Theorem ipasslem8 31466

Description: Lemma for ipassi 31470. By ipasslem5 31464, 𝐹 is 0 for all ℚ; since it is continuous and ℚ is dense in ℝ by qdensere2 25143, we conclude 𝐹 is 0 for all ℝ. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem7.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipasslem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
ipasslem8	⊢ 𝐹:ℝ⟶{0}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem8

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11322	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		qre 13104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		oveq1 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴))
4	3	oveq1d 7455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵))
5		oveq1 7447	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
6	4, 5	oveq12d 7458	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
7		ipasslem7.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
8		ovex 7473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 7013	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
10	2, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
11		ipasslem7.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
12		qcn 13114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℂ)
13		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14	13	phnvi 31445	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
15		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
16		ip1i.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17	15, 16	nvscl 31255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18	14, 17	mp3an1 1478	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
19	12, 18	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
20		ipasslem7.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
21		ip1i.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
22	15, 21	dipcl 31341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
23	14, 20, 22	mp3an13 1482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	19, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25		ip1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
26	15, 25, 16, 21, 13, 20	ipasslem5 31464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
27	24, 26	subeq0bd 11766	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
28	11, 27	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
29	10, 28	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑥) = 0)
30	29	rgen 3082	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0
31	7	funmpt2 6596	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
32		qssre 13110	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
33		ovex 7473	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
34	33, 7	dmmpti 6702	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 = ℝ
35	32, 34	sseqtrri 3962	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ dom 𝐹
36		funconstss 7075	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ℚ ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0})))
37	31, 35, 36	mp2an 705	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
38	30, 37	mpbi 233	. 2 ⊢ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0})
39		qdensere 25115	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
40		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
41	40	cnfldhaus 25130	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
42		haust1 23697	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre)
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre
44		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
45	15, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40	ipasslem7 31465	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
46		uniretop 25108	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
47	40	cnfldtopon 25128	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
48	47	toponunii 23261	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
49	46, 48	dnsconst 23723	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre ∧ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)) → 𝐹:ℝ⟶{0})
50	43, 45, 49	mpanl12 715	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0})
51	1, 38, 39, 50	mp3an 1491	1 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  {csn 4588   ↦ cmpt 5189  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658  Fun wfun 6549  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   · cmul 11229   − cmin 11565  ℚcq 13099  (,)cioo 13500  TopOpenctopn 17618  topGenctg 17634  ℂ_fldccnfld 21705  clsccl 23363   Cn ccn 23569  Frect1 23652  Hauscha 23653  NrmCVeccnv 31213   +_𝑣 cpv 31214  BaseSetcba 31215   ·_𝑠OLD cns 31216  ·_𝑖OLDcdip 31329  CPreHil_OLDccphlo 31441

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-t1 23659  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ginv 31124  df-gdiv 31125  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-vs 31228  df-nmcv 31229  df-ims 31230  df-dip 31330  df-ph 31442

This theorem is used by:  ipasslem9  31467