Theorem mhppwdeg 22071

Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 26059. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhppwdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
mhppwdeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
mhppwdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
mhppwdeg	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem mhppwdeg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhppwdeg.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7359	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
4	3	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 0)))
5	2, 4	eleq12d 2825	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0))))
6		oveq1 7359	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
8	7	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
9	6, 8	eleq12d 2825	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))))
10		oveq1 7359	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦 + 1)))
12	11	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eleq12d 2825	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq1 7359	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15		oveq2 7360	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑁))
16	15	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
17	14, 16	eleq12d 2825	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁))))
18		mhppwdeg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19		reldmmhp 22058	. . . . . . . . . 10 ⊢ Rel dom mHomP
20		mhppwdeg.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
21		mhppwdeg.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
22	19, 20, 21	elfvov1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
23		mhppwdeg.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
24	18, 22, 23	mplsca 21956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
25	24	fveq2d 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
26	25	fveq2d 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))))
27		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
28		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
29	18, 22, 23	mpllmodd 21967	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
30	18, 22, 23	mplringd 21966	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
31	27, 28, 29, 30	ascl1 21828	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))) = (1r‘𝑃))
32	26, 31	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
33		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	33, 34	ringidcl 20189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36	23, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	20, 18, 27, 33, 22, 23, 36	mhpsclcl 22068	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (𝐻‘0))
38	32, 37	eqeltrrd 2832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ (𝐻‘0))
39		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40	20, 18, 39, 21	mhpmpl 22065	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
41		mhppwdeg.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
42	41, 39	mgpbas 20069	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑇)
43		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
44	41, 43	ringidval 20107	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑇)
45		mhppwdeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
46	42, 44, 45	mulg0 18993	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
47	40, 46	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
48	20, 21	mhprcl 22064	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
49	48	nn0cnd 12450	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
50	49	mul01d 11318	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
51	50	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑀 · 0)) = (𝐻‘0))
52	38, 47, 51	3eltr4d 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0)))
53		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
54	23	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ Ring)
55		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
56	21	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
57	20, 18, 53, 54, 55, 56	mhpmulcl 22070	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋) ∈ (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
58	41	ringmgp 20163	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
59	30, 58	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
60	59	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑇 ∈ Mnd)
61		simplr 768	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
62	40	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
63	41, 53	mgpplusg 20068	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑇)
64	42, 45, 63	mulgnn0p1 19004	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
65	60, 61, 62, 64	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
66	49	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℂ)
67	61	nn0cnd 12450	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
68		1cnd 11113	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
69	66, 67, 68	adddid 11142	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)))
70	66	mulridd 11135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
71	70	oveq2d 7368	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
72	69, 71	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
73	72	fveq2d 6832	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))) = (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
74	57, 65, 73	3eltr4d 2846	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
75	5, 9, 13, 17, 52, 74	nn0indd 12576	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
76	1, 75	mpdan 687	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   · cmul 11017  ℕ₀cn0 12387  Basecbs 17126  ._rcmulr 17168  Scalarcsca 17170  Mndcmnd 18648  ._gcmg 18986  mulGrpcmgp 20064  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  algSccascl 21795   mPoly cmpl 21849   mHomP cmhp 22050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-addf 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-ofr 7617  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9252  df-sup 9332  df-oi 9402  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-seq 13915  df-hash 14244  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-ress 17148  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-ip 17185  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-hom 17191  df-cco 17192  df-0g 17351  df-gsum 17352  df-prds 17357  df-pws 17359  df-mre 17494  df-mrc 17495  df-acs 17497  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-mhm 18697  df-submnd 18698  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-mulg 18987  df-subg 19042  df-ghm 19131  df-cntz 19235  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20065  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrng 20467  df-subrg 20491  df-lmod 20801  df-lss 20871  df-cnfld 21298  df-ascl 21798  df-psr 21852  df-mpl 21854  df-mhp 22057

This theorem is referenced by: (None)