Theorem eqvrelqseqdisj3 39622

Description: Implication of eqvreldisj3 39606, lemma for the Member Partition Equivalence Theorem mpet3 39627. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Oct-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj3	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 39606	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
3		reseq2 5972	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) = (◡ E ↾ 𝐴))
4	3	disjeqd 39513	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	4	adantl 486	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6	2, 5	mpbid 235	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   E cep 5559  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662   / cqs 8691   EqvRel weqvrel 38877   Disj wdisjALTV 38896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5555  df-eprel 5560  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-ec 8694  df-qs 8698  df-coss 39178  df-refrel 39269  df-cnvrefrel 39284  df-symrel 39301  df-trrel 39335  df-eqvrel 39346  df-funALTV 39444  df-disjALTV 39467  df-eldisj 39469

This theorem is used by:  eqvrelqseqdisj4  39623  eqvrelqseqdisj5  39624  mpet3  39627  cpet2  39628