Theorem fsetsnf1o 47929

Description: The mapping of an element of a class to a singleton function is a bijection. (Contributed by AV, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsetsnf.a	⊢ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑆, 𝑏⟩}}
fsetsnf.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {⟨𝑆, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
fsetsnf1o	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑆,𝑏,𝑥,𝑦   𝑉,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑏)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑏)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fsetsnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetsnf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑆, 𝑏⟩}}
2		fsetsnf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {⟨𝑆, 𝑥⟩})
3	1, 2	fsetsnf1 47927	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
4	1, 2	fsetsnfo 47928	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–onto→𝐴)
5		df-f1o 6544	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹:𝐵–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:𝐵–onto→𝐴))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {cab 2740  ∃wrex 3088  {csn 4587  ⟨cop 4593   ↦ cmpt 5190  –1-1→wf1 6534  –onto→wfo 6535  –1-1-onto→wf1o 6536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545

This theorem is used by:  fsetsnprcnex  47930