Theorem fpmd 46092

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpmd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fpmd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fpmd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fpmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fpmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpmd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		fpmd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fpmd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
4		fpmd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
5		elpm2r 8844	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 852	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ⟶wf 6529  (class class class)co 7413   ↑_pm cpm 8827

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-pm 8829

This theorem is used by:  xlimbr  46655  fuzxrpmcn  46656