Theorem funimass4 6986

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3993	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵))
2		vex 3492	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	elima 6094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦)
4		eqcom 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
5		ssel 4002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ dom 𝐹))
6		funbrfvb 6975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
7	6	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦)))
8	5, 7	syl9 77	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))))
9	8	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
10	4, 9	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑥𝐹𝑦))
11	10	rexbidva 3183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
12	3, 11	bitr4id 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
13	12	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
14		r19.23v 3189	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	13, 14	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
16	15	albidv 1919	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
17		ralcom4 3292	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
18		fvex 6933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
19		eleq1 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
20	18, 19	ceqsalv 3529	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
21	20	ralbii 3099	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22	17, 21	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
23	16, 22	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
24	1, 23	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
25	24	ancoms 458	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1535   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  dom cdm 5700   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  funimass3  7087  funimass5  7088  funconstss  7089  fssrescdmd  7160  funimassov  7627  fnwelem  8172  cnfcomlem  9768  dfac12lem2  10214  ackbij1b  10307  wunom  10789  phimullem  16826  frmdss2  18898  cntzmhm2  19382  dprd2da  20086  frlmsslsp  21839  1stckgenlem  23582  txcnp  23649  ptcnplem  23650  xkopt  23684  xkoinjcn  23716  tgqtop  23741  uzrest  23926  cnflf2  24032  lmflf  24034  txflf  24035  cnextcn  24096  ghmcnp  24144  ucnima  24311  metcnp  24575  tcphcph  25290  ovolficcss  25523  opnmbllem  25655  ellimc2  25932  ellimc3  25934  deg1n0ima  26148  dvloglem  26708  logf1o2  26710  dchrghm  27318  madebdayim  27944  madefi  27968  oldfi  27969  addsbdaylem  28067  negsproplem2  28079  negsbdaylem  28106  upgrreslem  29339  umgrreslem  29340  xrofsup  32774  eulerpartlemd  34331  erdszelem2  35160  cvmlift3lem7  35293  mclsax  35537  filnetlem4  36347  poimir  37613  opnmbllem0  37616  cnres2  37723  icccncfext  45808  isubgruhgr  47738