Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpmd 45270
Description: A total function is a partial function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fpmd.a (𝜑𝐴𝑉)
fpmd.b (𝜑𝐵𝑊)
fpmd.c (𝜑𝐶𝐴)
fpmd.f (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
fpmd (𝜑𝐹 ∈ (𝐵pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmd
StepHypRef Expression
1 fpmd.b . 2 (𝜑𝐵𝑊)
2 fpmd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
3 fpmd.f . 2 (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
4 fpmd.c . 2 (𝜑𝐶𝐴)
5 elpm2r 8885 . 2 (((𝐵𝑊𝐴𝑉) ∧ (𝐹:𝐶𝐵𝐶𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵pm 𝐴))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 839 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵pm 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2108  wss 3951  wf 6557  (class class class)co 7431  pm cpm 8867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8869
This theorem is referenced by:  xlimbr  45842  fuzxrpmcn  45843
  Copyright terms: Public domain W3C validator