MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2r 8414
Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2r (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r
StepHypRef Expression
1 fdm 6516 . . . . . . 7 (𝐹:𝐶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
21feq2d 6494 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹𝐴𝐹:𝐶𝐴))
31sseq1d 3997 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (dom 𝐹𝐵𝐶𝐵))
42, 3anbi12d 630 . . . . 5 (𝐹:𝐶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
54adantr 481 . . . 4 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
65ibir 269 . . 3 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
7 elpm2g 8413 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
86, 7syl5ibr 247 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵)))
98imp 407 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wss 3935  dom cdm 5549  wf 6345  (class class class)co 7145  pm cpm 8397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-br 5059  df-opab 5121  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-pm 8399
This theorem is referenced by:  fpmg  8422  pmresg  8424  rlim  14842  ello12  14863  elo12  14874  sscpwex  17075  catcfuccl  17359  catcxpccl  17447  lmbrf  21798  cnextfval  22600  lmmbrf  23794  iscauf  23812  caucfil  23815  cmetcaulem  23820  lmclimf  23836  ismbf  24158  ismbfcn  24159  mbfconst  24163  cncombf  24188  cnmbf  24189  limcfval  24399  dvfval  24424  dvnff  24449  dvn2bss  24456  dvnfre  24478  taylfvallem1  24874  taylfval  24876  tayl0  24879  taylplem1  24880  taylply2  24885  taylply  24886  dvtaylp  24887  dvntaylp  24888  dvntaylp0  24889  taylthlem1  24890  taylthlem2  24891  ulmval  24897  ulmpm  24900  iscgrgd  26227  esumcvg  31245  mrsubfval  32653  elmrsubrn  32665  msubfval  32669  fwddifval  33521  fwddifnval  33522  fpmd  41418  xlimmnfvlem2  41994  xlimpnfvlem2  41998  dvnmptdivc  42103  dvnxpaek  42107  etransclem46  42446  issmflem  42885  fdivpm  44501  refdivpm  44502  elbigo2  44510
  Copyright terms: Public domain W3C validator