Theorem ovprc1 7456

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7455	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 160	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  dom cdm 5659  Rel wrel 5664  (class class class)co 7417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420

This theorem is used by:  elfvov1  7459  mapssfset  8856  mapdom2  9150  relexpsucrd  15110  relexpsucld  15111  relexpreld  15117  relexpdmd  15121  relexprnd  15125  relexpfldd  15127  relexpaddd  15131  dfrtrclrec2  15135  relexpindlem  15140  oveqprc  17290  ressinbas  17343  ressress  17345  oduval  18382  oduleval  18383  gsum0  18792  efmndbas  18986  oppgval  19480  oppgplusfval  19481  mgpval  20282  opprval  20485  srasca  21370  rlmsca2  21389  dsmmval  21953  dsmmfi  21957  resspsrbas  22194  mpfrcl  22307  psrbaspropd  22465  mplbaspropd  22467  evl1fval1  22562  qtopres  23930  fgabs  24111  tngds  24880  tcphval  25452  of0r  33160  erlval  33706  fracval  33753  resvsca  33780  mapco2g  43567  mzpmfp  43600  mendbas  44029  naryfvalixp  49567  1aryenef  49583  2aryenef  49594  resccat  50008