Theorem ipasslem8 31200

Description: Lemma for ipassi 31204. By ipasslem5 31198, 𝐹 is 0 for all ℚ; since it is continuous and ℚ is dense in ℝ by qdensere2 24965, we conclude 𝐹 is 0 for all ℝ. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem7.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipasslem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
ipasslem8	⊢ 𝐹:ℝ⟶{0}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem8

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11204	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		qre 12983	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		oveq1 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴))
4	3	oveq1d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵))
5		oveq1 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
6	4, 5	oveq12d 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
7		ipasslem7.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
8		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
10	2, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
11		ipasslem7.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
12		qcn 12993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℂ)
13		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14	13	phnvi 31179	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
15		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
16		ip1i.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17	15, 16	nvscl 30989	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18	14, 17	mp3an1 1476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
19	12, 18	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
20		ipasslem7.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
21		ip1i.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
22	15, 21	dipcl 31075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
23	14, 20, 22	mp3an13 1480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	19, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25		ip1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
26	15, 25, 16, 21, 13, 20	ipasslem5 31198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
27	24, 26	subeq0bd 11646	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
28	11, 27	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
29	10, 28	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑥) = 0)
30	29	rgen 3080	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0
31	7	funmpt2 6575	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
32		qssre 12989	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
33		ovex 7445	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
34	33, 7	dmmpti 6679	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 = ℝ
35	32, 34	sseqtrri 3985	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ dom 𝐹
36		funconstss 7051	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ℚ ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0})))
37	31, 35, 36	mp2an 704	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
38	30, 37	mpbi 233	. 2 ⊢ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0})
39		qdensere 24937	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
40		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
41	40	cnfldhaus 24952	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
42		haust1 23520	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre)
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre
44		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
45	15, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40	ipasslem7 31199	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
46		uniretop 24930	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
47	40	cnfldtopon 24950	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
48	47	toponunii 23084	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
49	46, 48	dnsconst 23546	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre ∧ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)) → 𝐹:ℝ⟶{0})
50	43, 45, 49	mpanl12 714	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0})
51	1, 38, 39, 50	mp3an 1489	1 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078   ⊆ wss 3904  {csn 4588   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5659  dom cdm 5660  ran crn 5661   “ cima 5663  Fun wfun 6530  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106   · cmul 11111   − cmin 11447  ℚcq 12978  (,)cioo 13378  TopOpenctopn 17480  topGenctg 17496  ℂ_fldccnfld 21533  clsccl 23186   Cn ccn 23392  Frect1 23475  Hauscha 23476  NrmCVeccnv 30947   +_𝑣 cpv 30948  BaseSetcba 30949   ·_𝑠OLD cns 30950  ·_𝑖OLDcdip 31063  CPreHil_OLDccphlo 31175

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13143  df-xadd 13144  df-xmul 13145  df-ioo 13382  df-icc 13385  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-exp 14105  df-hash 14374  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-clim 15546  df-sum 15745  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-hom 17340  df-cco 17341  df-rest 17481  df-topn 17482  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-topgen 17502  df-pt 17503  df-prds 17506  df-xrs 17562  df-qtop 17567  df-imas 17568  df-xps 17570  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-mulg 19140  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-psmet 21525  df-xmet 21526  df-met 21527  df-bl 21528  df-mopn 21529  df-cnfld 21534  df-top 23062  df-topon 23079  df-topsp 23101  df-bases 23114  df-cld 23187  df-ntr 23188  df-cls 23189  df-cn 23395  df-cnp 23396  df-t1 23482  df-haus 23483  df-tx 23730  df-hmeo 23923  df-xms 24488  df-ms 24489  df-tms 24490  df-grpo 30856  df-gid 30857  df-ginv 30858  df-gdiv 30859  df-ablo 30908  df-vc 30922  df-nv 30955  df-va 30958  df-ba 30959  df-sm 30960  df-0v 30961  df-vs 30962  df-nmcv 30963  df-ims 30964  df-dip 31064  df-ph 31176

This theorem is used by:  ipasslem9  31201