Theorem evlsmhpvvval 43045

Description: Give a formula for the evaluation of a homogeneous polynomial given assignments from variables to values. The difference between this and evlsvvval 22084 is that 𝑏 ∈ 𝐷 is restricted to 𝑏 ∈ 𝐺, that is, we can evaluate an 𝑁-th degree homogeneous polynomial over just the terms where the sum of all variable degrees is 𝑁. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evlsmhpvvval.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
evlsmhpvvval.p	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
evlsmhpvvval.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
evlsmhpvvval.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
evlsmhpvvval.g	⊢ 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
evlsmhpvvval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evlsmhpvvval.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
evlsmhpvvval.w	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
evlsmhpvvval.x	⊢ · = (.r‘𝑆)
evlsmhpvvval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evlsmhpvvval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
evlsmhpvvval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
evlsmhpvvval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
evlsmhpvvval	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐷,𝑔   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,ℎ   𝑖,𝐼   𝐾,𝑏,𝑖   𝑔,𝑁   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏,𝑖   𝑈,𝑏,ℎ   𝑈,𝑖   𝜑,𝑏,𝑖   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐴(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑄(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑖)   𝑆(𝑔,ℎ)   · (𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑈(𝑔)   ↑ (𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝐹(𝑔,ℎ,𝑖)   𝐺(𝑔,ℎ,𝑖)   𝐻(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑔,ℎ)   𝑀(𝑔,ℎ,𝑖,𝑏)   𝑁(ℎ,𝑖,𝑏)

Proof of Theorem evlsmhpvvval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evlsmhpvvval.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑈) = (𝐼 mPoly 𝑈)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈))
4		evlsmhpvvval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
5		evlsmhpvvval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		evlsmhpvvval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evlsmhpvvval.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑆)
8		evlsmhpvvval.w	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
9		evlsmhpvvval.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑆)
10		reldmmhp 22116	. . . 4 ⊢ Rel dom mHomP
11		evlsmhpvvval.p	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
12		evlsmhpvvval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
13	10, 11, 12	elfvov1 7403	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14		evlsmhpvvval.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
15		evlsmhpvvval.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
16	11, 2, 3, 12	mhpmpl 22123	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑈)))
17		evlsmhpvvval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
18	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17	evlsvvval 22084	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
20	14	crngringd 20221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Ring)
21	20	ringcmnd 20259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CMnd)
22		ovex 7394	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
23	5, 22	rabex2 5279	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ V
24	23	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
25	20	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ Ring)
26		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
27	2, 26, 3, 5, 16	mplelf 21989	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶(Base‘𝑈))
28	4	subrgbas 20552	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 = (Base‘𝑈))
29	6	subrgss 20543	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
30	28, 29	eqsstrrd 3958	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
31	15, 30	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑈) ⊆ 𝐾)
32	27, 31	fssd 6680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶𝐾)
33	32	ffvelcdmda 7031	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝐾)
34	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐼 ∈ V)
35	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑆 ∈ CRing)
36	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
37		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐷)
38	5, 6, 7, 8, 34, 35, 36, 37	evlsvvvallem 22082	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
39	6, 9, 25, 33, 38	ringcld 20235	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) ∈ 𝐾)
40	39	fmpttd 7062	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))):𝐷⟶𝐾)
41	4, 19	subrg0 20550	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
42	15, 41	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) = (0g‘𝑈))
43	42	oveq2d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑆)) = (𝐹 supp (0g‘𝑈)))
44		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑈) = (0g‘𝑈)
45	11, 44, 5, 12	mhpdeg 22124	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
46		evlsmhpvvval.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
47	45, 46	sseqtrrdi 3964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑈)) ⊆ 𝐺)
48	43, 47	eqsstrd 3957	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑆)) ⊆ 𝐺)
49		fvexd 6850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑆) ∈ V)
50	32, 48, 24, 49	suppssr 8139	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → (𝐹‘𝑏) = (0g‘𝑆))
51	50	oveq1d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))
52	20	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → 𝑆 ∈ Ring)
53		eldifi 4072	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺) → 𝑏 ∈ 𝐷)
54	53, 38	sylan2 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))) ∈ 𝐾)
55	6, 9, 19, 52, 54	ringlzd 20270	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((0g‘𝑆) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
56	51, 55	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 ∖ 𝐺)) → ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))) = (0g‘𝑆))
57	56, 24	suppss2 8144	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) supp (0g‘𝑆)) ⊆ 𝐺)
58	5, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 13, 14, 15, 16, 17	evlsvvvallem2 22083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) finSupp (0g‘𝑆))
59	6, 19, 21, 24, 40, 57, 58	gsumres 19882	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
60	46	ssrab3 4023	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ⊆ 𝐷
61	60	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⊆ 𝐷)
62	61	resmptd 6000	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺) = (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))))
63	62	oveq2d 7377	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 Σg ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖)))))) ↾ 𝐺)) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))
64	18, 59, 63	3eqtr2d 2778	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐹)‘𝐴) = (𝑆 Σg (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((𝐹‘𝑏) · (𝑀 Σg (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((𝑏‘𝑖) ↑ (𝐴‘𝑖))))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5624   ↾ cres 5627   “ cima 5628  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361   supp csupp 8104   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  Basecbs 17173   ↾_s cress 17194  ._rcmulr 17215  0_gc0g 17396   Σ_g cgsu 17397  ._gcmg 19037  mulGrpcmgp 20115  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209  SubRingcsubrg 20540  ℂ_fldccnfld 21347   mPoly cmpl 21899   evalSub ces 22063   mHomP cmhp 22108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-cntz 19286  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-assa 21846  df-asp 21847  df-ascl 21848  df-psr 21902  df-mvr 21903  df-mpl 21904  df-evls 22065  df-mhp 22115

This theorem is referenced by:  mhphf  43047