Theorem eqvrelqseqdisj3 39540

Description: Implication of eqvreldisj3 39524, lemma for the Member Partition Equivalence Theorem mpet3 39545. (Contributed by Peter Mazsa, 27-Oct-2020.) (Revised by Peter Mazsa, 24-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
eqvrelqseqdisj3	⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

Proof of Theorem eqvrelqseqdisj3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqvreldisj3 39524	. . 3 ⊢ ( EqvRel 𝑅 → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
2	1	adantr 485	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)))
3		reseq2 5973	. . . 4 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) = (◡ E ↾ 𝐴))
4	3	disjeqd 39431	. . 3 ⊢ ((𝐵 / 𝑅) = 𝐴 → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
5	4	adantl 486	. 2 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → ( Disj (◡ E ↾ (𝐵 / 𝑅)) ↔ Disj (◡ E ↾ 𝐴)))
6	2, 5	mpbid 235	1 ⊢ (( EqvRel 𝑅 ∧ (𝐵 / 𝑅) = 𝐴) → Disj (◡ E ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1568   E cep 5560  ^◡ccnv 5660   ↾ cres 5663   / cqs 8692   EqvRel weqvrel 38795   Disj wdisjALTV 38814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-pr 5404

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-id 5556  df-eprel 5561  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ec 8695  df-qs 8699  df-coss 39096  df-refrel 39187  df-cnvrefrel 39202  df-symrel 39219  df-trrel 39253  df-eqvrel 39264  df-funALTV 39362  df-disjALTV 39385  df-eldisj 39387

This theorem is referenced by:  eqvrelqseqdisj4  39541  eqvrelqseqdisj5  39542  mpet3  39545  cpet2  39546