MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elom3 9087
Description: A simplification of elom 7558 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)
Assertion
Ref Expression
elom3 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elom3
StepHypRef Expression
1 elom 7558 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
2 limom 7570 . . . . 5 Lim ω
3 omex 9082 . . . . . 6 ω ∈ V
4 limeq 6176 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (Lim 𝑥 ↔ Lim ω))
5 eleq2 2900 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (𝐴𝑥𝐴 ∈ ω))
64, 5imbi12d 348 . . . . . 6 (𝑥 = ω → ((Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (Lim ω → 𝐴 ∈ ω)))
73, 6spcv 3583 . . . . 5 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → (Lim ω → 𝐴 ∈ ω))
82, 7mpi 20 . . . 4 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ω)
9 nnon 7561 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
108, 9syl 17 . . 3 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ On)
1110pm4.71ri 564 . 2 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
121, 11bitr4i 281 1 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2115  Oncon0 6164  Lim wlim 6165  ωcom 7555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-br 5040  df-opab 5102  df-tr 5146  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-om 7556
This theorem is referenced by:  dfom4  9088  dfom5  9089
  Copyright terms: Public domain W3C validator