MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2r 8838
Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2r (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r
StepHypRef Expression
1 fdm 6726 . . . . . . 7 (𝐹:𝐶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
21feq2d 6703 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹𝐴𝐹:𝐶𝐴))
31sseq1d 4013 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (dom 𝐹𝐵𝐶𝐵))
42, 3anbi12d 631 . . . . 5 (𝐹:𝐶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
54adantr 481 . . . 4 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
65ibir 267 . . 3 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
7 elpm2g 8837 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
86, 7imbitrrid 245 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵)))
98imp 407 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wcel 2106  wss 3948  dom cdm 5676  wf 6539  (class class class)co 7408  pm cpm 8820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-pm 8822
This theorem is referenced by:  fpmg  8861  pmresg  8863  rlim  15438  ello12  15459  elo12  15470  sscpwex  17761  catcfuccl  18068  catcfucclOLD  18069  catcxpccl  18158  catcxpcclOLD  18159  lmbrf  22763  cnextfval  23565  lmmbrf  24778  iscauf  24796  caucfil  24799  cmetcaulem  24804  lmclimf  24820  ismbf  25144  ismbfcn  25145  mbfconst  25149  cncombf  25174  cnmbf  25175  limcfval  25388  dvfval  25413  dvnff  25439  dvn2bss  25446  dvnfre  25468  taylfvallem1  25868  taylfval  25870  tayl0  25873  taylplem1  25874  taylply2  25879  taylply  25880  dvtaylp  25881  dvntaylp  25882  dvntaylp0  25883  taylthlem1  25884  taylthlem2  25885  ulmval  25891  ulmpm  25894  iscgrgd  27761  esumcvg  33079  mrsubfval  34494  elmrsubrn  34506  msubfval  34510  fwddifval  35129  fwddifnval  35130  fpmd  43958  xlimmnfvlem2  44539  xlimpnfvlem2  44543  dvnmptdivc  44644  dvnxpaek  44648  etransclem46  44986  issmflem  45433  fdivpm  47219  refdivpm  47220  elbigo2  47228
  Copyright terms: Public domain W3C validator