Theorem fuzxrpmcn 46278

Description: A function mapping from an upper set of integers to the extended reals is a partial map on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuzxrpmcn.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fuzxrpmcn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
fuzxrpmcn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))

Proof of Theorem fuzxrpmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11117	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
3		xrex 12935	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ* ∈ V)
5		fuzxrpmcn.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uzsscn2 45927	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)
8		fuzxrpmcn.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	2, 4, 7, 8	fpmd 45714	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432   ⊆ wss 3890  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_pm cpm 8771  ℂcc 11034  ℝ^*cxr 11176  ℤ_≥cuz 12786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-pm 8773  df-xr 11181  df-neg 11378  df-z 12523  df-uz 12787

This theorem is referenced by:  xlimconst2  46285  xlimclim2lem  46289  climxlim2  46296  xlimliminflimsup  46312