MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oxms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1oxms 23998
Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
imasf1obl.v (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
imasf1obl.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
imasf1oxms.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
Assertion
Ref Expression
imasf1oxms (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem imasf1oxms
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
2 imasf1obl.v . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
3 imasf1obl.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
4 imasf1oxms.r . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
5 eqid 2733 . . . . 5 ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))
6 eqid 2733 . . . . 5 (distβ€˜π‘ˆ) = (distβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . . . . . 8 ((distβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…))) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…)))
97, 8xmsxmet 23962 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ∞MetSp β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
112sqxpeqd 5709 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑉 Γ— 𝑉) = ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…)))
1211reseq2d 5982 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…))))
132fveq2d 6896 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (∞Metβ€˜π‘‰) = (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘…)))
1410, 12, 133eltr4d 2849 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 14imasf1oxmet 23881 . . . 4 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
16 f1ofo 6841 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
173, 16syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
181, 2, 17, 4imasbas 17458 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ˆ))
1918fveq2d 6896 . . . 4 (πœ‘ β†’ (∞Metβ€˜π΅) = (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
2015, 19eleqtrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
21 ssid 4005 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)
22 xmetres2 23867 . . 3 (((distβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)) ∧ (Baseβ€˜π‘ˆ) βŠ† (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
2320, 21, 22sylancl 587 . 2 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)))
24 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘…) = (TopOpenβ€˜π‘…)
25 eqid 2733 . . . 4 (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = (TopOpenβ€˜π‘ˆ)
261, 2, 17, 4, 24, 25imastopn 23224 . . 3 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹))
2724, 7, 8xmstopn 23957 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ∞MetSp β†’ (TopOpenβ€˜π‘…) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…)))))
284, 27syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘…) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…)))))
2912fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘…) Γ— (Baseβ€˜π‘…)))))
3028, 29eqtr4d 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘…) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))))
3130oveq1d 7424 . . 3 (πœ‘ β†’ ((TopOpenβ€˜π‘…) qTop 𝐹) = ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹))
32 blbas 23936 . . . . . 6 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ∈ TopBases)
3314, 32syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ∈ TopBases)
34 unirnbl 23926 . . . . . . 7 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = 𝑉)
35 f1oeq2 6823 . . . . . . 7 (βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = 𝑉 β†’ (𝐹:βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))–1-1-onto→𝐡 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡))
3614, 34, 353syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹:βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))–1-1-onto→𝐡 ↔ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡))
373, 36mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))–1-1-onto→𝐡)
38 eqid 2733 . . . . . 6 βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))
3938tgqtop 23216 . . . . 5 ((ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ∈ TopBases ∧ 𝐹:βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))–1-1-onto→𝐡) β†’ ((topGenβ€˜ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) qTop 𝐹) = (topGenβ€˜(ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹)))
4033, 37, 39syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((topGenβ€˜ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) qTop 𝐹) = (topGenβ€˜(ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹)))
41 eqid 2733 . . . . . . 7 (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))
4241mopnval 23944 . . . . . 6 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))))
4314, 42syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))))
4443oveq1d 7424 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹) = ((topGenβ€˜ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) qTop 𝐹))
45 eqid 2733 . . . . . . 7 (MetOpenβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))
4645mopnval 23944 . . . . . 6 ((distβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜π΅) β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))))
4715, 46syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))))
48 xmetf 23835 . . . . . . . 8 ((distβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ (distβ€˜π‘ˆ):((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))βŸΆβ„*)
4920, 48syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (distβ€˜π‘ˆ):((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))βŸΆβ„*)
50 ffn 6718 . . . . . . 7 ((distβ€˜π‘ˆ):((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))βŸΆβ„* β†’ (distβ€˜π‘ˆ) Fn ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ)))
51 fnresdm 6670 . . . . . . 7 ((distβ€˜π‘ˆ) Fn ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))) = (distβ€˜π‘ˆ))
5249, 50, 513syl 18 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))) = (distβ€˜π‘ˆ))
5352fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ)))) = (MetOpenβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)))
543ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
55 f1of1 6833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:𝑉–1-1→𝐡)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝐹:𝑉–1-1→𝐡)
57 cnvimass 6081 . . . . . . . . . . . . . . 15 (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† dom 𝐹
58 f1odm 6838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ dom 𝐹 = 𝑉)
5954, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ dom 𝐹 = 𝑉)
6057, 59sseqtrid 4035 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑉)
6114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
62 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑉)
63 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
64 blssm 23924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) ∧ 𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) β†’ (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑉)
6561, 62, 63, 64syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑉)
66 f1imaeq 7264 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹:𝑉–1-1→𝐡 ∧ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) βŠ† 𝑉 ∧ (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑉)) β†’ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (𝐹 β€œ (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)) ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)))
