Theorem mhppwdeg 21684

Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 25629. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhppwdeg.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t	⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
mhppwdeg.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
mhppwdeg.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhppwdeg.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhppwdeg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
mhppwdeg	⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Proof of Theorem mhppwdeg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhppwdeg.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 0))
4	3	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 0)))
5	2, 4	eleq12d 2827	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0))))
6		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑦))
8	7	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
9	6, 8	eleq12d 2827	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))))
10		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · (𝑦 + 1)))
12	11	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
13	10, 12	eleq12d 2827	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1)))))
14		oveq1 7412	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15		oveq2 7413	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑀 · 𝑥) = (𝑀 · 𝑁))
16	15	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) = (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
17	14, 16	eleq12d 2827	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑥)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁))))
18		mhppwdeg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19		mhppwdeg.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
20		mhppwdeg.r	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
21	18, 19, 20	mplsca 21563	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
22	21	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘(Scalar‘𝑃)))
23	22	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))))
24		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
25		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
26	18	mpllmod 21568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
27	19, 20, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
28	18	mplring 21569	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ Ring)
29	19, 20, 28	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Ring)
30	24, 25, 27, 29	ascl1 21430	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘(Scalar‘𝑃))) = (1r‘𝑃))
31	23, 30	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) = (1r‘𝑃))
32		mhppwdeg.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
33		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
34		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
35	33, 34	ringidcl 20076	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36	20, 35	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
37	32, 18, 24, 33, 19, 20, 36	mhpsclcl 21681	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘(1r‘𝑅)) ∈ (𝐻‘0))
38	31, 37	eqeltrrd 2834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑃) ∈ (𝐻‘0))
39		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
40		mhppwdeg.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
41		mhppwdeg.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
42	32, 18, 39, 19, 20, 40, 41	mhpmpl 21678	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
43		mhppwdeg.t	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 = (mulGrp‘𝑃)
44	43, 39	mgpbas 19987	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑇)
45		eqid 2732	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑃) = (1r‘𝑃)
46	43, 45	ringidval 20000	. . . . . 6 ⊢ (1r‘𝑃) = (0g‘𝑇)
47		mhppwdeg.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘𝑇)
48	44, 46, 47	mulg0 18951	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
49	42, 48	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) = (1r‘𝑃))
50	40	nn0cnd 12530	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
51	50	mul01d 11409	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 0) = 0)
52	51	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘(𝑀 · 0)) = (𝐻‘0))
53	38, 49, 52	3eltr4d 2848	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 0)))
54		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
55	19	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
56	20	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑅 ∈ Ring)
57	40	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℕ0)
58		simplr 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
59	57, 58	nn0mulcld 12533	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 𝑦) ∈ ℕ0)
60		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦)))
61	41	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑀))
62	32, 18, 54, 55, 56, 59, 57, 60, 61	mhpmulcl 21683	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋) ∈ (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
63	43	ringmgp 20055	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑇 ∈ Mnd)
64	29, 63	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Mnd)
65	64	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑇 ∈ Mnd)
66	42	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
67	43, 54	mgpplusg 19985	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑃) = (+g‘𝑇)
68	44, 47, 67	mulgnn0p1 18959	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
69	65, 58, 66, 68	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.r‘𝑃)𝑋))
70	50	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑀 ∈ ℂ)
71	58	nn0cnd 12530	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 𝑦 ∈ ℂ)
72		1cnd 11205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → 1 ∈ ℂ)
73	70, 71, 72	adddid 11234	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)))
74	70	mulridd 11227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · 1) = 𝑀)
75	74	oveq2d 7421	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑀 · 𝑦) + (𝑀 · 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
76	73, 75	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝑀 · (𝑦 + 1)) = ((𝑀 · 𝑦) + 𝑀))
77	76	fveq2d 6892	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))) = (𝐻‘((𝑀 · 𝑦) + 𝑀)))
78	62, 69, 77	3eltr4d 2848	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℕ0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑦))) → ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · (𝑦 + 1))))
79	5, 9, 13, 17, 53, 78	nn0indd 12655	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))
80	1, 79	mpdan 685	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (𝐻‘(𝑀 · 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196  Mndcmnd 18621  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  algSccascl 21398   mPoly cmpl 21450   mHomP cmhp 21663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-cnfld 20937  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-mhp 21667

This theorem is referenced by: (None)