Theorem fpmd 45235

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpmd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fpmd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fpmd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fpmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fpmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpmd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		fpmd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fpmd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
4		fpmd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
5		elpm2r 8857	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926  ⟶wf 6526  (class class class)co 7403   ↑_pm cpm 8839

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-fv 6538  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-pm 8841

This theorem is referenced by:  xlimbr  45804  fuzxrpmcn  45805