Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhppwdeg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhppwdeg 20907
 Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 24834. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhppwdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
mhppwdeg.e = (.g𝑇)
mhppwdeg.i (𝜑𝐼𝑉)
mhppwdeg.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑀))
Assertion
Ref Expression
mhppwdeg (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem mhppwdeg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhppwdeg.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 oveq1 7163 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝑋) = (0 𝑋))
3 oveq2 7164 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
43fveq2d 6667 . . . 4 (𝑥 = 0 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 0)))
52, 4eleq12d 2846 . . 3 (𝑥 = 0 → ((𝑥 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (0 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0))))
6 oveq1 7163 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝑋) = (𝑦 𝑋))
7 oveq2 7164 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
87fveq2d 6667 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
96, 8eleq12d 2846 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))))
10 oveq1 7163 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝑋) = ((𝑦 + 1) 𝑋))
11 oveq2 7164 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦 + 1)))
1211fveq2d 6667 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
1310, 12eleq12d 2846 . . 3 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ ((𝑦 + 1) 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1)))))
14 oveq1 7163 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝑋) = (𝑁 𝑋))
15 oveq2 7164 . . . . 5 (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑁))
1615fveq2d 6667 . . . 4 (𝑥 = 𝑁 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
1714, 16eleq12d 2846 . . 3 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑁 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁))))
18 mhppwdeg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19 mhppwdeg.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼𝑉)
20 mhppwdeg.r . . . . . . . . 9 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2118, 19, 20mplsca 20790 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
2221fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
2322fveq2d 6667 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))))
24 eqid 2758 . . . . . . 7 (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
25 eqid 2758 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
2618mpllmod 20796 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
2719, 20, 26syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
2818mplring 20797 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
2919, 20, 28syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ Ring)
3024, 25, 27, 29ascl1 20661 . . . . . 6 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))) = (1r𝑃))
3123, 30eqtrd 2793 . . . . 5 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) = (1r𝑃))
32 mhppwdeg.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
33 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34 eqid 2758 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
3533, 34ringidcl 19403 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3620, 35syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3732, 18, 24, 33, 19, 20, 36mhpsclcl 20904 . . . . 5 (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r𝑅)) ∈ (𝐻‘0))
3831, 37eqeltrrd 2853 . . . 4 (𝜑 → (1r𝑃) ∈ (𝐻‘0))
39 eqid 2758 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40 mhppwdeg.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
41 mhppwdeg.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑀))
4232, 18, 39, 19, 20, 40, 41mhpmpl 20901 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
43 mhppwdeg.t . . . . . . 7 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
4443, 39mgpbas 19327 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑇)
45 eqid 2758 . . . . . . 7 (1r𝑃) = (1r𝑃)
4643, 45ringidval 19335 . . . . . 6 (1r𝑃) = (0g𝑇)
47 mhppwdeg.e . . . . . 6 = (.g𝑇)
4844, 46, 47mulg0 18312 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 𝑋) = (1r𝑃))
4942, 48syl 17 . . . 4 (𝜑 → (0 𝑋) = (1r𝑃))
5040nn0cnd 12009 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
5150mul01d 10890 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
5251fveq2d 6667 . . . 4 (𝜑 → (𝐻‘(𝑀 · 0)) = (𝐻‘0))
5338, 49, 523eltr4d 2867 . . 3 (𝜑 → (0 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0)))
54 eqid 2758 . . . . 5 (.r𝑃) = (.r𝑃)
5519ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝐼𝑉)
5620ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ Ring)
5740ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
58 simplr 768 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5957, 58nn0mulcld 12012 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 𝑦) ∈ ℕ0)
60 simpr 488 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
6141ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (𝐻𝑀))
6232, 18, 54, 55, 56, 59, 57, 60, 61mhpmulcl 20906 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 𝑋)(.r𝑃)𝑋) ∈ (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
6343ringmgp 19385 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
6429, 63syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑇 ∈ Mnd)
6564ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑇 ∈ Mnd)
6642ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
6743, 54mgpplusg 19325 . . . . . 6 (.r𝑃) = (+g𝑇)
6844, 47, 67mulgnn0p1 18320 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(.r𝑃)𝑋))
6965, 58, 66, 68syl3anc 1368 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(.r𝑃)𝑋))
7050ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℂ)
7158nn0cnd 12009 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
72 1cnd 10687 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
7370, 71, 72adddid 10716 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)))
7470mulid1d 10709 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
7574oveq2d 7172 . . . . . 6 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
7673, 75eqtrd 2793 . . . . 5 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
7776fveq2d 6667 . . . 4 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))) = (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
7862, 69, 773eltr4d 2867 . . 3 (((𝜑𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
795, 9, 13, 17, 53, 78nn0indd 12131 . 2 ((𝜑𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
801, 79mpdan 686 1 (𝜑 → (𝑁 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593  ℕ0cn0 11947  Basecbs 16555  .rcmulr 16638  Scalarcsca 16640  Mndcmnd 17991  .gcmg 18305  mulGrpcmgp 19321  1rcur 19333  Ringcrg 19379  LModclmod 19716  algSccascl 20631   mPoly cmpl 20682   mHomP cmhp 20886 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-addf 10667  ax-mulf 10668 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-supp 7842  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-pm 8425  df-ixp 8493  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-fsupp 8880  df-oi 9020  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-seq 13432  df-hash 13754  df-struct 16557  df-ndx 16558  df-slot 16559  df-base 16561  df-sets 16562  df-ress 16563  df-plusg 16650  df-mulr 16651  df-starv 16652  df-sca 16653  df-vsca 16654  df-tset 16656  df-ple 16657  df-ds 16659  df-unif 16660  df-0g 16787  df-gsum 16788  df-mre 16929  df-mrc 16930  df-acs 16932  df-mgm 17932  df-sgrp 17981  df-mnd 17992  df-mhm 18036  df-submnd 18037  df-grp 18186  df-minusg 18187  df-sbg 18188  df-mulg 18306  df-subg 18357  df-ghm 18437  df-cntz 18528  df-cmn 18989  df-abl 18990  df-mgp 19322  df-ur 19334  df-ring 19381  df-cring 19382  df-subrg 19615  df-lmod 19718  df-lss 19786  df-cnfld 20181  df-ascl 20634  df-psr 20685  df-mpl 20687  df-mhp 20890 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator