MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhppwdeg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhppwdeg 22082
Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 26086. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.) Remove sethood hypothesis. (Revised by SN, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhppwdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
mhppwdeg.e ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
mhppwdeg.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
mhppwdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
mhppwdeg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
mhppwdeg (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
Proof of Theorem mhppwdeg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhppwdeg.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7424 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3 oveq2 7425 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 0))
43fveq2d 6898 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 0)))
52, 4eleq12d 2819 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 0))))
6 oveq1 7424 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7 oveq2 7425 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑦))
87fveq2d 6898 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦)))
96, 8eleq12d 2819 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))))
10 oveq1 7424 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11 oveq2 7425 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· (𝑦 + 1)))
1211fveq2d 6898 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))))
1310, 12eleq12d 2819 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1)))))
14 oveq1 7424 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15 oveq2 7425 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑁))
1615fveq2d 6898 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
1714, 16eleq12d 2819 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
18 mhppwdeg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19 reldmmhp 22070 . . . . . . . . . 10 Rel dom mHomP
20 mhppwdeg.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
21 mhppwdeg.x . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
2219, 20, 21elfvov1 7459 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ V)
23 mhppwdeg.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2418, 22, 23mplsca 21962 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
2524fveq2d 6898 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
2625fveq2d 6898 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
27 eqid 2725 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
28 eqid 2725 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
2918mpllmod 21967 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
3022, 23, 29syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
3118mplring 21968 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
3222, 23, 31syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
3327, 28, 30, 32ascl1 21822 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) = (1rβ€˜π‘ƒ))
3426, 33eqtrd 2765 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
35 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
36 eqid 2725 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3735, 36ringidcl 20206 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3823, 37syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3920, 18, 27, 35, 22, 23, 38mhpsclcl 22079 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (π»β€˜0))
4034, 39eqeltrrd 2826 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π»β€˜0))
41 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
42 mhppwdeg.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
4320, 18, 41, 22, 23, 42, 21mhpmpl 22076 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
44 mhppwdeg.t . . . . . . 7 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
4544, 41mgpbas 20084 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘‡)
46 eqid 2725 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
4744, 46ringidval 20127 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘‡)
48 mhppwdeg.e . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
4945, 47, 48mulg0 19034 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
5043, 49syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
5142nn0cnd 12564 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
5251mul01d 11443 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
5352fveq2d 6898 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· 0)) = (π»β€˜0))
5440, 50, 533eltr4d 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 0)))
55 eqid 2725 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
5623ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5742ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
58 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5957, 58nn0mulcld 12567 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· 𝑦) ∈ β„•0)
60 simpr 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦)))
6121ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
6220, 18, 55, 56, 59, 57, 60, 61mhpmulcl 22081 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋) ∈ (π»β€˜((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀)))
6344ringmgp 20183 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6432, 63syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6564ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6643ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6744, 55mgpplusg 20082 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘‡)
6845, 48, 67mulgnn0p1 19044 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋))
6965, 58, 66, 68syl3anc 1368 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋))
7051ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
7158nn0cnd 12564 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
72 1cnd 11239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 1 ∈ β„‚)
7370, 71, 72adddid 11268 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· (𝑦 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + (𝑀 Β· 1)))
7470mulridd 11261 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
7574oveq2d 7433 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑀 Β· 𝑦) + (𝑀 Β· 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀))
7673, 75eqtrd 2765 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· (𝑦 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀))
7776fveq2d 6898 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))) = (π»β€˜((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀)))
7862, 69, 773eltr4d 2840 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))))
795, 9, 13, 17, 54, 78nn0indd 12689 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
801, 79mpdan 685 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  β€˜cfv 6547  (class class class)co 7417  β„‚cc 11136  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„•0cn0 12502  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  Scalarcsca 17235  Mndcmnd 18693  .gcmg 19027  mulGrpcmgp 20078  1rcur 20125  Ringcrg 20177  LModclmod 20747  algSccascl 21790   mPoly cmpl 21843   mHomP cmhp 22062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7683  df-ofr 7684  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-cnfld 21284  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-mhp 22069
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator