Theorem fsetsnf1o 47531

Description: The mapping of an element of a class to a singleton function is a bijection. (Contributed by AV, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsetsnf.a	⊢ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑆, 𝑏⟩}}
fsetsnf.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {⟨𝑆, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
fsetsnf1o	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑆,𝑏,𝑥,𝑦   𝑉,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑦,𝑏)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fsetsnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetsnf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑆, 𝑏⟩}}
2		fsetsnf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {⟨𝑆, 𝑥⟩})
3	1, 2	fsetsnf1 47529	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
4	1, 2	fsetsnfo 47530	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–onto→𝐴)
5		df-f1o 6496	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹:𝐵–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:𝐵–onto→𝐴))
6	3, 4, 5	sylanbrc 590	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {cab 2719  ∃wrex 3065  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5156  –1-1→wf1 6486  –onto→wfo 6487  –1-1-onto→wf1o 6488

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497

This theorem is referenced by:  fsetsnprcnex  47532