Theorem ovprc1 7444

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7443	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ∅c0 4308  dom cdm 5654  Rel wrel 5659  (class class class)co 7405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-rel 5661  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fv 6539  df-ov 7408

This theorem is referenced by:  elfvov1  7447  mapssfset  8865  mapdom2  9162  relexpsucrd  15052  relexpsucld  15053  relexpreld  15059  relexpdmd  15063  relexprnd  15067  relexpfldd  15069  relexpaddd  15073  dfrtrclrec2  15077  relexpindlem  15082  oveqprc  17211  ressinbas  17266  ressress  17268  oduval  18300  oduleval  18301  gsum0  18662  efmndbas  18849  oppgval  19330  oppgplusfval  19331  mgpval  20103  opprval  20298  srasca  21138  rlmsca2  21157  dsmmval  21694  dsmmfi  21698  resspsrbas  21934  mpfrcl  22043  psrbaspropd  22170  mplbaspropd  22172  evl1fval1  22269  qtopres  23636  fgabs  23817  tngds  24587  tcphval  25170  of0r  32656  erlval  33253  fracval  33298  resvsca  33348  mapco2g  42737  mzpmfp  42770  mendbas  43204  naryfvalixp  48609  1aryenef  48625  2aryenef  48636  resccat  49041