Theorem ovprc1 7385

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7384	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  ∅c0 4280  dom cdm 5614  Rel wrel 5619  (class class class)co 7346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-xp 5620  df-rel 5621  df-dm 5624  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349

This theorem is referenced by:  elfvov1  7388  mapssfset  8775  mapdom2  9061  relexpsucrd  14940  relexpsucld  14941  relexpreld  14947  relexpdmd  14951  relexprnd  14955  relexpfldd  14957  relexpaddd  14961  dfrtrclrec2  14965  relexpindlem  14970  oveqprc  17103  ressinbas  17156  ressress  17158  oduval  18194  oduleval  18195  gsum0  18592  efmndbas  18779  oppgval  19259  oppgplusfval  19260  mgpval  20061  opprval  20256  srasca  21114  rlmsca2  21133  dsmmval  21671  dsmmfi  21675  resspsrbas  21911  mpfrcl  22020  psrbaspropd  22147  mplbaspropd  22149  evl1fval1  22246  qtopres  23613  fgabs  23794  tngds  24563  tcphval  25145  of0r  32660  erlval  33225  fracval  33270  resvsca  33297  mapco2g  42755  mzpmfp  42788  mendbas  43221  naryfvalixp  48669  1aryenef  48685  2aryenef  48696  resccat  49114