Theorem petincnvepres2 39712

Description: A partition-equivalence theorem with intersection and general 𝑅. (Contributed by Peter Mazsa, 31-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
petincnvepres2	⊢ (( Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))

Proof of Theorem petincnvepres2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvrelqseqdisj4 39696	. 2 ⊢ (( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴) → Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)))
2	1	petlem 39665	1 ⊢ (( Disj (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴) ↔ ( EqvRel ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) ∧ (dom ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴)) / ≀ (𝑅 ∩ (◡ E ↾ 𝐴))) = 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∩ cin 3901   E cep 5558  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659   ↾ cres 5661   / cqs 8698   ≀ ccoss 38933   EqvRel weqvrel 38950   Disj wdisjALTV 38969

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-br 5108  df-opab 5172  df-id 5554  df-eprel 5559  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ec 8701  df-qs 8705  df-coss 39251  df-refrel 39342  df-cnvrefrel 39357  df-symrel 39374  df-trrel 39408  df-eqvrel 39419  df-funALTV 39517  df-disjALTV 39540  df-eldisj 39542

This theorem is used by:  petincnvepres  39713