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
32	27, 31	fssd 6727	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
33	32	ffvelcdmda 7084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
34	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
35	14	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
36	17	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
37		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
38	5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 37	evlsvvvallem 22400	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
39	6, 9, 25, 33, 38	ringcld 20484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
40	39	fmpttd 7115	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))):𝐷⟶𝐾)
41	4, 19	subrg0 20831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
42	15, 41	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
43	42	oveq2d 7436	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑆)) = (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
44		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
45	11, 44, 5, 12	mhpdeg 22466	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
46		evlsmhpvvval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
47	45, 46	sseqtrrdi 3972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ 𝐺)
48	43, 47	eqsstrd 3965	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑆)) ⊆ 𝐺)
49		fvexd 6900	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
50	32, 48, 24, 49	suppssr 8212	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
51	50	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
52	20	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → 𝑆 ∈ Ring)
53		eldifi 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺) → 𝑏 ∈ 𝐷)
54	53, 38	sylan2 605	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
55	6, 9, 19, 52, 54	ringlzd 20526	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
56	51, 55	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
57	56, 24	suppss2 8217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ 𝐺)
58	5, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17	evlsvvvallem2 22401	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
59	6, 19, 21, 24, 40, 57, 58	gsumres 20127	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
60	46	ssrab3 4030	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐷
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐷)
62	61	resmptd 6032	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺) = (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
63	62	oveq2d 7436	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
64	18, 59, 63	3eqtr2d 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5650   ↾ cres 5653   “ cima 5654  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   supp csupp 8177   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  ._rcmulr 17429  0_gc0g 17610   Σ_g cgsu 17611  ._gcmg 19277  mulGrpcmgp 20360  Ringcrg 20459  CRingccrg 20460  SubRingcsubrg 20821  ℂ_fldccnfld 21678   mPoly cmpl 22214   evalSub ces 22381   mHomP cmhp 22454

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-evls 22383  df-mhp 22457

This theorem is used by:  mhphf  43625