Theorem elpm2r 8794

Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2r	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 6679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
2	1	feq2d 6654	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ↔ 𝐹:𝐶⟶𝐴))
3	1	sseq1d 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → (dom 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
6	5	ibir 268	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
7		elpm2g 8793	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))
8	6, 7	imbitrrid 246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵)))
9	8	imp 406	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  dom cdm 5632  ⟶wf 6496  (class class class)co 7368   ↑_pm cpm 8776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-pm 8778

This theorem is referenced by:  fpmg  8818  pmresg  8820  rlim  15430  ello12  15451  elo12  15462  sscpwex  17751  catcfuccl  18054  catcxpccl  18142  lmbrf  23216  cnextfval  24018  lmmbrf  25230  iscauf  25248  caucfil  25251  cmetcaulem  25256  lmclimf  25272  ismbf  25597  ismbfcn  25598  mbfconst  25602  cncombf  25627  cnmbf  25628  limcfval  25841  dvfval  25866  dvnff  25893  dvn2bss  25900  dvnfre  25924  taylfvallem1  26332  taylfval  26334  tayl0  26337  taylplem1  26338  taylply2  26343  taylply2OLD  26344  taylply  26345  dvtaylp  26346  dvntaylp  26347  dvntaylp0  26348  taylthlem1  26349  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  ulmval  26357  ulmpm  26360  iscgrgd  28597  esumcvg  34264  mrsubfval  35724  elmrsubrn  35736  msubfval  35740  fwddifval  36378  fwddifnval  36379  fpmd  45621  xlimmnfvlem2  46191  xlimpnfvlem2  46195  dvnmptdivc  46296  dvnxpaek  46300  etransclem46  46638  issmflem  47085  fdivpm  48903  refdivpm  48904  elbigo2  48912