Theorem en2i 8988

Description: Equinumerosity inference from an implicit one-to-one onto function. (Contributed by NM, 4-Jan-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
en2i.1	⊢ 𝐴 ∈ V
en2i.2	⊢ 𝐵 ∈ V
en2i.3	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
en2i.4	⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V)
en2i.5	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
en2i	⊢ 𝐴 ≈ 𝐵

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑦,𝐶   𝑥,𝐷

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐷(𝑦)

Proof of Theorem en2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2i.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
3		en2i.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐵 ∈ V)
5		en2i.3	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝐶 ∈ V))
7		en2i.4	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝐷 ∈ V))
9		en2i.5	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷))
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝐶) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 = 𝐷)))
11	2, 4, 6, 8, 10	en2d 8986	. 2 ⊢ (⊤ → 𝐴 ≈ 𝐵)
12	11	mptru 1577	1 ⊢ 𝐴 ≈ 𝐵

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5110   ≈ cen 8941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-en 8945

This theorem is referenced by:  xpsnen  9050  xpassen  9060