Theorem ovprc1 7408

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7407	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ∅c0 4292  dom cdm 5631  Rel wrel 5636  (class class class)co 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-rel 5638  df-dm 5641  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372

This theorem is referenced by:  elfvov1  7411  mapssfset  8801  mapdom2  9089  relexpsucrd  14975  relexpsucld  14976  relexpreld  14982  relexpdmd  14986  relexprnd  14990  relexpfldd  14992  relexpaddd  14996  dfrtrclrec2  15000  relexpindlem  15005  oveqprc  17138  ressinbas  17191  ressress  17193  oduval  18229  oduleval  18230  gsum0  18593  efmndbas  18780  oppgval  19261  oppgplusfval  19262  mgpval  20063  opprval  20258  srasca  21119  rlmsca2  21138  dsmmval  21676  dsmmfi  21680  resspsrbas  21916  mpfrcl  22025  psrbaspropd  22152  mplbaspropd  22154  evl1fval1  22251  qtopres  23618  fgabs  23799  tngds  24569  tcphval  25151  of0r  32652  erlval  33225  fracval  33270  resvsca  33297  mapco2g  42695  mzpmfp  42728  mendbas  43162  naryfvalixp  48611  1aryenef  48627  2aryenef  48638  resccat  49056