Theorem fconst7 45839

Description: An alternative way to express a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fconst7.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fconst7.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fconst7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fconst7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fconst7.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fconst7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fconst7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst7.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fconst7.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fconst7.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
4		fvexd 6882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	3, 4	eqeltrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		snidg 4619	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝐵})
8	3, 7	eqeltrd 2862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
9	2, 8	ralrimia 3261	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
10		nfcv 2924	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
11		nfcv 2924	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐵}
12		fconst7.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
13	10, 11, 12	ffnfvf 7101	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵}))
14	1, 9, 13	sylanbrc 592	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶{𝐵})
15		fconst7.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		fconst2g 7187	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
18	14, 17	mpbid 234	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560  Ⅎwnf 1803   ∈ wcel 2142  Ⅎwnfc 2909  ∀wral 3076  Vcvv 3454  {csn 4582   × cxp 5645   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-fv 6529

This theorem is referenced by:  xlimconst  46399