Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fconst7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fconst7 43742
Description: An alternative way to express a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fconst7.p 𝑥𝜑
fconst7.x 𝑥𝐹
fconst7.f (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
fconst7.b (𝜑𝐵𝑉)
fconst7.e ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fconst7 (𝜑𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fconst7
StepHypRef Expression
1 fconst7.f . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2 fconst7.p . . . 4 𝑥𝜑
3 fconst7.e . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
4 fvexd 6893 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
53, 4eqeltrrd 2833 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6 snidg 4656 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ {𝐵})
83, 7eqeltrd 2832 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ {𝐵})
92, 8ralrimia 3254 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵})
10 nfcv 2902 . . . 4 𝑥𝐴
11 nfcv 2902 . . . 4 𝑥{𝐵}
12 fconst7.x . . . 4 𝑥𝐹
1310, 11, 12ffnfvf 7103 . . 3 (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵}))
141, 9, 13sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶{𝐵})
15 fconst7.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
16 fconst2g 7188 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
1715, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
1814, 17mpbid 231 1 (𝜑𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wnf 1785  wcel 2106  wnfc 2882  wral 3060  Vcvv 3473  {csn 4622   × cxp 5667   Fn wfn 6527  wf 6528  cfv 6532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-fv 6540
This theorem is referenced by:  xlimconst  44314
  Copyright terms: Public domain W3C validator