Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fconst7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fconst7 42484
Description: An alternative way to express a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fconst7.p 𝑥𝜑
fconst7.x 𝑥𝐹
fconst7.f (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
fconst7.b (𝜑𝐵𝑉)
fconst7.e ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fconst7 (𝜑𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fconst7
StepHypRef Expression
1 fconst7.f . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2 fconst7.p . . . 4 𝑥𝜑
3 fconst7.e . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
4 fvexd 6732 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
53, 4eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6 snidg 4575 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ {𝐵})
83, 7eqeltrd 2838 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ {𝐵})
92, 8ralrimia 3406 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵})
10 nfcv 2904 . . . 4 𝑥𝐴
11 nfcv 2904 . . . 4 𝑥{𝐵}
12 fconst7.x . . . 4 𝑥𝐹
1310, 11, 12ffnfvf 6936 . . 3 (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵}))
141, 9, 13sylanbrc 586 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶{𝐵})
15 fconst7.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
16 fconst2g 7018 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
1715, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
1814, 17mpbid 235 1 (𝜑𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1543  wnf 1791  wcel 2110  wnfc 2884  wral 3061  Vcvv 3408  {csn 4541   × cxp 5549   Fn wfn 6375  wf 6376  cfv 6380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388
This theorem is referenced by:  xlimconst  43041
  Copyright terms: Public domain W3C validator