Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  xlimbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlimbr 42260
 Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
xlimbr.k 𝑘𝐹
xlimbr.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
xlimbr.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
xlimbr.f (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimbr.j 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
Assertion
Ref Expression
xlimbr (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑢   𝑢,𝐽   𝑗,𝑀,𝑢   𝑢,𝑃   𝑗,𝑍,𝑘   𝑢,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑃(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem xlimbr
StepHypRef Expression
1 df-xlim 42252 . . . 4 ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
21breqi 5045 . . 3 (𝐹~~>*𝑃𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃))
4 xlimbr.k . . 3 𝑘𝐹
5 letopon 21788 . . . 4 (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
65a1i 11 . . 3 (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
74, 6lmbr3 42180 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
8 simpr2 1192 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝑃 ∈ ℝ*)
9 xlimbr.j . . . . . . . 8 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
109eqcomi 2830 . . . . . . 7 (ordTop‘ ≤ ) = 𝐽
1110raleqi 3394 . . . . . 6 (∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
12 xlimbr.m . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
13 xlimbr.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
1413rexuz3 14687 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1514bicomd 226 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1615imbi2d 344 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1716biimpd 232 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1817ralimdv 3166 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1912, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
2019imp 410 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2111, 20sylan2b 596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
22213ad2antr3 1187 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
238, 22jca 515 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) → (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
24 cnex 10595 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
266elfvexd 6677 . . . . . 6 (𝜑 → ℝ* ∈ V)
2713uzsscn2 41908 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℂ
2827a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑍 ⊆ ℂ)
29 xlimbr.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑍⟶ℝ*)
3025, 26, 28, 29fpmd 41692 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
3130adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ))
32 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝑃 ∈ ℝ*)
3316biimprd 251 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3433ralimdv 3166 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3512, 34syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3635imp 410 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
379raleqi 3394 . . . . . 6 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3836, 37sylib 221 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3938adantrl 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
4031, 32, 393jca 1125 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) → (𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
4123, 40impbida 800 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (ℝ*pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
423, 7, 413bitrd 308 1 (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Ⅎwnfc 2958  ∀wral 3126  ∃wrex 3127  Vcvv 3471   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5039  dom cdm 5528  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ↑pm cpm 8382  ℂcc 10512  ℝ*cxr 10651   ≤ cle 10653  ℤcz 11959  ℤ≥cuz 12221  ordTopcordt 16750  TopOnctopon 21493  ⇝𝑡clm 21809  ~~>*clsxlim 42251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-addrcl 10575  ax-rnegex 10585  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-neg 10850  df-z 11960  df-uz 12222  df-topgen 16695  df-ordt 16752  df-ps 17788  df-tsr 17789  df-top 21477  df-topon 21494  df-bases 21529  df-lm 21812  df-xlim 42252 This theorem is referenced by:  xlimxrre  42264
 Copyright terms: Public domain W3C validator