Theorem elom3 9557

Description: A simplification of elom 7811 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)

Assertion

Ref	Expression
elom3	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elom 7811	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
2		limom 7824	. . . . 5 ⊢ Lim ω
3		omex 9552	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
4		limeq 6329	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (Lim 𝑥 ↔ Lim ω))
5		eleq2 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ ω))
6	4, 5	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → ((Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (Lim ω → 𝐴 ∈ ω)))
7	3, 6	spcv 3559	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → (Lim ω → 𝐴 ∈ ω))
8	2, 7	mpi 20	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ ω)
9		nnon 7814	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ On)
11	10	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
12	1, 11	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  ωcom 7808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-tr 5206  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-om 7809

This theorem is referenced by:  dfom4  9558  dfom5  9559