MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovprc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovprc1 7392
Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
ovprc1.1 Rel dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
ovprc1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2 ovprc1.1 . . 3 Rel dom 𝐹
32ovprc 7391 . 2 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
41, 3nsyl5 159 1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  c0 4280  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  (class class class)co 7353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pr 5382
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-iota 6445  df-fv 6501  df-ov 7356
This theorem is referenced by:  mapssfset  8785  mapdom2  9088  relexpsucrd  14910  relexpsucld  14911  relexpreld  14917  relexpdmd  14921  relexprnd  14925  relexpfldd  14927  relexpaddd  14931  dfrtrclrec2  14935  relexpindlem  14940  oveqprc  17056  setsnidOLD  17074  ressbasOLD  17111  resslemOLD  17115  ressinbas  17118  ressress  17121  oduval  18169  oduleval  18170  gsum0  18531  efmndbas  18673  oppgval  19116  oppgplusfval  19117  mgpval  19890  opprval  20035  srasca  20631  srascaOLD  20632  rlmsca2  20655  dsmmval  21125  dsmmfi  21129  resspsrbas  21368  mpfrcl  21479  psrbaspropd  21590  mplbaspropd  21592  evl1fval1  21681  qtopres  23033  fgabs  23214  tnglemOLD  23981  tngds  23995  tngdsOLD  23996  tcphval  24566  resvsca  32004  resvlemOLD  32006  mapco2g  40975  mzpmfp  41008  mendbas  41449  naryfvalixp  46647  1aryenef  46663  2aryenef  46674
  Copyright terms: Public domain W3C validator