Theorem fsetsnf1o 48124

Description: The mapping of an element of a class to a singleton function is a bijection. (Contributed by AV, 13-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsetsnf.a	⊢ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑆, 𝑏⟩}}
fsetsnf.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {⟨𝑆, 𝑥⟩})

Assertion

Ref	Expression
fsetsnf1o	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝐵,𝑏,𝑥,𝑦   𝑆,𝑏,𝑥,𝑦   𝑉,𝑏,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦, 𝑏)   𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑏)   𝑉(𝑦)

Proof of Theorem fsetsnf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsetsnf.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = {𝑦 ∣ ∃𝑏 ∈ 𝐵 𝑦 = {⟨𝑆, 𝑏⟩}}
2		fsetsnf.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ {⟨𝑆, 𝑥⟩})
3	1, 2	fsetsnf1 48122	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1→𝐴)
4	1, 2	fsetsnfo 48123	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–onto→𝐴)
5		df-f1o 6545	. 2 ⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴 ↔ (𝐹:𝐵–1-1→𝐴 ∧ 𝐹:𝐵–onto→𝐴))
6	3, 4, 5	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∃wrex 3086  {csn 4583  ⟨cop 4589   ↦ cmpt 5185  –1-1→wf1 6535  –onto→wfo 6536  –1-1-onto→wf1o 6537

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546

This theorem is used by:  fsetsnprcnex  48125