MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elom3 8844
Description: A simplification of elom 7348 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)
Assertion
Ref Expression
elom3 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elom3
StepHypRef Expression
1 elom 7348 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
2 limom 7360 . . . . 5 Lim ω
3 omex 8839 . . . . . 6 ω ∈ V
4 limeq 5990 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (Lim 𝑥 ↔ Lim ω))
5 eleq2 2848 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (𝐴𝑥𝐴 ∈ ω))
64, 5imbi12d 336 . . . . . 6 (𝑥 = ω → ((Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (Lim ω → 𝐴 ∈ ω)))
73, 6spcv 3501 . . . . 5 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → (Lim ω → 𝐴 ∈ ω))
82, 7mpi 20 . . . 4 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ω)
9 nnon 7351 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
108, 9syl 17 . . 3 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ On)
1110pm4.71ri 556 . 2 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
121, 11bitr4i 270 1 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wal 1599   = wceq 1601  wcel 2107  Oncon0 5978  Lim wlim 5979  ωcom 7345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-opab 4951  df-tr 4990  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-om 7346
This theorem is referenced by:  dfom4  8845  dfom5  8846
  Copyright terms: Public domain W3C validator