Theorem fconst7 45242

Description: An alternative way to express a constant function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fconst7.p	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
fconst7.x	⊢ Ⅎ𝑥𝐹
fconst7.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
fconst7.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
fconst7.e	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fconst7	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem fconst7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconst7.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
2		fconst7.p	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
3		fconst7.e	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
4		fvexd 6841	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
5	3, 4	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ V)
6		snidg 4614	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ {𝐵})
8	3, 7	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
9	2, 8	ralrimia 3228	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵})
10		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
11		nfcv 2891	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥{𝐵}
12		fconst7.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝐹
13	10, 11, 12	ffnfvf 7058	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ (𝐹 Fn 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ {𝐵}))
14	1, 9, 13	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶{𝐵})
15		fconst7.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
16		fconst2g 7143	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
17	15, 16	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
18	14, 17	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876  ∀wral 3044  Vcvv 3438  {csn 4579   × cxp 5621   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  xlimconst  45807