6756, 60, 65, 66syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (𝐹 β€œ (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)) ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)))
6854, 16syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝐹:𝑉–onto→𝐡)
69 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐡)
70 foimacnv 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝑉–onto→𝐡 ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = π‘₯)
7168, 69, 70syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = π‘₯)
721ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ π‘ˆ = (𝐹 β€œs 𝑅))
732ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘…))
744ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ 𝑅 ∈ ∞MetSp)
7572, 73, 54, 74, 5, 6, 61, 62, 63imasf1obl 23997 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ) = (𝐹 β€œ (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)))
7675eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ (𝐹 β€œ (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ))
7771, 76eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ((𝐹 β€œ (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (𝐹 β€œ (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)) ↔ π‘₯ = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
7867, 77bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*)) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) = (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ) ↔ π‘₯ = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
79782rexbidva 3218 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
803adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡)
81 f1ofn 6835 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹 Fn 𝑉)
82 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ) = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ))
8382eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ) ↔ π‘₯ = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
8483rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
8584rexrn 7089 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 Fn 𝑉 β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
8680, 81, 853syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = ((πΉβ€˜π‘¦)(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
87 forn 6809 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:𝑉–onto→𝐡 β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
8880, 16, 873syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ ran 𝐹 = 𝐡)
8988rexeqdv 3327 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ ran πΉβˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
9079, 86, 893bitr2d 307 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
9114adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‰))
92 blrn 23915 . . . . . . . . . . 11 (((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‰) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)))
9391, 92syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* (◑𝐹 β€œ π‘₯) = (𝑦(ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))π‘Ÿ)))
9415adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ (distβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜π΅))
95 blrn 23915 . . . . . . . . . . 11 ((distβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜π΅) β†’ (π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ* π‘₯ = (𝑧(ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))π‘Ÿ)))
9790, 93, 963bitr4d 311 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐡) β†’ ((◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ↔ π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))))
9897pm5.32da 580 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)))))
99 f1ofo 6841 . . . . . . . . . 10 (𝐹:βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))–1-1-onto→𝐡 β†’ 𝐹:βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))–onto→𝐡)
10037, 99syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))–onto→𝐡)
10138elqtop2 23205 . . . . . . . . 9 ((ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) ∈ TopBases ∧ 𝐹:βˆͺ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉)))–onto→𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ (ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))))))
10233, 100, 101syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))))))
103 blf 23913 . . . . . . . . . . . 12 ((distβ€˜π‘ˆ) ∈ (∞Metβ€˜π΅) β†’ (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)):(𝐡 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝐡)
104 frn 6725 . . . . . . . . . . . 12 ((ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)):(𝐡 Γ— ℝ*)βŸΆπ’« 𝐡 β†’ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝒫 𝐡)
10515, 103, 1043syl 18 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) βŠ† 𝒫 𝐡)
106105sseld 3982 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡))
107 elpwi 4610 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝒫 𝐡 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐡)
108106, 107syl6 35 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐡))
109108pm4.71rd 564 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)))))
11098, 102, 1093bitr4d 311 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))))
111110eqrdv 2731 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹) = ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ)))
112111fveq2d 6896 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (topGenβ€˜(ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹)) = (topGenβ€˜ran (ballβ€˜(distβ€˜π‘ˆ))))
11347, 53, 1123eqtr4d 2783 . . . 4 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ)))) = (topGenβ€˜(ran (ballβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹)))
11440, 44, 1133eqtr4d 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ ((MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝑉 Γ— 𝑉))) qTop 𝐹) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ)))))
11526, 31, 1143eqtrd 2777 . 2 (πœ‘ β†’ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ)))))
116 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜π‘ˆ) = (Baseβ€˜π‘ˆ)
117 eqid 2733 . . 3 ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))) = ((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ)))
11825, 116, 117isxms2 23954 . 2 (π‘ˆ ∈ ∞MetSp ↔ (((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))) ∈ (∞Metβ€˜(Baseβ€˜π‘ˆ)) ∧ (TopOpenβ€˜π‘ˆ) = (MetOpenβ€˜((distβ€˜π‘ˆ) β†Ύ ((Baseβ€˜π‘ˆ) Γ— (Baseβ€˜π‘ˆ))))))
11923, 115, 118sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ∞MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   Γ— cxp 5675  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   β€œ cima 5680   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€“1-1β†’wf1 6541  β€“ontoβ†’wfo 6542  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„*cxr 11247  Basecbs 17144  distcds 17206  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383   qTop cqtop 17449   β€œs cimas 17450  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  TopBasesctb 22448  βˆžMetSpcxms 23823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826
This theorem is referenced by:  imasf1oms  23999  xpsxms  24043
  Copyright terms: Public domain W3C validator