Theorem eqvrelqseqdisj5 37047

Description: Lemma for the Partition-Equivalence Theorem pet2 37064. (Contributed by Peter Mazsa, 15-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj5	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelqseqdisj3 37045	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		disjimxrn 36963	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   E cep 5505  ^◡ccnv 5599   ↾ cres 5602   / cqs 8528   ⋉ cxrn 36380   EqvRel weqvrel 36398   Disj wdisjALTV 36415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3331  df-rab 3333  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-eprel 5506  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-fo 6464  df-fv 6466  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-ec 8531  df-qs 8535  df-xrn 36585  df-coss 36625  df-refrel 36726  df-cnvrefrel 36741  df-symrel 36758  df-trrel 36788  df-eqvrel 36799  df-funALTV 36896  df-disjALTV 36919  df-eldisj 36921

This theorem is referenced by:  pet2  37064