Theorem fpmd 45503

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpmd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fpmd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fpmd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fpmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fpmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpmd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		fpmd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fpmd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
4		fpmd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
5		elpm2r 8782	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ⊆ wss 3901  ⟶wf 6488  (class class class)co 7358   ↑_pm cpm 8764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8766

This theorem is referenced by:  xlimbr  46067  fuzxrpmcn  46068