Theorem mhppwdeg 22098

Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 26087. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhppwdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
mhppwdeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
mhppwdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
mhppwdeg	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem mhppwdeg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhppwdeg.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3		oveq2 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
4	3	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 0)))
5	2, 4	eleq12d 2831	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0))))
6		oveq1 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7		oveq2 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
8	7	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
9	6, 8	eleq12d 2831	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))))
10		oveq1 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11		oveq2 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦 + 1)))
12	11	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eleq12d 2831	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq1 7368	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15		oveq2 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑁))
16	15	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
17	14, 16	eleq12d 2831	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁))))
18		mhppwdeg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19		reldmmhp 22085	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mHomP
20		mhppwdeg.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
21		mhppwdeg.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
22	19, 20, 21	elfvov1 7403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		mhppwdeg.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	18, 22, 23	mplsca 21973	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
25	24	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
26	25	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))))
27		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
29	18, 22, 23	mpllmodd 21984	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
30	18, 22, 23	mplringd 21983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	27, 28, 29, 30	ascl1 21846	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))) = (1r‘𝑃))
32	26, 31	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
33		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	33, 34	ringidcl 20205	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36	23, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	20, 18, 27, 33, 22, 23, 36	mhpsclcl 22095	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (𝐻‘0))
38	32, 37	eqeltrrd 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ (𝐻‘0))
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40	20, 18, 39, 21	mhpmpl 22092	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
41		mhppwdeg.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
42	41, 39	mgpbas 20085	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑇)
43		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
44	41, 43	ringidval 20123	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑇)
45		mhppwdeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
46	42, 44, 45	mulg0 19009	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
47	40, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
48	20, 21	mhprcl 22091	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
49	48	nn0cnd 12469	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	mul01d 11337	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
51	50	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑀 · 0)) = (𝐻‘0))
52	38, 47, 51	3eltr4d 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0)))
53		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
54	23	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ Ring)
55		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
56	21	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
57	20, 18, 53, 54, 55, 56	mhpmulcl 22097	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋) ∈ (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
58	41	ringmgp 20179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
59	30, 58	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
60	59	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑇 ∈ Mnd)
61		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
62	40	ad2antrr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63	41, 53	mgpplusg 20084	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑇)
64	42, 45, 63	mulgnn0p1 19020	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
65	60, 61, 62, 64	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
66	49	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℂ)
67	61	nn0cnd 12469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
68		1cnd 11132	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
69	66, 67, 68	adddid 11161	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)))
70	66	mulridd 11154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
71	70	oveq2d 7377	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
72	69, 71	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
73	72	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))) = (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
74	57, 65, 73	3eltr4d 2852	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
75	5, 9, 13, 17, 52, 74	nn0indd 12594	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
76	1, 75	mpdan 688	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℂcc 11029  0cc0 11031  1c1 11032   + caddc 11034   · cmul 11036  ℕ₀cn0 12406  Basecbs 17141  ._rcmulr 17183  Scalarcsca 17185  Mndcmnd 18664  ._gcmg 19002  mulGrpcmgp 20080  1_rcur 20121  Ringcrg 20173  algSccascl 21812   mPoly cmpl 21867   mHomP cmhp 22077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-addf 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-ofr 7626  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-starv 17197  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-unif 17205  df-hom 17206  df-cco 17207  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-prds 17372  df-pws 17374  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18871  df-minusg 18872  df-sbg 18873  df-mulg 19003  df-subg 19058  df-ghm 19147  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-mgp 20081  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-subrng 20484  df-subrg 20508  df-lmod 20818  df-lss 20888  df-cnfld 21315  df-ascl 21815  df-psr 21870  df-mpl 21872  df-mhp 22084

This theorem is referenced by: (None)