Theorem mhppwdeg 22379

Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 26348. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhppwdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
mhppwdeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
mhppwdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
mhppwdeg	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem mhppwdeg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhppwdeg.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
4	3	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 0)))
5	2, 4	eleq12d 2856	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0))))
6		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
8	7	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
9	6, 8	eleq12d 2856	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))))
10		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦 + 1)))
12	11	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eleq12d 2856	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq1 7423	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15		oveq2 7424	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑁))
16	15	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
17	14, 16	eleq12d 2856	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁))))
18		mhppwdeg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19		reldmmhp 22366	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mHomP
20		mhppwdeg.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
21		mhppwdeg.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
22	19, 20, 21	elfvov1 7458	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		mhppwdeg.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	18, 22, 23	mplsca 22228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
25	24	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
26	25	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))))
27		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
29	18, 22, 23	mpllmodd 22240	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
30	18, 22, 23	mplringd 22238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	27, 28, 29, 30	ascl1 22101	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))) = (1r‘𝑃))
32	26, 31	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
33		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	33, 34	ringidcl 20407	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36	23, 35	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	20, 18, 27, 33, 22, 23, 36	mhpsclcl 22376	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (𝐻‘0))
38	32, 37	eqeltrrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ (𝐻‘0))
39		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40	20, 18, 39, 21	mhpmpl 22373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
41		mhppwdeg.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
42	41, 39	mgpbas 20279	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑇)
43		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
44	41, 43	ringidval 20323	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑇)
45		mhppwdeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
46	42, 44, 45	mulg0 19198	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
47	40, 46	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
48	20, 21	mhprcl 22372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
49	48	nn0cnd 12594	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	mul01d 11436	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
51	50	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑀 · 0)) = (𝐻‘0))
52	38, 47, 51	3eltr4d 2877	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0)))
53		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
54	23	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ Ring)
55		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
56	21	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
57	20, 18, 53, 54, 55, 56	mhpmulcl 22378	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋) ∈ (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
58	41	ringmgp 20379	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
59	30, 58	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
60	59	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑇 ∈ Mnd)
61		simplr 781	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
62	40	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63	41, 53	mgpplusg 20278	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑇)
64	42, 45, 63	mulgnn0p1 19209	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
65	60, 61, 62, 64	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
66	49	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℂ)
67	61	nn0cnd 12594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
68		1cnd 11229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
69	66, 67, 68	adddid 11260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)))
70	66	mulridd 11253	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
71	70	oveq2d 7432	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
72	69, 71	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
73	72	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))) = (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
74	57, 65, 73	3eltr4d 2877	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
75	5, 9, 13, 17, 52, 74	nn0indd 12721	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
76	1, 75	mpdan 700	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132  ℕ₀cn0 12531  Basecbs 17305  ._rcmulr 17347  Scalarcsca 17349  Mndcmnd 18838  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  1_rcur 20321  Ringcrg 20373  algSccascl 22068   mPoly cmpl 22122   mHomP cmhp 22362

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-addf 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-er 8699  df-map 8831  df-pm 8832  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-seq 14068  df-hash 14397  df-struct 17243  df-sets 17260  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-ress 17327  df-plusg 17359  df-mulr 17360  df-starv 17361  df-sca 17362  df-vsca 17363  df-ip 17364  df-tset 17365  df-ple 17366  df-ds 17368  df-unif 17369  df-hom 17370  df-cco 17371  df-0g 17530  df-gsum 17531  df-prds 17536  df-pws 17538  df-mre 17674  df-mrc 17675  df-acs 17677  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-cring 20376  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-cnfld 21587  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mpl 22127  df-mhp 22365

This theorem is used by: (None)