Theorem fpmd 44631

Description: A total function is a partial function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fpmd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fpmd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fpmd.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
fpmd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fpmd	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Proof of Theorem fpmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpmd.b	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		fpmd.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		fpmd.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐶⟶𝐵)
4		fpmd.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
5		elpm2r 8858	. 2 ⊢ (((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴)) → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 838	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐵 ↑pm 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3945  ⟶wf 6539  (class class class)co 7415   ↑_pm cpm 8840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-pm 8842

This theorem is referenced by:  xlimbr  45206  fuzxrpmcn  45207