Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmhpvvval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsmhpvvval 41164
Description: Give a formula for the evaluation of a homogeneous polynomial given assignments from variables to values. The difference between this and evlsvvval 41132 is that 𝑏 ∈ 𝐷 is restricted to 𝑏 ∈ 𝐺, that is, we can evaluate an 𝑁-th degree homogeneous polynomial over just the terms where the sum of all variable degrees is 𝑁. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsmhpvvval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsmhpvvval.p 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
evlsmhpvvval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsmhpvvval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsmhpvvval.g 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
evlsmhpvvval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsmhpvvval.x Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmhpvvval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsmhpvvval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsmhpvvval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
evlsmhpvvval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π»β€˜π‘))
evlsmhpvvval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsmhpvvval (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐷,𝑔   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,β„Ž   𝑖,𝐼   𝐾,𝑏,𝑖   𝑔,𝑁   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏,𝑖   π‘ˆ,𝑏,β„Ž   π‘ˆ,𝑖   πœ‘,𝑏,𝑖   𝑔,β„Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔,β„Ž)   𝐴(𝑔,β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑄(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑅(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑔,β„Ž)   Β· (𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   π‘ˆ(𝑔)   ↑ (𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝐹(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐻(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑔,β„Ž)   𝑀(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑁(β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑉(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)
Proof of Theorem evlsmhpvvval
StepHypRef Expression
1 evlsmhpvvval.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
2 eqid 2732 . . 3 (𝐼 mPoly π‘ˆ) = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
3 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))
4 evlsmhpvvval.u . . 3 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
5 evlsmhpvvval.d . . 3 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6 evlsmhpvvval.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
7 evlsmhpvvval.m . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
8 evlsmhpvvval.w . . 3 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
9 evlsmhpvvval.x . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘†)
10 evlsmhpvvval.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
11 evlsmhpvvval.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
12 evlsmhpvvval.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
13 evlsmhpvvval.p . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
144ovexi 7439 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
16 evlsmhpvvval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
17 evlsmhpvvval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π»β€˜π‘))
1813, 2, 3, 10, 15, 16, 17mhpmpl 21678 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)))
19 evlsmhpvvval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19evlsvvval 41132 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
21 eqid 2732 . . 3 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
2211crngringd 20062 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
2322ringcmnd 20094 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
24 ovex 7438 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
255, 24rabex2 5333 . . . 4 𝐷 ∈ V
2625a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
2722adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
28 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
292, 28, 3, 5, 18mplelf 21548 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
304subrgbas 20364 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
316subrgss 20356 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
3230, 31eqsstrrd 4020 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
3429, 33fssd 6732 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢𝐾)
3534ffvelcdmda 7083 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾)
3610adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3711adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3819adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
39 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
405, 6, 7, 8, 36, 37, 38, 39evlsvvvallem 41130 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
416, 9, 27, 35, 40ringcld 20073 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) ∈ 𝐾)
4241fmpttd 7111 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))):𝐷⟢𝐾)
434, 21subrg0 20362 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4412, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4544oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘†)) = (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
46 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
4713, 46, 5, 10, 15, 16, 17mhpdeg 21679 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁})
48 evlsmhpvvval.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
4947, 48sseqtrrdi 4032 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝐺)
5045, 49eqsstrd 4019 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† 𝐺)
51 fvexd 6903 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
5234, 50, 26, 51suppssr 8177 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
5352oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))
5422adantr 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
55 eldifi 4125 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
5655, 40sylan2 593 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
576, 9, 21, 54, 56ringlzd 41082 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = (0gβ€˜π‘†))
5853, 57eqtrd 2772 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = (0gβ€˜π‘†))
5958, 26suppss2 8181 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† 𝐺)
605, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19evlsvvvallem2 41131 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
616, 21, 23, 26, 42, 59, 60gsumres 19775 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺)) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
6248ssrab3 4079 . . . . 5 𝐺 βŠ† 𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† 𝐷)
6463resmptd 6038 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺) = (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))))
6564oveq2d 7421 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺)) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
6620, 61, 653eqtr2d 2778 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674   β†Ύ cres 5677   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   supp csupp 8142   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  β„•cn 12208  β„•0cn0 12468  Basecbs 17140   β†Ύs cress 17169  .rcmulr 17194  0gc0g 17381   Ξ£g cgsu 17382  .gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  SubRingcsubrg 20351  β„‚fldccnfld 20936   mPoly cmpl 21450   evalSub ces 21624   mHomP cmhp 21663
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-assa 21399  df-asp 21400  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-evls 21626  df-mhp 21667
This theorem is referenced by:  mhphf  41166
  Copyright terms: Public domain W3C validator