Theorem ovprc1 7487

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7486	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 159	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ∅c0 4352  dom cdm 5700  Rel wrel 5705  (class class class)co 7448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-xp 5706  df-rel 5707  df-dm 5710  df-iota 6525  df-fv 6581  df-ov 7451

This theorem is referenced by:  elfvov1  7490  mapssfset  8909  mapdom2  9214  relexpsucrd  15082  relexpsucld  15083  relexpreld  15089  relexpdmd  15093  relexprnd  15097  relexpfldd  15099  relexpaddd  15103  dfrtrclrec2  15107  relexpindlem  15112  oveqprc  17239  setsnidOLD  17257  ressbasOLD  17294  resslemOLD  17301  ressinbas  17304  ressress  17307  oduval  18358  oduleval  18359  gsum0  18722  efmndbas  18906  oppgval  19387  oppgplusfval  19388  mgpval  20164  opprval  20361  srasca  21206  srascaOLD  21207  rlmsca2  21229  dsmmval  21777  dsmmfi  21781  resspsrbas  22017  mpfrcl  22132  psrbaspropd  22257  mplbaspropd  22259  evl1fval1  22356  qtopres  23727  fgabs  23908  tnglemOLD  24675  tngds  24689  tngdsOLD  24690  tcphval  25271  of0r  32696  erlval  33230  fracval  33271  resvsca  33321  resvlemOLD  33323  mapco2g  42670  mzpmfp  42703  mendbas  43141  naryfvalixp  48363  1aryenef  48379  2aryenef  48390