MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhppwdeg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhppwdeg 21692
Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 25637. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhppwdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
mhppwdeg.e ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
mhppwdeg.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhppwdeg.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
mhppwdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
mhppwdeg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
mhppwdeg (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
Proof of Theorem mhppwdeg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhppwdeg.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7415 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3 oveq2 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 0))
43fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 0)))
52, 4eleq12d 2827 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 0))))
6 oveq1 7415 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7 oveq2 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑦))
87fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦)))
96, 8eleq12d 2827 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))))
10 oveq1 7415 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11 oveq2 7416 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· (𝑦 + 1)))
1211fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))))
1310, 12eleq12d 2827 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1)))))
14 oveq1 7415 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15 oveq2 7416 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑁))
1615fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
1714, 16eleq12d 2827 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
18 mhppwdeg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19 mhppwdeg.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
20 mhppwdeg.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2118, 19, 20mplsca 21571 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
2221fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
2322fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
2618mpllmod 21576 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2719, 20, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2818mplring 21577 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
2919, 20, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
3024, 25, 27, 29ascl1 21438 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) = (1rβ€˜π‘ƒ))
3123, 30eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
32 mhppwdeg.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
33 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
34 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3533, 34ringidcl 20082 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3620, 35syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3732, 18, 24, 33, 19, 20, 36mhpsclcl 21689 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (π»β€˜0))
3831, 37eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π»β€˜0))
39 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
40 mhppwdeg.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
41 mhppwdeg.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
4232, 18, 39, 19, 20, 40, 41mhpmpl 21686 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
43 mhppwdeg.t . . . . . . 7 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
4443, 39mgpbas 19992 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘‡)
45 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
4643, 45ringidval 20005 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘‡)
47 mhppwdeg.e . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
4844, 46, 47mulg0 18956 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
4942, 48syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
5040nn0cnd 12533 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
5150mul01d 11412 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
5251fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· 0)) = (π»β€˜0))
5338, 49, 523eltr4d 2848 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 0)))
54 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
5519ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5620ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5740ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
58 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5957, 58nn0mulcld 12536 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· 𝑦) ∈ β„•0)
60 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦)))
6141ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
6232, 18, 54, 55, 56, 59, 57, 60, 61mhpmulcl 21691 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋) ∈ (π»β€˜((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀)))
6343ringmgp 20061 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6429, 63syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6564ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6642ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6743, 54mgpplusg 19990 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘‡)
6844, 47, 67mulgnn0p1 18964 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋))
6965, 58, 66, 68syl3anc 1371 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋))
7050ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
7158nn0cnd 12533 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
72 1cnd 11208 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 1 ∈ β„‚)
7370, 71, 72adddid 11237 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· (𝑦 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + (𝑀 Β· 1)))
7470mulridd 11230 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
7574oveq2d 7424 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑀 Β· 𝑦) + (𝑀 Β· 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀))
7673, 75eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· (𝑦 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀))
7776fveq2d 6895 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))) = (π»β€˜((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀)))
7862, 69, 773eltr4d 2848 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))))
795, 9, 13, 17, 53, 78nn0indd 12658 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
801, 79mpdan 685 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  β„•0cn0 12471  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  Mndcmnd 18624  .gcmg 18949  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  Ringcrg 20055  LModclmod 20470  algSccascl 21406   mPoly cmpl 21458   mHomP cmhp 21671
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-cnfld 20944  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mpl 21463  df-mhp 21675
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator