Theorem ovprc1 7406

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7405	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  ∅c0 4273  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  (class class class)co 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  elfvov1  7409  mapssfset  8798  mapdom2  9086  relexpsucrd  14995  relexpsucld  14996  relexpreld  15002  relexpdmd  15006  relexprnd  15010  relexpfldd  15012  relexpaddd  15016  dfrtrclrec2  15020  relexpindlem  15025  oveqprc  17162  ressinbas  17215  ressress  17217  oduval  18254  oduleval  18255  gsum0  18652  efmndbas  18839  oppgval  19322  oppgplusfval  19323  mgpval  20124  opprval  20318  srasca  21175  rlmsca2  21194  dsmmval  21714  dsmmfi  21718  resspsrbas  21952  mpfrcl  22063  psrbaspropd  22198  mplbaspropd  22200  evl1fval1  22296  qtopres  23663  fgabs  23844  tngds  24613  tcphval  25185  of0r  32752  erlval  33319  fracval  33365  resvsca  33392  mapco2g  43146  mzpmfp  43179  mendbas  43608  naryfvalixp  49105  1aryenef  49121  2aryenef  49132  resccat  49549