Theorem fconst7 46415

Description: An alternative way to express a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fconst7.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fconst7.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fconst7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fconst7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fconst7.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fconst7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fconst7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst7.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fconst7.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fconst7.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
4		fvexd 6908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	3, 4	eqeltrrd 2864	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		snidg 4620	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
7	5, 6	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝐵})
8	3, 7	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
9	2, 8	ralrimia 3264	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
10		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
11		nfcv 2925	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐵}
12		fconst7.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
13	10, 11, 12	ffnfvf 7128	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵}))
14	1, 9, 13	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶{𝐵})
15		fconst7.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		fconst2g 7216	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
17	15, 16	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
18	14, 17	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2146  Ⅎwnfc 2910  ∀wral 3079  Vcvv 3453  {csn 4587   × cxp 5652   Fn wfn 6541  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-fv 6554

This theorem is used by:  xlimconst  46974