Theorem elpm2r 8839

Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
elpm2r	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fdm 6727	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
2	1	feq2d 6704	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ↔ 𝐹:𝐶⟶𝐴))
3	1	sseq1d 4014	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → (dom 𝐹 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐶 ⊆ 𝐵))
4	2, 3	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐶⟶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
5	4	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)))
6	5	ibir 268	. . 3 ⊢ ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵))
7		elpm2g 8838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹⟶𝐴 ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝐵)))
8	6, 7	imbitrrid 245	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵)))
9	8	imp 408	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (𝐹:𝐶⟶𝐴 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑pm 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3949  dom cdm 5677  ⟶wf 6540  (class class class)co 7409   ↑_pm cpm 8821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-pm 8823

This theorem is referenced by:  fpmg  8862  pmresg  8864  rlim  15439  ello12  15460  elo12  15471  sscpwex  17762  catcfuccl  18069  catcfucclOLD  18070  catcxpccl  18159  catcxpcclOLD  18160  lmbrf  22764  cnextfval  23566  lmmbrf  24779  iscauf  24797  caucfil  24800  cmetcaulem  24805  lmclimf  24821  ismbf  25145  ismbfcn  25146  mbfconst  25150  cncombf  25175  cnmbf  25176  limcfval  25389  dvfval  25414  dvnff  25440  dvn2bss  25447  dvnfre  25469  taylfvallem1  25869  taylfval  25871  tayl0  25874  taylplem1  25875  taylply2  25880  taylply  25881  dvtaylp  25882  dvntaylp  25883  dvntaylp0  25884  taylthlem1  25885  taylthlem2  25886  ulmval  25892  ulmpm  25895  iscgrgd  27795  esumcvg  33115  mrsubfval  34530  elmrsubrn  34542  msubfval  34546  fwddifval  35165  fwddifnval  35166  fpmd  44016  xlimmnfvlem2  44597  xlimpnfvlem2  44601  dvnmptdivc  44702  dvnxpaek  44706  etransclem46  45044  issmflem  45491  fdivpm  47277  refdivpm  47278  elbigo2  47286