Theorem eqvrelqseqdisj3 39878

Description: Implication of eqvreldisj3 39862, lemma for the Member Partition Equivalence Theorem mpet3 39883. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Oct-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj3	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 39862	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
3		reseq2 5964	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) = (◡ E ↾ 𝐴))
4	3	disjeqd 39769	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6	2, 5	mpbid 235	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   E cep 5549  ^◡ccnv 5649   ↾ cres 5652   / cqs 8716   EqvRel weqvrel 39133   Disj wdisjALTV 39152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-eprel 5550  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ec 8719  df-qs 8723  df-coss 39434  df-refrel 39525  df-cnvrefrel 39540  df-symrel 39557  df-trrel 39591  df-eqvrel 39602  df-funALTV 39700  df-disjALTV 39723  df-eldisj 39725

This theorem is used by:  eqvrelqseqdisj4  39879  eqvrelqseqdisj5  39880  mpet3  39883  cpet2  39884