Theorem en2i 8530

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2i.1	⊢ 𝐴 ∈ V
en2i.2	⊢ 𝐵 ∈ V
en2i.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
en2i.4	⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V)
en2i.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
en2i	⊢ 𝐴 ≈ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem en2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3		en2i.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
5		en2i.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V))
7		en2i.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V))
9		en2i.5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷)))
11	2, 4, 6, 8, 10	en2d 8528	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐴 ≈ 𝐵)
12	11	mptru 1545	1 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   ≈ cen 8489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-en 8493

This theorem is referenced by:  xpsnen  8584  xpassen  8594