Theorem xlimbr 46214

Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " w.r.t. the standard topology on the extended reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlimbr.k	⊢ Ⅎ𝑘𝐹
xlimbr.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
xlimbr.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
xlimbr.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
xlimbr.j	⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )

Assertion

Ref	Expression
xlimbr	⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))

Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑢   𝑢,𝐽   𝑗,𝑀,𝑢   𝑢,𝑃   𝑗,𝑍,𝑘   𝑢,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑃(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑘)   𝑍(𝑢)

Proof of Theorem xlimbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-xlim 46206	. . . 4 ⊢ ~~>* = (⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))
2	1	breqi 5106	. . 3 ⊢ (𝐹~~>*𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃 ↔ 𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃))
4		xlimbr.k	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝐹
5		letopon 23166	. . . 4 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ordTop‘ ≤ ) ∈ (TopOn‘ℝ*))
7	4, 6	lmbr3 46134	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(ordTop‘ ≤ ))𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
8		simpr2 1197	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝑃 ∈ ℝ*)
9		xlimbr.j	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐽 = (ordTop‘ ≤ )
10	9	eqcomi 2746	. . . . . . 7 ⊢ (ordTop‘ ≤ ) = 𝐽
11	10	raleqi 3296	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
12		xlimbr.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
13		xlimbr.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
14	13	rexuz3 15286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
15	14	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
16	15	imbi2d 340	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
17	16	biimpd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
18	17	ralimdv 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
19	12, 18	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
20	19	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
21	11, 20	sylan2b 595	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
22	21	3ad2antr3 1192	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
23	8, 22	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
24		cnex 11121	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
26	6	elfvexd 6880	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℝ* ∈ V)
27	13	uzsscn2 45864	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ ℂ
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ⊆ ℂ)
29		xlimbr.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑍⟶ℝ*)
30	25, 26, 28, 29	fpmd 45650	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ))
32		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → 𝑃 ∈ ℝ*)
33	16	biimprd 248	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
34	33	ralimdv 3152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
35	12, 34	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
36	35	imp 406	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
37	9	raleqi 3296	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
38	36, 37	sylib 218	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
39	38	adantrl 717	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))
40	31, 32, 39	3jca 1129	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))) → (𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))))
41	23, 40	impbida 801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 ∈ (ℝ* ↑pm ℂ) ∧ 𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ (ordTop‘ ≤ )(𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
42	3, 7, 41	3bitrd 305	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹~~>*𝑃 ↔ (𝑃 ∈ ℝ* ∧ ∀𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑢)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Ⅎwnfc 2884  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100  dom cdm 5634  ⟶wf 6498  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370   ↑_pm cpm 8778  ℂcc 11038  ℝ^*cxr 11179   ≤ cle 11181  ℤcz 12502  ℤ_≥cuz 12765  ordTopcordt 17434  TopOnctopon 22871  ⇝_𝑡clm 23187  ~~>*clsxlim 46205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-addrcl 11101  ax-rnegex 11111  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-pm 8780  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fi 9328  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-neg 11381  df-z 12503  df-uz 12766  df-topgen 17377  df-ordt 17436  df-ps 18503  df-tsr 18504  df-top 22855  df-topon 22872  df-bases 22907  df-lm 23190  df-xlim 46206

This theorem is referenced by:  xlimxrre  46218