MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  f1ocoima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem f1ocoima 7316
Description: The composition of two bijections as bijection onto the image of the range of the first bijection. (Contributed by AV, 15-Aug-2025.)
Assertion
Ref Expression
f1ocoima ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → (𝐺𝐹):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐵))

Proof of Theorem f1ocoima
StepHypRef Expression
1 f1of1 6842 . . . . . 6 (𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐺:𝐶1-1𝐷)
21anim1i 614 . . . . 5 ((𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → (𝐺:𝐶1-1𝐷𝐵𝐶))
323adant1 1128 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → (𝐺:𝐶1-1𝐷𝐵𝐶))
4 f1ores 6857 . . . 4 ((𝐺:𝐶1-1𝐷𝐵𝐶) → (𝐺𝐵):𝐵1-1-onto→(𝐺𝐵))
53, 4syl 17 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → (𝐺𝐵):𝐵1-1-onto→(𝐺𝐵))
6 simp1 1134 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
7 f1oco 6866 . . 3 (((𝐺𝐵):𝐵1-1-onto→(𝐺𝐵) ∧ 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵) → ((𝐺𝐵) ∘ 𝐹):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐵))
85, 6, 7syl2anc 583 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → ((𝐺𝐵) ∘ 𝐹):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐵))
9 f1ofo 6850 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴onto𝐵)
10 forn 6818 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹 = 𝐵)
1211eqimssd 4052 . . . . 5 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝐹𝐵)
13123ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → ran 𝐹𝐵)
14 cores 6265 . . . . 5 (ran 𝐹𝐵 → ((𝐺𝐵) ∘ 𝐹) = (𝐺𝐹))
1514eqcomd 2739 . . . 4 (ran 𝐹𝐵 → (𝐺𝐹) = ((𝐺𝐵) ∘ 𝐹))
1613, 15syl 17 . . 3 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → (𝐺𝐹) = ((𝐺𝐵) ∘ 𝐹))
1716f1oeq1d 6838 . 2 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → ((𝐺𝐹):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐵) ↔ ((𝐺𝐵) ∘ 𝐹):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐵)))
188, 17mpbird 257 1 ((𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐺:𝐶1-1-onto𝐷𝐵𝐶) → (𝐺𝐹):𝐴1-1-onto→(𝐺𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1535  wss 3963  ran crn 5684  cres 5685  cima 5686  ccom 5687  1-1wf1 6555  ontowfo 6556  1-1-ontowf1o 6557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5430
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565
This theorem is referenced by:  3f1oss1  46975
  Copyright terms: Public domain W3C validator