MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhppwdeg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhppwdeg 21699
Description: Degree of a homogeneous polynomial raised to a power. General version of deg1pw 25645. (Contributed by SN, 26-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhppwdeg.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhppwdeg.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhppwdeg.t 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
mhppwdeg.e ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
mhppwdeg.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhppwdeg.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mhppwdeg.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
mhppwdeg.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
mhppwdeg.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
mhppwdeg (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
Proof of Theorem mhppwdeg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhppwdeg.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2 oveq1 7418 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (0 ↑ 𝑋))
3 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 0))
43fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 0 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 0)))
52, 4eleq12d 2827 . . 3 (π‘₯ = 0 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (0 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 0))))
6 oveq1 7418 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑦 ↑ 𝑋))
7 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑦))
87fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦)))
96, 8eleq12d 2827 . . 3 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))))
10 oveq1 7418 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋))
11 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· (𝑦 + 1)))
1211fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))))
1310, 12eleq12d 2827 . . 3 (π‘₯ = (𝑦 + 1) β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1)))))
14 oveq1 7418 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π‘₯ ↑ 𝑋) = (𝑁 ↑ 𝑋))
15 oveq2 7419 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (𝑀 Β· π‘₯) = (𝑀 Β· 𝑁))
1615fveq2d 6895 . . . 4 (π‘₯ = 𝑁 β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) = (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
1714, 16eleq12d 2827 . . 3 (π‘₯ = 𝑁 β†’ ((π‘₯ ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· π‘₯)) ↔ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁))))
18 mhppwdeg.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
19 mhppwdeg.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
20 mhppwdeg.r . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2118, 19, 20mplsca 21578 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
2221fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
2322fveq2d 6895 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))))
24 eqid 2732 . . . . . . 7 (algScβ€˜π‘ƒ) = (algScβ€˜π‘ƒ)
25 eqid 2732 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
2618mpllmod 21583 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2719, 20, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
2818mplring 21584 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
2919, 20, 28syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ Ring)
3024, 25, 27, 29ascl1 21445 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) = (1rβ€˜π‘ƒ))
3123, 30eqtrd 2772 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) = (1rβ€˜π‘ƒ))
32 mhppwdeg.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
33 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
34 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3533, 34ringidcl 20085 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3620, 35syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3732, 18, 24, 33, 19, 20, 36mhpsclcl 21696 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((algScβ€˜π‘ƒ)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (π»β€˜0))
3831, 37eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘ƒ) ∈ (π»β€˜0))
39 eqid 2732 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
40 mhppwdeg.m . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
41 mhppwdeg.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
4232, 18, 39, 19, 20, 40, 41mhpmpl 21693 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
43 mhppwdeg.t . . . . . . 7 𝑇 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
4443, 39mgpbas 19995 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘‡)
45 eqid 2732 . . . . . . 7 (1rβ€˜π‘ƒ) = (1rβ€˜π‘ƒ)
4643, 45ringidval 20008 . . . . . 6 (1rβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘‡)
47 mhppwdeg.e . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜π‘‡)
4844, 46, 47mulg0 18959 . . . . 5 (𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
4942, 48syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) = (1rβ€˜π‘ƒ))
5040nn0cnd 12536 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
5150mul01d 11415 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀 Β· 0) = 0)
5251fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· 0)) = (π»β€˜0))
5338, 49, 523eltr4d 2848 . . 3 (πœ‘ β†’ (0 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 0)))
54 eqid 2732 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
5519ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
5620ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5740ad2antrr 724 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
58 simplr 767 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„•0)
5957, 58nn0mulcld 12539 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· 𝑦) ∈ β„•0)
60 simpr 485 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦)))
6141ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘€))
6232, 18, 54, 55, 56, 59, 57, 60, 61mhpmulcl 21698 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋) ∈ (π»β€˜((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀)))
6343ringmgp 20064 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6429, 63syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6564ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑇 ∈ Mnd)
6642ad2antrr 724 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
6743, 54mgpplusg 19993 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘‡)
6844, 47, 67mulgnn0p1 18967 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋))
6965, 58, 66, 68syl3anc 1371 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) = ((𝑦 ↑ 𝑋)(.rβ€˜π‘ƒ)𝑋))
7050ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
7158nn0cnd 12536 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
72 1cnd 11211 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ 1 ∈ β„‚)
7370, 71, 72adddid 11240 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· (𝑦 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + (𝑀 Β· 1)))
7470mulridd 11233 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
7574oveq2d 7427 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑀 Β· 𝑦) + (𝑀 Β· 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀))
7673, 75eqtrd 2772 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (𝑀 Β· (𝑦 + 1)) = ((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀))
7776fveq2d 6895 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))) = (π»β€˜((𝑀 Β· 𝑦) + 𝑀)))
7862, 69, 773eltr4d 2848 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ β„•0) ∧ (𝑦 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑦))) β†’ ((𝑦 + 1) ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· (𝑦 + 1))))
795, 9, 13, 17, 53, 78nn0indd 12661 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
801, 79mpdan 685 1 (πœ‘ β†’ (𝑁 ↑ 𝑋) ∈ (π»β€˜(𝑀 Β· 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„•0cn0 12474  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202  Mndcmnd 18627  .gcmg 18952  mulGrpcmgp 19989  1rcur 20006  Ringcrg 20058  LModclmod 20475  algSccascl 21413   mPoly cmpl 21465   mHomP cmhp 21678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-hash 14293  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-prds 17395  df-pws 17397  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-subrg 20321  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-cnfld 20951  df-ascl 21416  df-psr 21468  df-mpl 21470  df-mhp 21682
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator