Theorem ovprc1 7463

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. (Contributed by NM, 16-Jun-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
ovprc1.1	⊢ Rel dom 𝐹

Assertion

Ref	Expression
ovprc1	⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

Proof of Theorem ovprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
2		ovprc1.1	. . 3 ⊢ Rel dom 𝐹
3	2	ovprc 7462	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)
4	1, 3	nsyl5 160	1 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴𝐹𝐵) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  dom cdm 5651  Rel wrel 5656  (class class class)co 7424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-xp 5657  df-rel 5658  df-dm 5661  df-iota 6497  df-fv 6551  df-ov 7427

This theorem is used by:  elfvov1  7466  mapssfset  8880  mapdom2  9174  relexpsucrd  15195  relexpsucld  15196  relexpreld  15202  relexpdmd  15206  relexprnd  15210  relexpfldd  15212  relexpaddd  15216  dfrtrclrec2  15220  relexpindlem  15225  oveqprc  17379  ressinbas  17432  ressress  17434  oduval  18471  oduleval  18472  gsum0  18882  efmndbas  19076  oppgval  19570  oppgplusfval  19571  mgpval  20372  opprval  20577  srasca  21464  rlmsca2  21483  dsmmval  22049  dsmmfi  22053  resspsrbas  22290  mpfrcl  22403  psrbaspropd  22561  mplbaspropd  22563  evl1fval1  22658  qtopres  24026  fgabs  24207  tngds  24976  tcphval  25548  of0r  33324  erlval  33869  fracval  33916  resvsca  33943  mapco2g  43834  mzpmfp  43867  mendbas  44291  naryfvalixp  49849  1aryenef  49865  2aryenef  49876  resccat  50296