MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem8 30090
Description: Lemma for ipassi 30094. By ipasslem5 30088, 𝐹 is 0 for all β„š; since it is continuous and β„š is dense in ℝ by qdensere2 24313, we conclude 𝐹 is 0 for all ℝ. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem7.b 𝐡 ∈ 𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
Assertion
Ref Expression
ipasslem8 𝐹:β„βŸΆ{0}
Distinct variable groups:   𝑀,𝐡   𝑀,𝑃   𝑀,𝑆   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝑋   𝑀,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑀)   𝐺(𝑀)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11206 . 2 0 ∈ β„‚
2 qre 12937 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„š β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀𝑆𝐴) = (π‘₯𝑆𝐴))
43oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡))
5 oveq1 7416 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)))
64, 5oveq12d 7427 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))))
7 ipasslem7.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
8 ovex 7442 . . . . . . 7 (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6999 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))))
102, 9syl 17 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))))
11 ipasslem7.a . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
12 qcn 12947 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„š β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
1413phnvi 30069 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
1715, 16nvscl 29879 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1814, 17mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1912, 18sylan 581 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ 𝑋
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
2215, 21dipcl 29965 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2314, 20, 22mp3an13 1453 . . . . . . . 8 ((π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2419, 23syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
25 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 30088 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)))
2724, 26subeq0bd 11640 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))) = 0)
2811, 27mpan2 690 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„š β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))) = 0)
2910, 28eqtrd 2773 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
3029rgen 3064 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ β„š (πΉβ€˜π‘₯) = 0
317funmpt2 6588 . . . 4 Fun 𝐹
32 qssre 12943 . . . . 5 β„š βŠ† ℝ
33 ovex 7442 . . . . . 6 (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ∈ V
3433, 7dmmpti 6695 . . . . 5 dom 𝐹 = ℝ
3532, 34sseqtrri 4020 . . . 4 β„š βŠ† dom 𝐹
36 funconstss 7058 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ β„š βŠ† dom 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„š (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0})))
3731, 35, 36mp2an 691 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ β„š (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0}))
3830, 37mpbi 229 . 2 β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0})
39 qdensere 24286 . 2 ((clsβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„š) = ℝ
40 eqid 2733 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4140cnfldhaus 24301 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
42 haust1 22856 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Fre)
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Fre
44 eqid 2733 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 30089 . . 3 𝐹 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
46 uniretop 24279 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
4740cnfldtopon 24299 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4847toponunii 22418 . . . 4 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4946, 48dnsconst 22882 . . 3 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Fre ∧ 𝐹 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0}) ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„š) = ℝ)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ{0})
5043, 45, 49mpanl12 701 . 2 ((0 ∈ β„‚ ∧ β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0}) ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„š) = ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆ{0})
511, 38, 39, 50mp3an 1462 1 𝐹:β„βŸΆ{0}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062   βŠ† wss 3949  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   β€œ cima 5680  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   βˆ’ cmin 11444  β„šcq 12932  (,)cioo 13324  TopOpenctopn 17367  topGenctg 17383  β„‚fldccnfld 20944  clsccl 22522   Cn ccn 22728  Frect1 22811  Hauscha 22812  NrmCVeccnv 29837   +𝑣 cpv 29838  BaseSetcba 29839   ·𝑠OLD cns 29840  Β·π‘–OLDcdip 29953  CPreHilOLDccphlo 30065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ph 30066
This theorem is referenced by:  ipasslem9  30091
  Copyright terms: Public domain W3C validator