MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem8 30857
Description: Lemma for ipassi 30861. By ipasslem5 30855, 𝐹 is 0 for all ; since it is continuous and is dense in by qdensere2 24819, we conclude 𝐹 is 0 for all . (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
ip1i.9 𝑈 ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴𝑋
ipasslem7.b 𝐵𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
Assertion
Ref Expression
ipasslem8 𝐹:ℝ⟶{0}
Distinct variable groups:   𝑤,𝐵   𝑤,𝑃   𝑤,𝑆   𝑤,𝑈   𝑤,𝑋   𝑤,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑤)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11254 . 2 0 ∈ ℂ
2 qre 12996 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℝ)
3 oveq1 7439 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤𝑆𝐴) = (𝑥𝑆𝐴))
43oveq1d 7447 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → ((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) = ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵))
5 oveq1 7439 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑥 → (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵)) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
64, 5oveq12d 7450 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑥 → (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
7 ipasslem7.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑤 ∈ ℝ ↦ (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))))
8 ovex 7465 . . . . . . 7 (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 7015 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → (𝐹𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
102, 9syl 17 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹𝑥) = (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))))
11 ipasslem7.a . . . . . 6 𝐴𝑋
12 qcn 13006 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℚ → 𝑥 ∈ ℂ)
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 𝑈 ∈ CPreHilOLD
1413phnvi 30836 . . . . . . . . . 10 𝑈 ∈ NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD𝑈)
1715, 16nvscl 30646 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1814, 17mp3an1 1449 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1912, 18sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9 𝐵𝑋
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLD𝑈)
2215, 21dipcl 30732 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋𝐵𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2314, 20, 22mp3an13 1453 . . . . . . . 8 ((𝑥𝑆𝐴) ∈ 𝑋 → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
2419, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) ∈ ℂ)
25 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣𝑈)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 30855 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → ((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) = (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵)))
2724, 26subeq0bd 11690 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝐴𝑋) → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
2811, 27mpan2 691 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℚ → (((𝑥𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑥 · (𝐴𝑃𝐵))) = 0)
2910, 28eqtrd 2776 . . . 4 (𝑥 ∈ ℚ → (𝐹𝑥) = 0)
3029rgen 3062 . . 3 𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0
317funmpt2 6604 . . . 4 Fun 𝐹
32 qssre 13002 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
33 ovex 7465 . . . . . 6 (((𝑤𝑆𝐴)𝑃𝐵) − (𝑤 · (𝐴𝑃𝐵))) ∈ V
3433, 7dmmpti 6711 . . . . 5 dom 𝐹 = ℝ
3532, 34sseqtrri 4032 . . . 4 ℚ ⊆ dom 𝐹
36 funconstss 7075 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ ℚ ⊆ dom 𝐹) → (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0})))
3731, 35, 36mp2an 692 . . 3 (∀𝑥 ∈ ℚ (𝐹𝑥) = 0 ↔ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}))
3830, 37mpbi 230 . 2 ℚ ⊆ (𝐹 “ {0})
39 qdensere 24791 . 2 ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ
40 eqid 2736 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
4140cnfldhaus 24806 . . . 4 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus
42 haust1 23361 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ∈ Haus → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre)
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre
44 eqid 2736 . . . 4 (topGen‘ran (,)) = (topGen‘ran (,))
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 30856 . . 3 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
46 uniretop 24784 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
4740cnfldtopon 24804 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ (TopOn‘ℂ)
4847toponunii 22923 . . . 4 ℂ = (TopOpen‘ℂfld)
4946, 48dnsconst 23387 . . 3 ((((TopOpen‘ℂfld) ∈ Fre ∧ 𝐹 ∈ ((topGen‘ran (,)) Cn (TopOpen‘ℂfld))) ∧ (0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ)) → 𝐹:ℝ⟶{0})
5043, 45, 49mpanl12 702 . 2 ((0 ∈ ℂ ∧ ℚ ⊆ (𝐹 “ {0}) ∧ ((cls‘(topGen‘ran (,)))‘ℚ) = ℝ) → 𝐹:ℝ⟶{0})
511, 38, 39, 50mp3an 1462 1 𝐹:ℝ⟶{0}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  wss 3950  {csn 4625  cmpt 5224  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  cima 5687  Fun wfun 6554  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156   · cmul 11161  cmin 11493  cq 12991  (,)cioo 13388  TopOpenctopn 17467  topGenctg 17483  fldccnfld 21365  clsccl 23027   Cn ccn 23233  Frect1 23316  Hauscha 23317  NrmCVeccnv 30604   +𝑣 cpv 30605  BaseSetcba 30606   ·𝑠OLD cns 30607  ·𝑖OLDcdip 30720  CPreHilOLDccphlo 30832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-exp 14104  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-t1 23323  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-grpo 30513  df-gid 30514  df-ginv 30515  df-gdiv 30516  df-ablo 30565  df-vc 30579  df-nv 30612  df-va 30615  df-ba 30616  df-sm 30617  df-0v 30618  df-vs 30619  df-nmcv 30620  df-ims 30621  df-dip 30721  df-ph 30833
This theorem is referenced by:  ipasslem9  30858
  Copyright terms: Public domain W3C validator