Theorem elpm2r 8835

Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2r	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 6723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
2	1	feq2d 6700	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ↔ 𝐹:𝐶⟶𝐴))
3	1	sseq1d 4012	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → (dom 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
6	5	ibir 268	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
7		elpm2g 8834	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))
8	6, 7	imbitrrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵)))
9	8	imp 408	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3947  dom cdm 5675  ⟶wf 6536  (class class class)co 7404   ↑_pm cpm 8817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-pm 8819

This theorem is referenced by:  fpmg  8858  pmresg  8860  rlim  15435  ello12  15456  elo12  15467  sscpwex  17758  catcfuccl  18065  catcfucclOLD  18066  catcxpccl  18155  catcxpcclOLD  18156  lmbrf  22746  cnextfval  23548  lmmbrf  24761  iscauf  24779  caucfil  24782  cmetcaulem  24787  lmclimf  24803  ismbf  25127  ismbfcn  25128  mbfconst  25132  cncombf  25157  cnmbf  25158  limcfval  25371  dvfval  25396  dvnff  25422  dvn2bss  25429  dvnfre  25451  taylfvallem1  25851  taylfval  25853  tayl0  25856  taylplem1  25857  taylply2  25862  taylply  25863  dvtaylp  25864  dvntaylp  25865  dvntaylp0  25866  taylthlem1  25867  taylthlem2  25868  ulmval  25874  ulmpm  25877  iscgrgd  27744  esumcvg  33022  mrsubfval  34437  elmrsubrn  34449  msubfval  34453  fwddifval  35072  fwddifnval  35073  fpmd  43903  xlimmnfvlem2  44484  xlimpnfvlem2  44488  dvnmptdivc  44589  dvnxpaek  44593  etransclem46  44931  issmflem  45378  fdivpm  47131  refdivpm  47132  elbigo2  47140