Theorem ovprc1 7174

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7173	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 162	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  ∅c0 4243  dom cdm 5519  Rel wrel 5524  (class class class)co 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-xp 5525  df-rel 5526  df-dm 5529  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138

This theorem is referenced by:  mapdom2  8672  relexpsucrd  14384  relexpsucld  14385  relexpreld  14391  relexpdmd  14395  relexprnd  14399  relexpfldd  14401  relexpaddd  14405  dfrtrclrec2  14409  relexpindlem  14414  setsnid  16531  ressbas  16546  resslem  16549  ressinbas  16552  ressress  16554  oduval  17732  oduleval  17733  gsum0  17886  efmndbas  18028  oppgval  18467  oppgplusfval  18468  mgpval  19235  opprval  19370  srasca  19946  rlmsca2  19966  dsmmval  20423  dsmmfi  20427  resspsrbas  20653  mpfrcl  20757  psrbaspropd  20864  mplbaspropd  20866  evl1fval1  20955  qtopres  22303  fgabs  22484  tnglem  23246  tngds  23254  tcphval  23822  resvsca  30954  resvlem  30955  mapco2g  39655  mzpmfp  39688  mendbas  40128  naryfvalixp  45043  1aryenef  45059  2aryenef  45070