Theorem elom3 9577

Description: A simplification of elom 7825 assuming the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 30-May-2003.)

Assertion

Ref	Expression
elom3	⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elom3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elom 7825	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
2		limom 7838	. . . . 5 ⊢ Lim ω
3		omex 9572	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
4		limeq 6332	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (Lim 𝑥 ↔ Lim ω))
5		eleq2 2817	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ω → (𝐴 ∈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ ω))
6	4, 5	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ω → ((Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (Lim ω → 𝐴 ∈ ω)))
7	3, 6	spcv 3568	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → (Lim ω → 𝐴 ∈ ω))
8	2, 7	mpi 20	. . . 4 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ ω)
9		nnon 7828	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) → 𝐴 ∈ On)
11	10	pm4.71ri 560	. 2 ⊢ (∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥) ↔ (𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥)))
12	1, 11	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ ∀𝑥(Lim 𝑥 → 𝐴 ∈ 𝑥))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Oncon0 6320  Lim wlim 6321  ωcom 7822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-tr 5210  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-om 7823

This theorem is referenced by:  dfom4  9578  dfom5  9579