MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhppwdeg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhppwdeg 22061
Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 26043. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhppwdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
mhppwdeg.e ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
mhppwdeg.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhppwdeg.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
mhppwdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
mhppwdeg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
mhppwdeg (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
Proof of Theorem mhppwdeg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhppwdeg.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7421 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3 oveq2 7422 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 0))
43fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 0)))
52, 4eleq12d 2822 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 0))))
6 oveq1 7421 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7 oveq2 7422 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑦))
87fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦)))
96, 8eleq12d 2822 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))))
10 oveq1 7421 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11 oveq2 7422 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· (𝑦 + 1)))
1211fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))))
1310, 12eleq12d 2822 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1)))))
14 oveq1 7421 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15 oveq2 7422 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑁))
1615fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
1714, 16eleq12d 2822 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
18 mhppwdeg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19 mhppwdeg.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
20 mhppwdeg.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2118, 19, 20mplsca 21942 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
2221fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
2322fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
24 eqid 2727 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
25 eqid 2727 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
2618mpllmod 21947 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2719, 20, 26syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2818mplring 21948 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
2919, 20, 28syl2anc 583 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
3024, 25, 27, 29ascl1 21805 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) = (1rβ€˜π‘ƒ))
3123, 30eqtrd 2767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
32 mhppwdeg.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
33 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
34 eqid 2727 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3533, 34ringidcl 20191 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3620, 35syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3732, 18, 24, 33, 19, 20, 36mhpsclcl 22058 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (π»β€˜0))
3831, 37eqeltrrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π»β€˜0))
39 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
40 mhppwdeg.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
41 mhppwdeg.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
4232, 18, 39, 19, 20, 40, 41mhpmpl 22055 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
43 mhppwdeg.t . . . . . . 7 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
4443, 39mgpbas 20071 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘‡)
45 eqid 2727 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
4643, 45ringidval 20114 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘‡)
47 mhppwdeg.e . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
4844, 46, 47mulg0 19021 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
4942, 48syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
5040nn0cnd 12556 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
5150mul01d 11435 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
5251fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· 0)) = (π»β€˜0))
5338, 49, 523eltr4d 2843 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 0)))
54 eqid 2727 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
5519ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5620ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5740ad2antrr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
58 simplr 768 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5957, 58nn0mulcld 12559 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· 𝑦) ∈ β„•0)
60 simpr 484 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦)))
6141ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
6232, 18, 54, 55, 56, 59, 57, 60, 61mhpmulcl 22060 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋) ∈ (π»β€˜((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀)))
6343ringmgp 20170 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6429, 63syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6564ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6642ad2antrr 725 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6743, 54mgpplusg 20069 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘‡)
6844, 47, 67mulgnn0p1 19031 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋))
6965, 58, 66, 68syl3anc 1369 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋))
7050ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
7158nn0cnd 12556 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
72 1cnd 11231 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 1 ∈ β„‚)
7370, 71, 72adddid 11260 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· (𝑦 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + (𝑀 Β· 1)))
7470mulridd 11253 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
7574oveq2d 7430 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑀 Β· 𝑦) + (𝑀 Β· 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀))
7673, 75eqtrd 2767 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· (𝑦 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀))
7776fveq2d 6895 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))) = (π»β€˜((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀)))
7862, 69, 773eltr4d 2843 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))))
795, 9, 13, 17, 53, 78nn0indd 12681 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
801, 79mpdan 686 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  β„•0cn0 12494  Basecbs 17171  .rcmulr 17225  Scalarcsca 17227  Mndcmnd 18685  .gcmg 19014  mulGrpcmgp 20065  1rcur 20112  Ringcrg 20164  LModclmod 20732  algSccascl 21773   mPoly cmpl 21826   mHomP cmhp 22042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-prds 17420  df-pws 17422  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-cnfld 21267  df-ascl 21776  df-psr 21829  df-mpl 21831  df-mhp 22049
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator