Theorem ovprc1 7400

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7399	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  dom cdm 5625  Rel wrel 5630  (class class class)co 7361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-xp 5631  df-rel 5632  df-dm 5635  df-iota 6449  df-fv 6501  df-ov 7364

This theorem is referenced by:  elfvov1  7403  mapssfset  8792  mapdom2  9080  relexpsucrd  14989  relexpsucld  14990  relexpreld  14996  relexpdmd  15000  relexprnd  15004  relexpfldd  15006  relexpaddd  15010  dfrtrclrec2  15014  relexpindlem  15019  oveqprc  17156  ressinbas  17209  ressress  17211  oduval  18248  oduleval  18249  gsum0  18646  efmndbas  18833  oppgval  19316  oppgplusfval  19317  mgpval  20118  opprval  20312  srasca  21170  rlmsca2  21189  dsmmval  21727  dsmmfi  21731  resspsrbas  21965  mpfrcl  22076  psrbaspropd  22211  mplbaspropd  22213  evl1fval1  22309  qtopres  23676  fgabs  23857  tngds  24626  tcphval  25198  of0r  32770  erlval  33337  fracval  33383  resvsca  33410  mapco2g  43163  mzpmfp  43196  mendbas  43629  naryfvalixp  49120  1aryenef  49136  2aryenef  49147  resccat  49564