Theorem fuzxrpmcn 46180

Description: A function mapping from an upper set of integers to the extended reals is a partial map on the complex numbers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
fuzxrpmcn.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
fuzxrpmcn.2	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
fuzxrpmcn	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))

Proof of Theorem fuzxrpmcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 11119	. . 3 ⊢ ℂ ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
3		xrex 12912	. . 3 ⊢ ℝ* ∈ V
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℝ* ∈ V)
5		fuzxrpmcn.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	5	uzsscn2 45829	. . 3 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
7	6	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)
8		fuzxrpmcn.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
9	2, 4, 7, 8	fpmd 45615	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_pm cpm 8776  ℂcc 11036  ℝ^*cxr 11177  ℤ_≥cuz 12763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-pm 8778  df-xr 11182  df-neg 11379  df-z 12501  df-uz 12764

This theorem is referenced by:  xlimconst2  46187  xlimclim2lem  46191  climxlim2  46198  xlimliminflimsup  46214