Theorem ovprc1 7448

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7447	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4323  dom cdm 5677  Rel wrel 5682  (class class class)co 7409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-rel 5684  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412

This theorem is referenced by:  mapssfset  8845  mapdom2  9148  relexpsucrd  14980  relexpsucld  14981  relexpreld  14987  relexpdmd  14991  relexprnd  14995  relexpfldd  14997  relexpaddd  15001  dfrtrclrec2  15005  relexpindlem  15010  oveqprc  17125  setsnidOLD  17143  ressbasOLD  17180  resslemOLD  17187  ressinbas  17190  ressress  17193  oduval  18241  oduleval  18242  gsum0  18603  efmndbas  18752  oppgval  19211  oppgplusfval  19212  mgpval  19990  opprval  20151  srasca  20798  srascaOLD  20799  rlmsca2  20823  dsmmval  21289  dsmmfi  21293  resspsrbas  21535  mpfrcl  21648  psrbaspropd  21757  mplbaspropd  21759  evl1fval1  21850  qtopres  23202  fgabs  23383  tnglemOLD  24150  tngds  24164  tngdsOLD  24165  tcphval  24735  resvsca  32475  resvlemOLD  32477  mapco2g  41500  mzpmfp  41533  mendbas  41974  naryfvalixp  47363  1aryenef  47379  2aryenef  47390