Theorem evlsmhpvvval 42582

Description: Give a formula for the evaluation of a homogeneous polynomial given assignments from variables to values. The difference between this and evlsvvval 42550 is that 𝑏 ∈ 𝐷 is restricted to 𝑏 ∈ 𝐺, that is, we can evaluate an 𝑁-th degree homogeneous polynomial over just the terms where the sum of all variable degrees is 𝑁. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmhpvvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsmhpvvval.p	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
evlsmhpvvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsmhpvvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsmhpvvval.g	⊢ 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
evlsmhpvvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsmhpvvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsmhpvvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsmhpvvval.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsmhpvvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsmhpvvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsmhpvvval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
evlsmhpvvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmhpvvval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐷,𝑔   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,ℎ   𝑖,𝐼   𝐾,𝑏,𝑖   𝑔,𝑁   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏,𝑖   𝑈,𝑏,ℎ   𝑈,𝑖   𝜑,𝑏,𝑖   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐴(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑄(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑔,ℎ)   · (𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑈(𝑔)   ↑ (𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝐹(𝑔,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑔,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑔,ℎ)   𝑀(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑁(ℎ,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem evlsmhpvvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmhpvvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
4		evlsmhpvvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		evlsmhpvvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		evlsmhpvvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evlsmhpvvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
8		evlsmhpvvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
9		evlsmhpvvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		reldmmhp 22159	. . . 4 ⊢ Rel dom mHomP
11		evlsmhpvvval.p	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
12		evlsmhpvvval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
13	10, 11, 12	elfvov1 7473	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14		evlsmhpvvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
15		evlsmhpvvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
16	11, 2, 3, 12	mhpmpl 22166	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
17		evlsmhpvvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17	evlsvvval 42550	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
19		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
20	14	crngringd 20264	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	20	ringcmnd 20298	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
22		ovex 7464	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	5, 22	rabex2 5347	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
25	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27	2, 26, 3, 5, 16	mplelf 22036	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
28	4	subrgbas 20598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
29	6	subrgss 20589	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
30	28, 29	eqsstrrd 4035	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
31	15, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
32	27, 31	fssd 6754	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
33	32	ffvelcdmda 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
34	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
35	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
36	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
37		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
38	5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 37	evlsvvvallem 42548	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
39	6, 9, 25, 33, 38	ringcld 20277	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
40	39	fmpttd 7135	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))):𝐷⟶𝐾)
41	4, 19	subrg0 20596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
42	15, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
43	42	oveq2d 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑆)) = (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
44		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
45	11, 44, 5, 12	mhpdeg 22167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
46		evlsmhpvvval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
47	45, 46	sseqtrrdi 4047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ 𝐺)
48	43, 47	eqsstrd 4034	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑆)) ⊆ 𝐺)
49		fvexd 6922	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
50	32, 48, 24, 49	suppssr 8219	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
51	50	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
52	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → 𝑆 ∈ Ring)
53		eldifi 4141	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺) → 𝑏 ∈ 𝐷)
54	53, 38	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
55	6, 9, 19, 52, 54	ringlzd 20309	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
56	51, 55	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
57	56, 24	suppss2 8224	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ 𝐺)
58	5, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17	evlsvvvallem2 42549	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
59	6, 19, 21, 24, 40, 57, 58	gsumres 19946	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
60	46	ssrab3 4092	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐷
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐷)
62	61	resmptd 6060	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺) = (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
63	62	oveq2d 7447	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
64	18, 59, 63	3eqtr2d 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  ._rcmulr 17299  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  ._gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  ℂ_fldccnfld 21382   mPoly cmpl 21944   evalSub ces 22114   mHomP cmhp 22151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-evls 22116  df-mhp 22158

This theorem is referenced by:  mhphf  42584