MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipasslem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipasslem8 30128
Description: Lemma for ipassi 30132. By ipasslem5 30126, 𝐹 is 0 for all β„š; since it is continuous and β„š is dense in ℝ by qdensere2 24320, we conclude 𝐹 is 0 for all ℝ. (Contributed by NM, 24-Aug-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ip1i.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
ip1i.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
ip1i.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
ip1i.7 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
ip1i.9 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
ipasslem7.a 𝐴 ∈ 𝑋
ipasslem7.b 𝐡 ∈ 𝑋
ipasslem7.f 𝐹 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
Assertion
Ref Expression
ipasslem8 𝐹:β„βŸΆ{0}
Distinct variable groups:   𝑀,𝐡   𝑀,𝑃   𝑀,𝑆   𝑀,π‘ˆ   𝑀,𝑋   𝑀,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑀)   𝐺(𝑀)

Proof of Theorem ipasslem8
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11208 . 2 0 ∈ β„‚
2 qre 12939 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„š β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀𝑆𝐴) = (π‘₯𝑆𝐴))
43oveq1d 7426 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ ((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) = ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡))
5 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (𝑀 = π‘₯ β†’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡)) = (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)))
64, 5oveq12d 7429 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘₯ β†’ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))))
7 ipasslem7.f . . . . . . 7 𝐹 = (𝑀 ∈ ℝ ↦ (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))))
8 ovex 7444 . . . . . . 7 (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))) ∈ V
96, 7, 8fvmpt 6998 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))))
102, 9syl 17 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))))
11 ipasslem7.a . . . . . 6 𝐴 ∈ 𝑋
12 qcn 12949 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ β„š β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
13 ip1i.9 . . . . . . . . . . 11 π‘ˆ ∈ CPreHilOLD
1413phnvi 30107 . . . . . . . . . 10 π‘ˆ ∈ NrmCVec
15 ip1i.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
16 ip1i.4 . . . . . . . . . . 11 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
1715, 16nvscl 29917 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1814, 17mp3an1 1448 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
1912, 18sylan 580 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋)
20 ipasslem7.b . . . . . . . . 9 𝐡 ∈ 𝑋
21 ip1i.7 . . . . . . . . . 10 𝑃 = (·𝑖OLDβ€˜π‘ˆ)
2215, 21dipcl 30003 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2314, 20, 22mp3an13 1452 . . . . . . . 8 ((π‘₯𝑆𝐴) ∈ 𝑋 β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
2419, 23syl 17 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) ∈ β„‚)
25 ip1i.2 . . . . . . . 8 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
2615, 25, 16, 21, 13, 20ipasslem5 30126 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) = (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡)))
2724, 26subeq0bd 11642 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ β„š ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))) = 0)
2811, 27mpan2 689 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„š β†’ (((π‘₯𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (π‘₯ Β· (𝐴𝑃𝐡))) = 0)
2910, 28eqtrd 2772 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = 0)
3029rgen 3063 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ β„š (πΉβ€˜π‘₯) = 0
317funmpt2 6587 . . . 4 Fun 𝐹
32 qssre 12945 . . . . 5 β„š βŠ† ℝ
33 ovex 7444 . . . . . 6 (((𝑀𝑆𝐴)𝑃𝐡) βˆ’ (𝑀 Β· (𝐴𝑃𝐡))) ∈ V
3433, 7dmmpti 6694 . . . . 5 dom 𝐹 = ℝ
3532, 34sseqtrri 4019 . . . 4 β„š βŠ† dom 𝐹
36 funconstss 7057 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ β„š βŠ† dom 𝐹) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ β„š (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0})))
3731, 35, 36mp2an 690 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ β„š (πΉβ€˜π‘₯) = 0 ↔ β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0}))
3830, 37mpbi 229 . 2 β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0})
39 qdensere 24293 . 2 ((clsβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„š) = ℝ
40 eqid 2732 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4140cnfldhaus 24308 . . . 4 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus
42 haust1 22863 . . . 4 ((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Haus β†’ (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Fre)
4341, 42ax-mp 5 . . 3 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Fre
44 eqid 2732 . . . 4 (topGenβ€˜ran (,)) = (topGenβ€˜ran (,))
4515, 25, 16, 21, 13, 11, 20, 7, 44, 40ipasslem7 30127 . . 3 𝐹 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
46 uniretop 24286 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
4740cnfldtopon 24306 . . . . 5 (TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4847toponunii 22425 . . . 4 β„‚ = βˆͺ (TopOpenβ€˜β„‚fld)
4946, 48dnsconst 22889 . . 3 ((((TopOpenβ€˜β„‚fld) ∈ Fre ∧ 𝐹 ∈ ((topGenβ€˜ran (,)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))) ∧ (0 ∈ β„‚ ∧ β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0}) ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„š) = ℝ)) β†’ 𝐹:β„βŸΆ{0})
5043, 45, 49mpanl12 700 . 2 ((0 ∈ β„‚ ∧ β„š βŠ† (◑𝐹 β€œ {0}) ∧ ((clsβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))β€˜β„š) = ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆ{0})
511, 38, 39, 50mp3an 1461 1 𝐹:β„βŸΆ{0}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  β—‘ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   βˆ’ cmin 11446  β„šcq 12934  (,)cioo 13326  TopOpenctopn 17369  topGenctg 17385  β„‚fldccnfld 20950  clsccl 22529   Cn ccn 22735  Frect1 22818  Hauscha 22819  NrmCVeccnv 29875   +𝑣 cpv 29876  BaseSetcba 29877   ·𝑠OLD cns 29878  Β·π‘–OLDcdip 29991  CPreHilOLDccphlo 30103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-sum 15635  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-t1 22825  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-grpo 29784  df-gid 29785  df-ginv 29786  df-gdiv 29787  df-ablo 29836  df-vc 29850  df-nv 29883  df-va 29886  df-ba 29887  df-sm 29888  df-0v 29889  df-vs 29890  df-nmcv 29891  df-ims 29892  df-dip 29992  df-ph 30104
This theorem is referenced by:  ipasslem9  30129
  Copyright terms: Public domain W3C validator