Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evlsmhpvvval Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem evlsmhpvvval 41740
Description: Give a formula for the evaluation of a homogeneous polynomial given assignments from variables to values. The difference between this and evlsvvval 41708 is that 𝑏 ∈ 𝐷 is restricted to 𝑏 ∈ 𝐺, that is, we can evaluate an 𝑁-th degree homogeneous polynomial over just the terms where the sum of all variable degrees is 𝑁. (Contributed by SN, 5-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evlsmhpvvval.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
evlsmhpvvval.p 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
evlsmhpvvval.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
evlsmhpvvval.d 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
evlsmhpvvval.g 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
evlsmhpvvval.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.w ↑ = (.gβ€˜π‘€)
evlsmhpvvval.x Β· = (.rβ€˜π‘†)
evlsmhpvvval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
evlsmhpvvval.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
evlsmhpvvval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
evlsmhpvvval.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
evlsmhpvvval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π»β€˜π‘))
evlsmhpvvval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
evlsmhpvvval (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑖   𝐷,𝑏,𝑖   𝐷,𝑔   𝐹,𝑏   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,β„Ž   𝑖,𝐼   𝐾,𝑏,𝑖   𝑔,𝑁   𝑅,𝑏   𝑆,𝑏,𝑖   π‘ˆ,𝑏,β„Ž   π‘ˆ,𝑖   πœ‘,𝑏,𝑖   𝑔,β„Ž
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑔,β„Ž)   𝐴(𝑔,β„Ž)   𝐷(β„Ž)   𝑄(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑅(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝑆(𝑔,β„Ž)   Β· (𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   π‘ˆ(𝑔)   ↑ (𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝐹(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐺(𝑔,β„Ž,𝑖)   𝐻(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝐼(𝑔)   𝐾(𝑔,β„Ž)   𝑀(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑁(β„Ž,𝑖,𝑏)   𝑉(𝑔,β„Ž,𝑖,𝑏)
Proof of Theorem evlsmhpvvval
StepHypRef Expression
1 evlsmhpvvval.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
2 eqid 2727 . . 3 (𝐼 mPoly π‘ˆ) = (𝐼 mPoly π‘ˆ)
3 eqid 2727 . . 3 (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)) = (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ))
4 evlsmhpvvval.u . . 3 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
5 evlsmhpvvval.d . . 3 𝐷 = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6 evlsmhpvvval.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
7 evlsmhpvvval.m . . 3 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘†)
8 evlsmhpvvval.w . . 3 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
9 evlsmhpvvval.x . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘†)
10 evlsmhpvvval.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
11 evlsmhpvvval.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
12 evlsmhpvvval.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
13 evlsmhpvvval.p . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
144ovexi 7448 . . . . 5 π‘ˆ ∈ V
1514a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ V)
16 evlsmhpvvval.n . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
17 evlsmhpvvval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π»β€˜π‘))
1813, 2, 3, 10, 15, 16, 17mhpmpl 22046 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 mPoly π‘ˆ)))
19 evlsmhpvvval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19evlsvvval 41708 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
21 eqid 2727 . . 3 (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘†)
2211crngringd 20170 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
2322ringcmnd 20202 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CMnd)
24 ovex 7447 . . . . 5 (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V
255, 24rabex2 5330 . . . 4 𝐷 ∈ V
2625a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
2722adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
28 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
292, 28, 3, 5, 18mplelf 21918 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢(Baseβ€˜π‘ˆ))
304subrgbas 20502 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
316subrgss 20493 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
3230, 31eqsstrrd 4017 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
3312, 32syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† 𝐾)
3429, 33fssd 6734 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐷⟢𝐾)
3534ffvelcdmda 7088 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ 𝐾)
3610adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3711adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑆 ∈ CRing)
3819adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
39 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
405, 6, 7, 8, 36, 37, 38, 39evlsvvvallem 41706 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
416, 9, 27, 35, 40ringcld 20181 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) ∈ 𝐾)
4241fmpttd 7119 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))):𝐷⟢𝐾)
434, 21subrg0 20500 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4412, 43syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) = (0gβ€˜π‘ˆ))
4544oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘†)) = (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)))
46 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘ˆ) = (0gβ€˜π‘ˆ)
4713, 46, 5, 10, 15, 16, 17mhpdeg 22047 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁})
48 evlsmhpvvval.g . . . . . . . . 9 𝐺 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁}
4947, 48sseqtrrdi 4029 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝐺)
5045, 49eqsstrd 4016 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† 𝐺)
51 fvexd 6906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘†) ∈ V)
5234, 50, 26, 51suppssr 8192 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = (0gβ€˜π‘†))
5352oveq1d 7429 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))
5422adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
55 eldifi 4122 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺) β†’ 𝑏 ∈ 𝐷)
5655, 40sylan2 592 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))) ∈ 𝐾)
576, 9, 21, 54, 56ringlzd 20213 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((0gβ€˜π‘†) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = (0gβ€˜π‘†))
5853, 57eqtrd 2767 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐷 βˆ– 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))) = (0gβ€˜π‘†))
5958, 26suppss2 8197 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) supp (0gβ€˜π‘†)) βŠ† 𝐺)
605, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 18, 19evlsvvvallem2 41707 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) finSupp (0gβ€˜π‘†))
616, 21, 23, 26, 42, 59, 60gsumres 19852 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺)) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
6248ssrab3 4076 . . . . 5 𝐺 βŠ† 𝐷
6362a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 βŠ† 𝐷)
6463resmptd 6038 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺) = (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))))
6564oveq2d 7430 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 Ξ£g ((𝑏 ∈ 𝐷 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–)))))) β†Ύ 𝐺)) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
6620, 61, 653eqtr2d 2773 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜πΉ)β€˜π΄) = (𝑆 Ξ£g (𝑏 ∈ 𝐺 ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (𝑀 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘β€˜π‘–) ↑ (π΄β€˜π‘–))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944   ↦ cmpt 5225  β—‘ccnv 5671   β†Ύ cres 5674   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   supp csupp 8157   ↑m cmap 8834  Fincfn 8953  β„•cn 12228  β„•0cn0 12488  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  .rcmulr 17219  0gc0g 17406   Ξ£g cgsu 17407  .gcmg 19007  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  CRingccrg 20158  SubRingcsubrg 20488  β„‚fldccnfld 21259   mPoly cmpl 21819   evalSub ces 21994   mHomP cmhp 22033
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-cring 20160  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-lsp 20838  df-assa 21767  df-asp 21768  df-ascl 21769  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-evls 21996  df-mhp 22040
This theorem is referenced by:  mhphf  41742
  Copyright terms: Public domain W3C validator