MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem8 28032
Description: Lemma for ipassi 28036. By ipasslem5 28030, 𝐹 is 0 for all ; since it is continuous and is dense in by qdensere2 22820, we conclude 𝐹 is 0 for all . (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴𝑋
ipasslem7.b 𝐵𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
Assertion
Ref Expression
ipasslem8 𝐹:ℝ⟶{0}
Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10234 . 2 0 ∈ ℂ
2 qre 11996 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴))
43oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵))
5 oveq1 6800 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
64, 5oveq12d 6811 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
7 ipasslem7.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
8 ovex 6823 . . . . . . 7 (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6424 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
102, 9syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
11 ipasslem7.a . . . . . 6 𝐴𝑋
12 qcn 12005 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℂ)
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1413phnvi 28011 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1715, 16nvscl 27821 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1814, 17mp3an1 1559 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1912, 18sylan 569 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9 𝐵𝑋
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
2215, 21dipcl 27907 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2314, 20, 22mp3an13 1563 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2419, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 28030 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
2724, 26subeq0bd 10658 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
2811, 27mpan2 671 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℚ → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
2910, 28eqtrd 2805 . . . 4 (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹𝑥) = 0)
3029rgen 3071 . . 3 𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0
317funmpt2 6070 . . . 4 Fun 𝐹
32 qssre 12001 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
33 ovex 6823 . . . . . 6 (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
3433, 7dmmpti 6163 . . . . 5 dom 𝐹 = ℝ
3532, 34sseqtr4i 3787 . . . 4 ℚ ⊆ dom 𝐹
36 funconstss 6478 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ℚ ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0})))
3731, 35, 36mp2an 672 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}))
3830, 37mpbi 220 . 2 ℚ ⊆ (𝐹 “ {0})
39 qdensere 22793 . 2 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
40 eqid 2771 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4140cnfldhaus 22808 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
42 haust1 21377 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre)
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre
44 eqid 2771 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 28031 . . 3 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
46 uniretop 22786 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
4740cnfldtopon 22806 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4847toponunii 20941 . . . 4 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4946, 48dnsconst 21403 . . 3 ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre ∧ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)) → 𝐹:ℝ⟶{0})
5043, 45, 49mpanl12 682 . 2 ((0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0})
511, 38, 39, 50mp3an 1572 1 𝐹:ℝ⟶{0}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wss 3723  {csn 4316  cmpt 4863  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cima 5252  Fun wfun 6025  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138   · cmul 10143  cmin 10468  cq 11991  (,)cioo 12380  TopOpenctopn 16290  topGenctg 16306  fldccnfld 19961  clsccl 21043   Cn ccn 21249  Frect1 21332  Hauscha 21333  NrmCVeccnv 27779   +𝑣 cpv 27780  BaseSetcba 27781   ·𝑠OLD cns 27782  ·𝑖OLDcdip 27895  CPreHilOLDccphlo 28007
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-t1 21339  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-grpo 27687  df-gid 27688  df-ginv 27689  df-gdiv 27690  df-ablo 27739  df-vc 27754  df-nv 27787  df-va 27790  df-ba 27791  df-sm 27792  df-0v 27793  df-vs 27794  df-nmcv 27795  df-ims 27796  df-dip 27896  df-ph 28008
This theorem is referenced by:  ipasslem9  28033
  Copyright terms: Public domain W3C validator