MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funconstss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funconstss 7076
Description: Two ways of specifying that a function is constant on a subdomain. (Contributed by NM, 8-Mar-2007.)
Assertion
Ref Expression
funconstss ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem funconstss
StepHypRef Expression
1 funimass4 6973 . . 3 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵}))
2 fvex 6919 . . . . 5 (𝐹𝑥) ∈ V
32elsn 4641 . . . 4 ((𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ (𝐹𝑥) = 𝐵)
43ralbii 3093 . . 3 (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ {𝐵} ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵)
51, 4bitr2di 288 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵 ↔ (𝐹𝐴) ⊆ {𝐵}))
6 funimass3 7074 . 2 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ {𝐵} ↔ 𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
75, 6bitrd 279 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹 “ {𝐵})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wss 3951  {csn 4626  ccnv 5684  dom cdm 5685  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-fv 6569
This theorem is referenced by:  fconst3  7233  ipasslem8  30856
  Copyright terms: Public domain W3C validator