MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elom3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elom3 9640
Description: A simplification of elom 7852 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)
Assertion
Ref Expression
elom3 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elom3
StepHypRef Expression
1 elom 7852 . 2 (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
2 limom 7865 . . . . 5 Lim ω
3 omex 9635 . . . . . 6 ω ∈ V
4 limeq 6367 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (Lim 𝑥 ↔ Lim ω))
5 eleq2 2814 . . . . . . 7 (𝑥 = ω → (𝐴𝑥𝐴 ∈ ω))
64, 5imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = ω → ((Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (Lim ω → 𝐴 ∈ ω)))
73, 6spcv 3587 . . . . 5 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → (Lim ω → 𝐴 ∈ ω))
82, 7mpi 20 . . . 4 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ ω)
9 nnon 7855 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
108, 9syl 17 . . 3 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) → 𝐴 ∈ On)
1110pm4.71ri 560 . 2 (∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥)))
121, 11bitr4i 278 1 (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥𝐴𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wal 1531   = wceq 1533  wcel 2098  Oncon0 6355  Lim wlim 6356  ωcom 7849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-tr 5257  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-om 7850
This theorem is referenced by:  dfom4  9641  dfom5  9642
  Copyright terms: Public domain W3C validator