Theorem en2i 8992

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2i.1	⊢ 𝐴 ∈ V
en2i.2	⊢ 𝐵 ∈ V
en2i.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
en2i.4	⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V)
en2i.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
en2i	⊢ 𝐴 ≈ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem en2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3		en2i.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
5		en2i.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V))
7		en2i.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V))
9		en2i.5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷)))
11	2, 4, 6, 8, 10	en2d 8990	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐴 ≈ 𝐵)
12	11	mptru 1547	1 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148   ≈ cen 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-en 8946

This theorem is referenced by:  xpsnen  9061  xpassen  9072