Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem8 28268
 Description: Lemma for ipassi 28272. By ipasslem5 28266, 𝐹 is 0 for all ℚ; since it is continuous and ℚ is dense in ℝ by qdensere2 23012, we conclude 𝐹 is 0 for all ℝ. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴𝑋
ipasslem7.b 𝐵𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
Assertion
Ref Expression
ipasslem8 𝐹:ℝ⟶{0}
Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10370 . 2 0 ∈ ℂ
2 qre 12104 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 oveq1 6931 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴))
43oveq1d 6939 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵))
5 oveq1 6931 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
64, 5oveq12d 6942 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
7 ipasslem7.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
8 ovex 6956 . . . . . . 7 (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6544 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
102, 9syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
11 ipasslem7.a . . . . . 6 𝐴𝑋
12 qcn 12114 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℂ)
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1413phnvi 28247 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1715, 16nvscl 28057 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1814, 17mp3an1 1521 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1912, 18sylan 575 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9 𝐵𝑋
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
2215, 21dipcl 28143 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2314, 20, 22mp3an13 1525 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2419, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 28266 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
2724, 26subeq0bd 10803 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
2811, 27mpan2 681 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℚ → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
2910, 28eqtrd 2814 . . . 4 (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹𝑥) = 0)
3029rgen 3104 . . 3 𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0
317funmpt2 6176 . . . 4 Fun 𝐹
32 qssre 12110 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
33 ovex 6956 . . . . . 6 (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
3433, 7dmmpti 6271 . . . . 5 dom 𝐹 = ℝ
3532, 34sseqtr4i 3857 . . . 4 ℚ ⊆ dom 𝐹
36 funconstss 6600 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ℚ ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0})))
3731, 35, 36mp2an 682 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}))
3830, 37mpbi 222 . 2 ℚ ⊆ (𝐹 “ {0})
39 qdensere 22985 . 2 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
40 eqid 2778 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4140cnfldhaus 23000 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
42 haust1 21568 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre)
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre
44 eqid 2778 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 28267 . . 3 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
46 uniretop 22978 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
4740cnfldtopon 22998 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4847toponunii 21132 . . . 4 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4946, 48dnsconst 21594 . . 3 ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre ∧ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)) → 𝐹:ℝ⟶{0})
5043, 45, 49mpanl12 692 . 2 ((0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0})
511, 38, 39, 50mp3an 1534 1 𝐹:ℝ⟶{0}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090   ⊆ wss 3792  {csn 4398   ↦ cmpt 4967  ◡ccnv 5356  dom cdm 5357  ran crn 5358   “ cima 5360  Fun wfun 6131  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℂcc 10272  ℝcr 10273  0cc0 10274   · cmul 10279   − cmin 10608  ℚcq 12099  (,)cioo 12491  TopOpenctopn 16472  topGenctg 16488  ℂfldccnfld 20146  clsccl 21234   Cn ccn 21440  Frect1 21523  Hauscha 21524  NrmCVeccnv 28015   +𝑣 cpv 28016  BaseSetcba 28017   ·𝑠OLD cns 28018  ·𝑖OLDcdip 28131  CPreHilOLDccphlo 28243 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352  ax-addf 10353  ax-mulf 10354 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-oi 8706  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11035  df-nn 11379  df-2 11442  df-3 11443  df-4 11444  df-5 11445  df-6 11446  df-7 11447  df-8 11448  df-9 11449  df-n0 11647  df-z 11733  df-dec 11850  df-uz 11997  df-q 12100  df-rp 12142  df-xneg 12261  df-xadd 12262  df-xmul 12263  df-ioo 12495  df-icc 12498  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-seq 13124  df-exp 13183  df-hash 13440  df-cj 14250  df-re 14251  df-im 14252  df-sqrt 14386  df-abs 14387  df-clim 14631  df-sum 14829  df-struct 16261  df-ndx 16262  df-slot 16263  df-base 16265  df-sets 16266  df-ress 16267  df-plusg 16355  df-mulr 16356  df-starv 16357  df-sca 16358  df-vsca 16359  df-ip 16360  df-tset 16361  df-ple 16362  df-ds 16364  df-unif 16365  df-hom 16366  df-cco 16367  df-rest 16473  df-topn 16474  df-0g 16492  df-gsum 16493  df-topgen 16494  df-pt 16495  df-prds 16498  df-xrs 16552  df-qtop 16557  df-imas 16558  df-xps 16560  df-mre 16636  df-mrc 16637  df-acs 16639  df-mgm 17632  df-sgrp 17674  df-mnd 17685  df-submnd 17726  df-mulg 17932  df-cntz 18137  df-cmn 18585  df-psmet 20138  df-xmet 20139  df-met 20140  df-bl 20141  df-mopn 20142  df-cnfld 20147  df-top 21110  df-topon 21127  df-topsp 21149  df-bases 21162  df-cld 21235  df-ntr 21236  df-cls 21237  df-cn 21443  df-cnp 21444  df-t1 21530  df-haus 21531  df-tx 21778  df-hmeo 21971  df-xms 22537  df-ms 22538  df-tms 22539  df-grpo 27924  df-gid 27925  df-ginv 27926  df-gdiv 27927  df-ablo 27976  df-vc 27990  df-nv 28023  df-va 28026  df-ba 28027  df-sm 28028  df-0v 28029  df-vs 28030  df-nmcv 28031  df-ims 28032  df-dip 28132  df-ph 28244 This theorem is referenced by:  ipasslem9  28269
 Copyright terms: Public domain W3C validator