Theorem mhppwdeg 22154

Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 26160. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhppwdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
mhppwdeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
mhppwdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
mhppwdeg	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem mhppwdeg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhppwdeg.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
4	3	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 0)))
5	2, 4	eleq12d 2835	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0))))
6		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
8	7	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
9	6, 8	eleq12d 2835	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))))
10		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦 + 1)))
12	11	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eleq12d 2835	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑁))
16	15	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
17	14, 16	eleq12d 2835	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁))))
18		mhppwdeg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19		reldmmhp 22141	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mHomP
20		mhppwdeg.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
21		mhppwdeg.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
22	19, 20, 21	elfvov1 7473	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		mhppwdeg.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	18, 22, 23	mplsca 22033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
25	24	fveq2d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
26	25	fveq2d 6910	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))))
27		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
29	18, 22, 23	mpllmodd 22044	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
30	18, 22, 23	mplringd 22043	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	27, 28, 29, 30	ascl1 21905	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))) = (1r‘𝑃))
32	26, 31	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
33		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	33, 34	ringidcl 20262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36	23, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	20, 18, 27, 33, 22, 23, 36	mhpsclcl 22151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (𝐻‘0))
38	32, 37	eqeltrrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ (𝐻‘0))
39		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40	20, 18, 39, 21	mhpmpl 22148	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
41		mhppwdeg.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
42	41, 39	mgpbas 20142	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑇)
43		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
44	41, 43	ringidval 20180	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑇)
45		mhppwdeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
46	42, 44, 45	mulg0 19092	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
47	40, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
48	20, 21	mhprcl 22147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
49	48	nn0cnd 12589	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	mul01d 11460	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
51	50	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑀 · 0)) = (𝐻‘0))
52	38, 47, 51	3eltr4d 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0)))
53		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
54	23	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ Ring)
55		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
56	21	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
57	20, 18, 53, 54, 55, 56	mhpmulcl 22153	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋) ∈ (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
58	41	ringmgp 20236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
59	30, 58	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
60	59	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑇 ∈ Mnd)
61		simplr 769	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
62	40	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63	41, 53	mgpplusg 20141	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑇)
64	42, 45, 63	mulgnn0p1 19103	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
65	60, 61, 62, 64	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
66	49	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℂ)
67	61	nn0cnd 12589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
68		1cnd 11256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
69	66, 67, 68	adddid 11285	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)))
70	66	mulridd 11278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
71	70	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
72	69, 71	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
73	72	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))) = (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
74	57, 65, 73	3eltr4d 2856	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
75	5, 9, 13, 17, 52, 74	nn0indd 12715	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
76	1, 75	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300  Mndcmnd 18747  ._gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  algSccascl 21872   mPoly cmpl 21926   mHomP cmhp 22133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-cnfld 21365  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mhp 22140

This theorem is referenced by: (None)