Theorem ovprc1 7397

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7396	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285  dom cdm 5624  Rel wrel 5629  (class class class)co 7358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-xp 5630  df-rel 5631  df-dm 5634  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361

This theorem is referenced by:  elfvov1  7400  mapssfset  8788  mapdom2  9076  relexpsucrd  14956  relexpsucld  14957  relexpreld  14963  relexpdmd  14967  relexprnd  14971  relexpfldd  14973  relexpaddd  14977  dfrtrclrec2  14981  relexpindlem  14986  oveqprc  17119  ressinbas  17172  ressress  17174  oduval  18211  oduleval  18212  gsum0  18609  efmndbas  18796  oppgval  19276  oppgplusfval  19277  mgpval  20078  opprval  20274  srasca  21132  rlmsca2  21151  dsmmval  21689  dsmmfi  21693  resspsrbas  21929  mpfrcl  22040  psrbaspropd  22175  mplbaspropd  22177  evl1fval1  22275  qtopres  23642  fgabs  23823  tngds  24592  tcphval  25174  of0r  32758  erlval  33340  fracval  33386  resvsca  33413  mapco2g  42956  mzpmfp  42989  mendbas  43422  naryfvalixp  48875  1aryenef  48891  2aryenef  48902  resccat  49319