Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpmd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpmd 41898
Description: A total function is a partial function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fpmd.a (𝜑𝐴𝑉)
fpmd.b (𝜑𝐵𝑊)
fpmd.c (𝜑𝐶𝐴)
fpmd.f (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
fpmd (𝜑𝐹 ∈ (𝐵pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmd
StepHypRef Expression
1 fpmd.b . 2 (𝜑𝐵𝑊)
2 fpmd.a . 2 (𝜑𝐴𝑉)
3 fpmd.f . 2 (𝜑𝐹:𝐶𝐵)
4 fpmd.c . 2 (𝜑𝐶𝐴)
5 elpm2r 8407 . 2 (((𝐵𝑊𝐴𝑉) ∧ (𝐹:𝐶𝐵𝐶𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵pm 𝐴))
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 837 1 (𝜑𝐹 ∈ (𝐵pm 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2111  wss 3881  wf 6320  (class class class)co 7135  pm cpm 8390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-pm 8392
This theorem is referenced by:  xlimbr  42464  fuzxrpmcn  42465
  Copyright terms: Public domain W3C validator