Theorem ovprc1 7388

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7387	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436  ∅c0 4284  dom cdm 5619  Rel wrel 5624  (class class class)co 7349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-xp 5625  df-rel 5626  df-dm 5629  df-iota 6438  df-fv 6490  df-ov 7352

This theorem is referenced by:  elfvov1  7391  mapssfset  8778  mapdom2  9065  relexpsucrd  14940  relexpsucld  14941  relexpreld  14947  relexpdmd  14951  relexprnd  14955  relexpfldd  14957  relexpaddd  14961  dfrtrclrec2  14965  relexpindlem  14970  oveqprc  17103  ressinbas  17156  ressress  17158  oduval  18194  oduleval  18195  gsum0  18558  efmndbas  18745  oppgval  19226  oppgplusfval  19227  mgpval  20028  opprval  20223  srasca  21084  rlmsca2  21103  dsmmval  21641  dsmmfi  21645  resspsrbas  21881  mpfrcl  21990  psrbaspropd  22117  mplbaspropd  22119  evl1fval1  22216  qtopres  23583  fgabs  23764  tngds  24534  tcphval  25116  of0r  32621  erlval  33198  fracval  33243  resvsca  33270  mapco2g  42687  mzpmfp  42720  mendbas  43153  naryfvalixp  48614  1aryenef  48630  2aryenef  48641  resccat  49059