Theorem xlimbr 45842

Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimbr.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimbr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimbr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimbr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimbr.j	⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )

Assertion

Ref	Expression
xlimbr	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑢   𝑢,𝐽   𝑗,𝑀,𝑢   𝑢,𝑃   𝑗,𝑍,𝑘   𝑢,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑃(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem xlimbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xlim 45834	. . . 4 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
2	1	breqi 5149	. . 3 ⊢ (𝐹~~>*𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃))
4		xlimbr.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		letopon 23213	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
7	4, 6	lmbr3 45762	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
8		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝑃 ∈ ℝ*)
9		xlimbr.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
10	9	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = 𝐽
11	10	raleqi 3324	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
12		xlimbr.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		xlimbr.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
14	13	rexuz3 15387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
15	14	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
16	15	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
18	17	ralimdv 3169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
19	12, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
21	11, 20	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
22	21	3ad2antr3 1191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
23	8, 22	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
24		cnex 11236	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
26	6	elfvexd 6945	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ* ∈ V)
27	13	uzsscn2 45488	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)
29		xlimbr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
30	25, 26, 28, 29	fpmd 45270	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
32		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝑃 ∈ ℝ*)
33	16	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
34	33	ralimdv 3169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
35	12, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
36	35	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
37	9	raleqi 3324	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
38	36, 37	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
39	38	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
40	31, 32, 39	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
41	23, 40	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
42	3, 7, 41	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2890  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_pm cpm 8867  ℂcc 11153  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878  ordTopcordt 17544  TopOnctopon 22916  ⇝_𝑡clm 23234  ~~>*clsxlim 45833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-neg 11495  df-z 12614  df-uz 12879  df-topgen 17488  df-ordt 17546  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-lm 23237  df-xlim 45834

This theorem is referenced by:  xlimxrre  45846