MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovprc1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovprc1 7179
Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)
Hypothesis
Ref Expression
ovprc1.1 Rel dom 𝐹
Assertion
Ref Expression
ovprc1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . 2 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2 ovprc1.1 . . 3 Rel dom 𝐹
32ovprc 7178 . 2 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
41, 3nsyl5 162 1 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  c0 4265  dom cdm 5532  Rel wrel 5537  (class class class)co 7140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ral 3135  df-rex 3136  df-v 3471  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-xp 5538  df-rel 5539  df-dm 5542  df-iota 6293  df-fv 6342  df-ov 7143
This theorem is referenced by:  mapdom2  8676  setsnid  16530  ressbas  16545  resslem  16548  ressinbas  16551  ressress  16553  oduval  17731  oduleval  17732  gsum0  17885  efmndbas  18027  oppgval  18466  oppgplusfval  18467  mgpval  19233  opprval  19368  srasca  19944  rlmsca2  19964  dsmmval  20421  dsmmfi  20425  resspsrbas  20651  mpfrcl  20755  psrbaspropd  20862  mplbaspropd  20864  evl1fval1  20953  qtopres  22301  fgabs  22482  tnglem  23244  tngds  23252  tcphval  23820  resvsca  30935  resvlem  30936  mapco2g  39586  mzpmfp  39619  mendbas  40059  naryfvalixp  44983  1aryenef  44999  2aryenef  45010
  Copyright terms: Public domain W3C validator