Theorem fpmd 41531

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpmd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fpmd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fpmd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fpmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fpmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpmd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		fpmd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fpmd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
4		fpmd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
5		elpm2r 8418	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 836	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3935  ⟶wf 6345  (class class class)co 7150   ↑_pm cpm 8401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-pm 8403

This theorem is referenced by:  xlimbr  42101  fuzxrpmcn  42102