Theorem fconst7 45174

Description: An alternative way to express a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fconst7.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fconst7.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fconst7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fconst7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fconst7.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fconst7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fconst7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst7.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fconst7.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fconst7.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
4		fvexd 6935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	3, 4	eqeltrrd 2845	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		snidg 4682	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝐵})
8	3, 7	eqeltrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
9	2, 8	ralrimia 3264	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
10		nfcv 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
11		nfcv 2908	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐵}
12		fconst7.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
13	10, 11, 12	ffnfvf 7154	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵}))
14	1, 9, 13	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶{𝐵})
15		fconst7.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		fconst2g 7240	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
18	14, 17	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  Ⅎwnf 1781   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2893  ∀wral 3067  Vcvv 3488  {csn 4648   × cxp 5698   Fn wfn 6568  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  xlimconst  45746