MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elpm2r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpm2r 8884
Description: Sufficient condition for being a partial function. (Contributed by NM, 31-Dec-2013.)
Assertion
Ref Expression
elpm2r (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))

Proof of Theorem elpm2r
StepHypRef Expression
1 fdm 6746 . . . . . . 7 (𝐹:𝐶𝐴 → dom 𝐹 = 𝐶)
21feq2d 6723 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (𝐹:dom 𝐹𝐴𝐹:𝐶𝐴))
31sseq1d 4027 . . . . . 6 (𝐹:𝐶𝐴 → (dom 𝐹𝐵𝐶𝐵))
42, 3anbi12d 632 . . . . 5 (𝐹:𝐶𝐴 → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
54adantr 480 . . . 4 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → ((𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵) ↔ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)))
65ibir 268 . . 3 ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵))
7 elpm2g 8883 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵) ↔ (𝐹:dom 𝐹𝐴 ∧ dom 𝐹𝐵)))
86, 7imbitrrid 246 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵)))
98imp 406 1 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (𝐹:𝐶𝐴𝐶𝐵)) → 𝐹 ∈ (𝐴pm 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wss 3963  dom cdm 5689  wf 6559  (class class class)co 7431  pm cpm 8866
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-pm 8868
This theorem is referenced by:  fpmg  8907  pmresg  8909  rlim  15528  ello12  15549  elo12  15560  sscpwex  17863  catcfuccl  18173  catcfucclOLD  18174  catcxpccl  18263  catcxpcclOLD  18264  lmbrf  23284  cnextfval  24086  lmmbrf  25310  iscauf  25328  caucfil  25331  cmetcaulem  25336  lmclimf  25352  ismbf  25677  ismbfcn  25678  mbfconst  25682  cncombf  25707  cnmbf  25708  limcfval  25922  dvfval  25947  dvnff  25974  dvn2bss  25981  dvnfre  26005  taylfvallem1  26413  taylfval  26415  tayl0  26418  taylplem1  26419  taylply2  26424  taylply2OLD  26425  taylply  26426  dvtaylp  26427  dvntaylp  26428  dvntaylp0  26429  taylthlem1  26430  taylthlem2  26431  taylthlem2OLD  26432  ulmval  26438  ulmpm  26441  iscgrgd  28536  esumcvg  34067  mrsubfval  35493  elmrsubrn  35505  msubfval  35509  fwddifval  36144  fwddifnval  36145  fpmd  45209  xlimmnfvlem2  45789  xlimpnfvlem2  45793  dvnmptdivc  45894  dvnxpaek  45898  etransclem46  46236  issmflem  46683  fdivpm  48393  refdivpm  48394  elbigo2  48402
  Copyright terms: Public domain W3C validator