MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2r 8413
Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2r (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r
StepHypRef Expression
1 fdm 6515 . . . . . . 7 (𝐹:𝐶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
21feq2d 6493 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹𝐴𝐹:𝐶𝐴))
31sseq1d 3995 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (dom 𝐹𝐵𝐶𝐵))
42, 3anbi12d 630 . . . . 5 (𝐹:𝐶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
54adantr 481 . . . 4 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
65ibir 269 . . 3 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
7 elpm2g 8412 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
86, 7syl5ibr 247 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵)))
98imp 407 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wcel 2105  wss 3933  dom cdm 5548  wf 6344  (class class class)co 7145  pm cpm 8396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-pm 8398
This theorem is referenced by:  fpmg  8421  pmresg  8423  rlim  14840  ello12  14861  elo12  14872  sscpwex  17073  catcfuccl  17357  catcxpccl  17445  lmbrf  21796  cnextfval  22598  lmmbrf  23792  iscauf  23810  caucfil  23813  cmetcaulem  23818  lmclimf  23834  ismbf  24156  ismbfcn  24157  mbfconst  24161  cncombf  24186  cnmbf  24187  limcfval  24397  dvfval  24422  dvnff  24447  dvn2bss  24454  dvnfre  24476  taylfvallem1  24872  taylfval  24874  tayl0  24877  taylplem1  24878  taylply2  24883  taylply  24884  dvtaylp  24885  dvntaylp  24886  dvntaylp0  24887  taylthlem1  24888  taylthlem2  24889  ulmval  24895  ulmpm  24898  iscgrgd  26226  esumcvg  31244  mrsubfval  32652  elmrsubrn  32664  msubfval  32668  fwddifval  33520  fwddifnval  33521  fpmd  41414  xlimmnfvlem2  41990  xlimpnfvlem2  41994  dvnmptdivc  42099  dvnxpaek  42103  etransclem46  42442  issmflem  42881  fdivpm  44531  refdivpm  44532  elbigo2  44540
  Copyright terms: Public domain W3C validator