Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fconst7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fconst7 43904
Description: An alternative way to express a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
fconst7.p 𝑥𝜑
fconst7.x 𝑥𝐹
fconst7.f (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
fconst7.b (𝜑𝐵𝑉)
fconst7.e ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fconst7 (𝜑𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fconst7
StepHypRef Expression
1 fconst7.f . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
2 fconst7.p . . . 4 𝑥𝜑
3 fconst7.e . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = 𝐵)
4 fvexd 6903 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ V)
53, 4eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6 snidg 4661 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
75, 6syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ {𝐵})
83, 7eqeltrd 2834 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) ∈ {𝐵})
92, 8ralrimia 3256 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵})
10 nfcv 2904 . . . 4 𝑥𝐴
11 nfcv 2904 . . . 4 𝑥{𝐵}
12 fconst7.x . . . 4 𝑥𝐹
1310, 11, 12ffnfvf 7114 . . 3 (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵}))
141, 9, 13sylanbrc 584 . 2 (𝜑𝐹:𝐴⟶{𝐵})
15 fconst7.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
16 fconst2g 7199 . . 3 (𝐵𝑉 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
1715, 16syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
1814, 17mpbid 231 1 (𝜑𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  wnfc 2884  wral 3062  Vcvv 3475  {csn 4627   × cxp 5673   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548
This theorem is referenced by:  xlimconst  44476
  Copyright terms: Public domain W3C validator