Theorem ovprc1 7435

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7434	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ∅c0 4285  dom cdm 5647  Rel wrel 5652  (class class class)co 7396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-xp 5653  df-rel 5654  df-dm 5657  df-iota 6477  df-fv 6529  df-ov 7399

This theorem is referenced by:  elfvov1  7438  mapssfset  8832  mapdom2  9120  relexpsucrd  15046  relexpsucld  15047  relexpreld  15053  relexpdmd  15057  relexprnd  15061  relexpfldd  15063  relexpaddd  15067  dfrtrclrec2  15071  relexpindlem  15076  oveqprc  17228  ressinbas  17281  ressress  17283  oduval  18320  oduleval  18321  gsum0  18718  efmndbas  18905  oppgval  19387  oppgplusfval  19388  mgpval  20189  opprval  20383  srasca  21244  rlmsca2  21263  dsmmval  21783  dsmmfi  21787  resspsrbas  22022  mpfrcl  22135  psrbaspropd  22293  mplbaspropd  22295  evl1fval1  22391  qtopres  23755  fgabs  23936  tngds  24705  tcphval  25277  of0r  32878  erlval  33436  fracval  33488  resvsca  33515  mapco2g  43292  mzpmfp  43325  mendbas  43754  naryfvalixp  49248  1aryenef  49264  2aryenef  49275  resccat  49692