Theorem eqvrelqseqdisj3 39519

Description: Implication of eqvreldisj3 39503, lemma for the Member Partition Equivalence Theorem mpet3 39524. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Oct-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj3	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 39503	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
3		reseq2 5974	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) = (◡ E ↾ 𝐴))
4	3	disjeqd 39410	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	4	adantl 486	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6	2, 5	mpbid 235	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   E cep 5561  ^◡ccnv 5661   ↾ cres 5664   / cqs 8693   EqvRel weqvrel 38774   Disj wdisjALTV 38793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-pr 5405

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-rab 3423  df-v 3463  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5557  df-eprel 5562  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ec 8696  df-qs 8700  df-coss 39075  df-refrel 39166  df-cnvrefrel 39181  df-symrel 39198  df-trrel 39232  df-eqvrel 39243  df-funALTV 39341  df-disjALTV 39364  df-eldisj 39366

This theorem is referenced by:  eqvrelqseqdisj4  39520  eqvrelqseqdisj5  39521  mpet3  39524  cpet2  39525