Theorem fconst7 42701

Description: An alternative way to express a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fconst7.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fconst7.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fconst7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fconst7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fconst7.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fconst7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fconst7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst7.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fconst7.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fconst7.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
4		fvexd 6771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	3, 4	eqeltrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		snidg 4592	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝐵})
8	3, 7	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
9	2, 8	ralrimia 3420	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
10		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
11		nfcv 2906	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐵}
12		fconst7.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
13	10, 11, 12	ffnfvf 6975	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵}))
14	1, 9, 13	sylanbrc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶{𝐵})
15		fconst7.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		fconst2g 7060	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
18	14, 17	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886  ∀wral 3063  Vcvv 3422  {csn 4558   × cxp 5578   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  xlimconst  43256