Theorem eqvrelqseqdisj5 37691

Description: Lemma for the Partition-Equivalence Theorem pet2 37708. (Contributed by Peter Mazsa, 15-Jul-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 22-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj5	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelqseqdisj3 37689	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))
2		disjimxrn 37607	. 2 ⊢ ( Disj (◡ E ↾ 𝐴) → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (𝑆 ⋉ (◡ E ↾ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   E cep 5578  ^◡ccnv 5674   ↾ cres 5677   / cqs 8698   ⋉ cxrn 37030   EqvRel weqvrel 37048   Disj wdisjALTV 37065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-eprel 5579  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fo 6546  df-fv 6548  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-ec 8701  df-qs 8705  df-xrn 37229  df-coss 37269  df-refrel 37370  df-cnvrefrel 37385  df-symrel 37402  df-trrel 37432  df-eqvrel 37443  df-funALTV 37540  df-disjALTV 37563  df-eldisj 37565

This theorem is referenced by:  pet2  37708