Theorem ovprc1 7408

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7407	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  (class class class)co 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372

This theorem is referenced by:  elfvov1  7411  mapssfset  8801  mapdom2  9089  relexpsucrd  14975  relexpsucld  14976  relexpreld  14982  relexpdmd  14986  relexprnd  14990  relexpfldd  14992  relexpaddd  14996  dfrtrclrec2  15000  relexpindlem  15005  oveqprc  17138  ressinbas  17191  ressress  17193  oduval  18225  oduleval  18226  gsum0  18587  efmndbas  18774  oppgval  19255  oppgplusfval  19256  mgpval  20028  opprval  20223  srasca  21063  rlmsca2  21082  dsmmval  21619  dsmmfi  21623  resspsrbas  21859  mpfrcl  21968  psrbaspropd  22095  mplbaspropd  22097  evl1fval1  22194  qtopres  23561  fgabs  23742  tngds  24512  tcphval  25094  of0r  32575  erlval  33182  fracval  33227  resvsca  33277  mapco2g  42675  mzpmfp  42708  mendbas  43142  naryfvalixp  48591  1aryenef  48607  2aryenef  48618  resccat  49036