Theorem ovprc1 7458

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7457	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 160	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  dom cdm 5663  Rel wrel 5668  (class class class)co 7419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-xp 5669  df-rel 5670  df-dm 5673  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7422

This theorem is used by:  elfvov1  7461  mapssfset  8854  mapdom2  9143  relexpsucrd  15094  relexpsucld  15095  relexpreld  15101  relexpdmd  15105  relexprnd  15109  relexpfldd  15111  relexpaddd  15115  dfrtrclrec2  15119  relexpindlem  15124  oveqprc  17274  ressinbas  17327  ressress  17329  oduval  18366  oduleval  18367  gsum0  18774  efmndbas  18967  oppgval  19461  oppgplusfval  19462  mgpval  20263  opprval  20466  srasca  21351  rlmsca2  21370  dsmmval  21934  dsmmfi  21938  resspsrbas  22173  mpfrcl  22286  psrbaspropd  22444  mplbaspropd  22446  evl1fval1  22541  qtopres  23906  fgabs  24087  tngds  24856  tcphval  25428  of0r  33095  erlval  33642  fracval  33689  resvsca  33716  mapco2g  43503  mzpmfp  43536  mendbas  43965  naryfvalixp  49466  1aryenef  49482  2aryenef  49493  resccat  49909