Theorem funimass4 6892

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
funimass4	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem funimass4

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ss 3915	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵))
2		vex 3441	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
3	2	elima 6018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦)
4		eqcom 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑦)
5		ssel 3924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ dom 𝐹))
6		funbrfvb 6881	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
7	6	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦)))
8	5, 7	syl9 77	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))))
9	8	imp31 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑦))
10	4, 9	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑥𝐹𝑦))
11	10	rexbidva 3155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑥𝐹𝑦))
12	3, 11	bitr4id 290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))
13	12	imbi1d 341	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
14		r19.23v 3160	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
15	13, 14	bitr4di 289	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
16	15	albidv 1921	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵)))
17		ralcom4 3259	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵))
18		fvex 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
19		eleq1 2821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
20	18, 19	ceqsalv 3477	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
21	20	ralbii 3079	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
22	17, 21	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 = (𝐹‘𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
23	16, 22	bitrdi 287	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹 “ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
24	1, 23	bitrid 283	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))
25	24	ancoms 458	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093  dom cdm 5619   “ cima 5622  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-fv 6494

This theorem is referenced by:  funimass3  6993  funimass5  6994  funconstss  6995  fssrescdmd  7065  funimassov  7529  fnwelem  8067  cnfcomlem  9596  dfac12lem2  10043  ackbij1b  10136  wunom  10618  phimullem  16692  frmdss2  18773  cntzmhm2  19256  dprd2da  19958  frlmsslsp  21735  1stckgenlem  23469  txcnp  23536  ptcnplem  23537  xkopt  23571  xkoinjcn  23603  tgqtop  23628  uzrest  23813  cnflf2  23919  lmflf  23921  txflf  23922  cnextcn  23983  ghmcnp  24031  ucnima  24196  metcnp  24457  tcphcph  25165  ovolficcss  25398  opnmbllem  25530  ellimc2  25806  ellimc3  25808  deg1n0ima  26022  dvloglem  26585  logf1o2  26587  dchrghm  27195  madebdayim  27834  madefi  27859  oldfi  27860  addsbdaylem  27960  negsproplem2  27972  negsbdaylem  27999  onscutlt  28202  onsiso  28206  bdayon  28210  upgrreslem  29284  umgrreslem  29285  xrofsup  32754  eulerpartlemd  34400  erdszelem2  35257  cvmlift3lem7  35390  mclsax  35634  filnetlem4  36446  poimir  37713  opnmbllem0  37716  cnres2  37823  icccncfext  46009  isubgruhgr  47992