Theorem ipasslem8 31159

Description: Lemma for ipassi 31163. By ipasslem5 31157, 𝐹 is 0 for all ℚ; since it is continuous and ℚ is dense in ℝ by qdensere2 24937, we conclude 𝐹 is 0 for all ℝ. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ip1i.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
ip1i.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
ip1i.7	⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
ip1i.9	⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a	⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem7.b	⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
ipasslem7.f	⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))

Assertion

Ref	Expression
ipasslem8	⊢ 𝐹:ℝ⟶{0}

Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem8

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11201	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		qre 12980	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
3		oveq1 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴))
4	3	oveq1d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵))
5		oveq1 7421	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
6	4, 5	oveq12d 7432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
7		ipasslem7.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
8		ovex 7447	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
9	6, 7, 8	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹‘𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
10	2, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
11		ipasslem7.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ 𝑋
12		qcn 12990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℂ)
13		ip1i.9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑈 ∈ CPreHilOLD
14	13	phnvi 31138	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
15		ip1i.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
16		ip1i.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
17	15, 16	nvscl 30948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
18	14, 17	mp3an1 1475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
19	12, 18	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
20		ipasslem7.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 ∈ 𝑋
21		ip1i.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑃 = (·𝑖OLD‘𝑈)
22	15, 21	dipcl 31034	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
23	14, 20, 22	mp3an13 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
24	19, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25		ip1i.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
26	15, 25, 16, 21, 13, 20	ipasslem5 31157	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
27	24, 26	subeq0bd 11643	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
28	11, 27	mpan2 703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
29	10, 28	eqtrd 2805	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹‘𝑥) = 0)
30	29	rgen 3088	. . 3 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0
31	7	funmpt2 6579	. . . 4 ⊢ Fun 𝐹
32		qssre 12986	. . . . 5 ⊢ ℚ ⊆ ℝ
33		ovex 7447	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
34	33, 7	dmmpti 6683	. . . . 5 ⊢ dom 𝐹 = ℝ
35	32, 34	sseqtrri 3994	. . . 4 ⊢ ℚ ⊆ dom 𝐹
36		funconstss 7055	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ℚ ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0})))
37	31, 35, 36	mp2an 704	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹‘𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}))
38	30, 37	mpbi 233	. 2 ⊢ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0})
39		qdensere 24909	. 2 ⊢ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
40		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
41	40	cnfldhaus 24924	. . . 4 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
42		haust1 23492	. . . 4 ⊢ ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre)
43	41, 42	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre
44		eqid 2770	. . . 4 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
45	15, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40	ipasslem7 31158	. . 3 ⊢ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
46		uniretop 24902	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
47	40	cnfldtopon 24922	. . . . 5 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
48	47	toponunii 23056	. . . 4 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂfld)
49	46, 48	dnsconst 23518	. . 3 ⊢ ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre ∧ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)) → 𝐹:ℝ⟶{0})
50	43, 45, 49	mpanl12 714	. 2 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (◡𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0})
51	1, 38, 39, 50	mp3an 1488	1 ⊢ 𝐹:ℝ⟶{0}

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  ∀wral 3086   ⊆ wss 3913  {csn 4594   ↦ cmpt 5197  ^◡ccnv 5664  dom cdm 5665  ran crn 5666   “ cima 5668  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414  ℂcc 11101  ℝcr 11102  0cc0 11103   · cmul 11108   − cmin 11444  ℚcq 12975  (,)cioo 13375  TopOpenctopn 17477  topGenctg 17493  ℂ_fldccnfld 21505  clsccl 23158   Cn ccn 23364  Frect1 23447  Hauscha 23448  NrmCVeccnv 30906   +_𝑣 cpv 30907  BaseSetcba 30908   ·_𝑠OLD cns 30909  ·_𝑖OLDcdip 31022  CPreHil_OLDccphlo 31134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181  ax-addf 11182  ax-mulf 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-iin 4964  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7678  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-ixp 8899  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9928  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12508  df-z 12595  df-dec 12715  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13379  df-icc 13382  df-fz 13539  df-fzo 13686  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-clim 15542  df-sum 15741  df-struct 17210  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-ress 17294  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-starv 17328  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-unif 17336  df-hom 17337  df-cco 17338  df-rest 17478  df-topn 17479  df-0g 17497  df-gsum 17498  df-topgen 17499  df-pt 17500  df-prds 17503  df-xrs 17559  df-qtop 17564  df-imas 17565  df-xps 17567  df-mre 17641  df-mrc 17642  df-acs 17644  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-submnd 18845  df-mulg 19137  df-cntz 19390  df-cmn 19855  df-psmet 21497  df-xmet 21498  df-met 21499  df-bl 21500  df-mopn 21501  df-cnfld 21506  df-top 23034  df-topon 23051  df-topsp 23073  df-bases 23086  df-cld 23159  df-ntr 23160  df-cls 23161  df-cn 23367  df-cnp 23368  df-t1 23454  df-haus 23455  df-tx 23702  df-hmeo 23895  df-xms 24460  df-ms 24461  df-tms 24462  df-grpo 30815  df-gid 30816  df-ginv 30817  df-gdiv 30818  df-ablo 30867  df-vc 30881  df-nv 30914  df-va 30917  df-ba 30918  df-sm 30919  df-0v 30920  df-vs 30921  df-nmcv 30922  df-ims 30923  df-dip 31023  df-ph 31135

This theorem is referenced by:  ipasslem9  31160