Theorem fuzxrpmcn 46068

Description: A function mapping from an upper set of integers to the extended reals is a partial map on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuzxrpmcn.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fuzxrpmcn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
fuzxrpmcn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))

Proof of Theorem fuzxrpmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11107	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
3		xrex 12900	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ* ∈ V)
5		fuzxrpmcn.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uzsscn2 45717	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)
8		fuzxrpmcn.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	2, 4, 7, 8	fpmd 45503	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_pm cpm 8764  ℂcc 11024  ℝ^*cxr 11165  ℤ_≥cuz 12751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pm 8766  df-xr 11170  df-neg 11367  df-z 12489  df-uz 12752

This theorem is referenced by:  xlimconst2  46075  xlimclim2lem  46079  climxlim2  46086  xlimliminflimsup  46102