MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhppwdeg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhppwdeg 21540
Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 25485. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhppwdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
mhppwdeg.e = (.g𝑇)
mhppwdeg.i (𝜑𝐼𝑉)
mhppwdeg.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑀))
Assertion
Ref Expression
mhppwdeg (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem mhppwdeg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhppwdeg.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝑋) = (0 𝑋))
3 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
43fveq2d 6846 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 0)))
52, 4eleq12d 2832 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (0 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0))))
6 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝑋) = (𝑦 𝑋))
7 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
87fveq2d 6846 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
96, 8eleq12d 2832 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))))
10 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝑋) = ((𝑦 + 1) 𝑋))
11 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦 + 1)))
1211fveq2d 6846 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
1310, 12eleq12d 2832 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ ((𝑦 + 1) 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1)))))
14 oveq1 7364 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝑋) = (𝑁 𝑋))
15 oveq2 7365 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑁))
1615fveq2d 6846 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
1714, 16eleq12d 2832 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑁 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁))))
18 mhppwdeg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19 mhppwdeg.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
20 mhppwdeg.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2118, 19, 20mplsca 21417 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2221fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
2322fveq2d 6846 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))))
24 eqid 2736 . . . . . . 7 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
25 eqid 2736 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
2618mpllmod 21423 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
2719, 20, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
2818mplring 21424 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
2919, 20, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
3024, 25, 27, 29ascl1 21288 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))) = (1r𝑃))
3123, 30eqtrd 2776 . . . . 5 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
32 mhppwdeg.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
33 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3533, 34ringidcl 19989 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3620, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3732, 18, 24, 33, 19, 20, 36mhpsclcl 21537 . . . . 5 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (𝐻‘0))
3831, 37eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑃) ∈ (𝐻‘0))
39 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40 mhppwdeg.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
41 mhppwdeg.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑀))
4232, 18, 39, 19, 20, 40, 41mhpmpl 21534 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
43 mhppwdeg.t . . . . . . 7 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
4443, 39mgpbas 19902 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑇)
45 eqid 2736 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
4643, 45ringidval 19915 . . . . . 6 (1r𝑃) = (0g𝑇)
47 mhppwdeg.e . . . . . 6 = (.g𝑇)
4844, 46, 47mulg0 18879 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
4942, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 𝑋) = (1r𝑃))
5040nn0cnd 12475 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
5150mul01d 11354 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
5251fveq2d 6846 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘(𝑀 · 0)) = (𝐻‘0))
5338, 49, 523eltr4d 2853 . . 3 (𝜑 → (0 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0)))
54 eqid 2736 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5519ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝐼𝑉)
5620ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ Ring)
5740ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
58 simplr 767 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5957, 58nn0mulcld 12478 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 𝑦) ∈ ℕ0)
60 simpr 485 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
6141ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (𝐻𝑀))
6232, 18, 54, 55, 56, 59, 57, 60, 61mhpmulcl 21539 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 𝑋)(.r𝑃)𝑋) ∈ (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
6343ringmgp 19970 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
6429, 63syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6564ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑇 ∈ Mnd)
6642ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6743, 54mgpplusg 19900 . . . . . 6 (.r𝑃) = (+g𝑇)
6844, 47, 67mulgnn0p1 18887 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(.r𝑃)𝑋))
6965, 58, 66, 68syl3anc 1371 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(.r𝑃)𝑋))
7050ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℂ)
7158nn0cnd 12475 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
72 1cnd 11150 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
7370, 71, 72adddid 11179 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)))
7470mulid1d 11172 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
7574oveq2d 7373 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
7673, 75eqtrd 2776 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
7776fveq2d 6846 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))) = (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
7862, 69, 773eltr4d 2853 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
795, 9, 13, 17, 53, 78nn0indd 12600 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
801, 79mpdan 685 1 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  0cn0 12413  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136  Mndcmnd 18556  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  algSccascl 21258   mPoly cmpl 21308   mHomP cmhp 21519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-cnfld 20797  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-mhp 21523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator