Theorem eqvrelqseqdisj3 40068

Description: Implication of eqvreldisj3 40052, lemma for the Member Partition Equivalence Theorem mpet3 40073. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Oct-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj3	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 40052	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
3		reseq2 5975	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) = (◡ E ↾ 𝐴))
4	3	disjeqd 39959	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	4	adantl 487	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6	2, 5	mpbid 235	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   E cep 5554  ^◡ccnv 5654   ↾ cres 5657   / cqs 8741   EqvRel weqvrel 39323   Disj wdisjALTV 39342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-id 5550  df-eprel 5555  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ec 8744  df-qs 8748  df-coss 39624  df-refrel 39715  df-cnvrefrel 39730  df-symrel 39747  df-trrel 39781  df-eqvrel 39792  df-funALTV 39890  df-disjALTV 39913  df-eldisj 39915

This theorem is used by:  eqvrelqseqdisj4  40069  eqvrelqseqdisj5  40070  mpet3  40073  cpet2  40074