Theorem eqvrelqseqdisj4 39798

Description: Lemma for petincnvepres2 39814. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj4	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelqseqdisj3 39797	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		disjimin 39703	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (𝑆 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∩ cin 3897   E cep 5546  ^◡ccnv 5646   ↾ cres 5649   / cqs 8694   EqvRel weqvrel 39052   Disj wdisjALTV 39071

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5542  df-eprel 5547  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-ec 8697  df-qs 8701  df-coss 39353  df-refrel 39444  df-cnvrefrel 39459  df-symrel 39476  df-trrel 39510  df-eqvrel 39521  df-funALTV 39619  df-disjALTV 39642  df-eldisj 39644

This theorem is used by:  petincnvepres2  39814