Theorem funimass4 6912

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfss2 3933	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵))
2		vex 3450	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	elima 6023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦)
4		eqcom 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
5		ssel 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ dom 𝐹))
6		funbrfvb 6902	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
7	6	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦)))
8	5, 7	syl9 77	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))))
9	8	imp31 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
10	4, 9	bitrid 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑥𝐹𝑦))
11	10	rexbidva 3169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
12	3, 11	bitr4id 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
13	12	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
14		r19.23v 3175	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	13, 14	bitr4di 288	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
16	15	albidv 1923	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
17		ralcom4 3267	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
18		fvex 6860	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
19		eleq1 2820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
20	18, 19	ceqsalv 3482	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
21	20	ralbii 3092	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22	17, 21	bitr3i 276	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
23	16, 22	bitrdi 286	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
24	1, 23	bitrid 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
25	24	ancoms 459	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  dom cdm 5638   “ cima 5641  Fun wfun 6495  ‘cfv 6501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3406  df-v 3448  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-fv 6509

This theorem is referenced by:  funimass3  7009  funimass5  7010  funconstss  7011  funimassov  7536  fnwelem  8068  cnfcomlem  9644  dfac12lem2  10089  ackbij1b  10184  wunom  10665  phimullem  16662  frmdss2  18687  cntzmhm2  19134  dprd2da  19835  frlmsslsp  21239  1stckgenlem  22941  txcnp  23008  ptcnplem  23009  xkopt  23043  xkoinjcn  23075  tgqtop  23100  uzrest  23285  cnflf2  23391  lmflf  23393  txflf  23394  cnextcn  23455  ghmcnp  23503  ucnima  23670  metcnp  23934  tcphcph  24638  ovolficcss  24870  opnmbllem  25002  ellimc2  25278  ellimc3  25280  deg1n0ima  25491  dvloglem  26040  logf1o2  26042  dchrghm  26641  madebdayim  27260  negsproplem2  27370  upgrreslem  28315  umgrreslem  28316  xrofsup  31740  eulerpartlemd  33055  erdszelem2  33873  cvmlift3lem7  34006  mclsax  34250  filnetlem4  34929  poimir  36184  opnmbllem0  36187  cnres2  36295  icccncfext  44248