MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funimass4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funimass4 6973
Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Raph Levien, 20-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
funimass4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem funimass4
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ss 3968 . . 3 ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵))
2 vex 3484 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
32elima 6083 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦)
4 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑦)
5 ssel 3977 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (𝑥𝐴𝑥 ∈ dom 𝐹))
6 funbrfvb 6962 . . . . . . . . . . . . 13 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
76ex 412 . . . . . . . . . . . 12 (Fun 𝐹 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦)))
85, 7syl9 77 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ⊆ dom 𝐹 → (Fun 𝐹 → (𝑥𝐴 → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))))
98imp31 417 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑦𝑥𝐹𝑦))
104, 9bitrid 283 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ 𝑥𝐹𝑦))
1110rexbidva 3177 . . . . . . . 8 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑥𝐹𝑦))
123, 11bitr4id 290 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (𝑦 ∈ (𝐹𝐴) ↔ ∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥)))
1312imbi1d 341 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
14 r19.23v 3183 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ (∃𝑥𝐴 𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵))
1513, 14bitr4di 289 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
1615albidv 1920 . . . 4 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵)))
17 ralcom4 3286 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵))
18 fvex 6919 . . . . . . 7 (𝐹𝑥) ∈ V
19 eleq1 2829 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐹𝑥) → (𝑦𝐵 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2018, 19ceqsalv 3521 . . . . . 6 (∀𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2120ralbii 3093 . . . . 5 (∀𝑥𝐴𝑦(𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2217, 21bitr3i 277 . . . 4 (∀𝑦𝑥𝐴 (𝑦 = (𝐹𝑥) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵)
2316, 22bitrdi 287 . . 3 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → (∀𝑦(𝑦 ∈ (𝐹𝐴) → 𝑦𝐵) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
241, 23bitrid 283 . 2 ((𝐴 ⊆ dom 𝐹 ∧ Fun 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
2524ancoms 458 1 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) ∈ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1538   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951   class class class wbr 5143  dom cdm 5685  cima 5688  Fun wfun 6555  cfv 6561
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-fv 6569
This theorem is referenced by:  funimass3  7074  funimass5  7075  funconstss  7076  fssrescdmd  7146  funimassov  7610  fnwelem  8156  cnfcomlem  9739  dfac12lem2  10185  ackbij1b  10278  wunom  10760  phimullem  16816  frmdss2  18876  cntzmhm2  19360  dprd2da  20062  frlmsslsp  21816  1stckgenlem  23561  txcnp  23628  ptcnplem  23629  xkopt  23663  xkoinjcn  23695  tgqtop  23720  uzrest  23905  cnflf2  24011  lmflf  24013  txflf  24014  cnextcn  24075  ghmcnp  24123  ucnima  24290  metcnp  24554  tcphcph  25271  ovolficcss  25504  opnmbllem  25636  ellimc2  25912  ellimc3  25914  deg1n0ima  26128  dvloglem  26690  logf1o2  26692  dchrghm  27300  madebdayim  27926  madefi  27950  oldfi  27951  addsbdaylem  28049  negsproplem2  28061  negsbdaylem  28088  upgrreslem  29321  umgrreslem  29322  xrofsup  32771  eulerpartlemd  34368  erdszelem2  35197  cvmlift3lem7  35330  mclsax  35574  filnetlem4  36382  poimir  37660  opnmbllem0  37663  cnres2  37770  icccncfext  45902  isubgruhgr  47854
  Copyright terms: Public domain W3C validator