Theorem elom3 9656

Description: A simplification of elom 7884 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)

Assertion

Ref	Expression
elom3	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elom 7884	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
2		limom 7897	. . . . 5 ⊢ Lim ω
3		omex 9651	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
4		limeq 6377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (Lim 𝑥 ↔ Lim ω))
5		eleq2 2849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ ω))
6	4, 5	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → ((Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (Lim ω → 𝐴 ∈ ω)))
7	3, 6	spcv 3559	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → (Lim ω → 𝐴 ∈ ω))
8	2, 7	mpi 21	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ ω)
9		nnon 7887	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ On)
11	10	pm4.71ri 570	. 2 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
12	1, 11	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  ωcom 7881

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-om 7882

This theorem is used by:  dfom4  9657  dfom5  9658