Theorem cnfldfunALTOLDOLD 21393

Description: Obsolete version of cnfldfunALTOLD 21392 as of 10-Nov-2024. The field of complex numbers is a function. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldfunALTOLDOLD	⊢ Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfunALTOLDOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		basendxnplusgndx 17327	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2		basendxnmulrndx 17339	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3		plusgndxnmulrndx 17341	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) ∈ V
6		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) ∈ V
7		cnex 11236	. . . . . . . 8 ⊢ ℂ ∈ V
8		addex 13031	. . . . . . . 8 ⊢ + ∈ V
9		mulex 13033	. . . . . . . 8 ⊢ · ∈ V
10	4, 5, 6, 7, 8, 9	funtp 6623	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
11	1, 2, 3, 10	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (*𝑟‘ndx) ∈ V
13		cjf 15143	. . . . . . . 8 ⊢ ∗:ℂ⟶ℂ
14		fex 7246	. . . . . . . 8 ⊢ ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
15	13, 7, 14	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ ∗ ∈ V
16	12, 15	funsn 6619	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
17	11, 16	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
18	7, 8, 9	dmtpop 6238	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
19	15	dmsnop 6236	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
20	18, 19	ineq12i 4218	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21		basendx 17256	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) = 1
22		1re 11261	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
23		1lt4 12442	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 < 4
24	22, 23	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ≠ 4
25		starvndx 17346	. . . . . . . . 9 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
26	24, 25	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ (*𝑟‘ndx)
27	21, 26	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
28		plusgndx 17323	. . . . . . . 8 ⊢ (+g‘ndx) = 2
29		2re 12340	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
30		2lt4 12441	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 < 4
31	29, 30	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ≠ 4
32	31, 25	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ (*𝑟‘ndx)
33	28, 32	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
34		mulrndx 17337	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘ndx) = 3
35		3re 12346	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℝ
36		3lt4 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 < 4
37	35, 36	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ≠ 4
38	37, 25	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ≠ (*𝑟‘ndx)
39	34, 38	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
40		disjtpsn 4715	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
41	27, 33, 39, 40	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
42	20, 41	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
43		funun 6612	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
44	17, 42, 43	mp2an 692	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
45		tsetndx 17396	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
46		9re 12365	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 ∈ ℝ
47		9lt10 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;10
48	46, 47	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;10
49		plendx 17410	. . . . . . . . 9 ⊢ (le‘ndx) = ;10
50	48, 49	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (le‘ndx)
51	45, 50	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
52		1nn 12277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ
53		2nn0 12543	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
54		9nn0 12550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ∈ ℕ0
55	46	leidi 11797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 9 ≤ 9
56	52, 53, 54, 55	decltdi 12772	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;12
57	46, 56	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;12
58		dsndx 17429	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
59	57, 58	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (dist‘ndx)
60	45, 59	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
61		10re 12752	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 ∈ ℝ
62		1nn0 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℕ0
63		0nn0 12541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℕ0
64		2nn 12339	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ
65		2pos 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
66	62, 63, 64, 65	declt 12761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;12
67	61, 66	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ ;12
68	67, 58	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ (dist‘ndx)
69	49, 68	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
70		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (TopSet‘ndx) ∈ V
71		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘ndx) ∈ V
72		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (dist‘ndx) ∈ V
73		fvex 6919	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
74		letsr 18638	. . . . . . . . 9 ⊢ ≤ ∈ TosetRel
75	74	elexi 3503	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ ∈ V
76		absf 15376	. . . . . . . . . 10 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
77		fex 7246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
78	76, 7, 77	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ abs ∈ V
79		subf 11510	. . . . . . . . . 10 ⊢ − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
80	7, 7	xpex 7773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℂ × ℂ) ∈ V
81		fex 7246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
82	79, 80, 81	mp2an 692	. . . . . . . . 9 ⊢ − ∈ V
83	78, 82	coex 7952	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ V
84	70, 71, 72, 73, 75, 83	funtp 6623	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
85	51, 60, 69, 84	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
86		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (UnifSet‘ndx) ∈ V
87		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
88	86, 87	funsn 6619	. . . . . 6 ⊢ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
89	85, 88	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
90	73, 75, 83	dmtpop 6238	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
91	87	dmsnop 6236	. . . . . . 7 ⊢ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
92	90, 91	ineq12i 4218	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
93		3nn0 12544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ0
94	52, 93, 54, 55	decltdi 12772	. . . . . . . . . 10 ⊢ 9 < ;13
95	46, 94	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 ≠ ;13
96		unifndx 17439	. . . . . . . . 9 ⊢ (UnifSet‘ndx) = ;13
97	95, 96	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ 9 ≠ (UnifSet‘ndx)
98	45, 97	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
99		3nn 12345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℕ
100		3pos 12371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 3
101	62, 63, 99, 100	declt 12761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;10 < ;13
102	61, 101	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ ;10 ≠ ;13
103	102, 96	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ ;10 ≠ (UnifSet‘ndx)
104	49, 103	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
105	62, 53	deccl 12748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
106	105	nn0rei 12537	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℝ
107		2lt3 12438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 < 3
108	62, 53, 99, 107	declt 12761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 < ;13
109	106, 108	ltneii 11374	. . . . . . . . 9 ⊢ ;12 ≠ ;13
110	109, 96	neeqtrri 3014	. . . . . . . 8 ⊢ ;12 ≠ (UnifSet‘ndx)
111	58, 110	eqnetri 3011	. . . . . . 7 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
112		disjtpsn 4715	. . . . . . 7 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
113	98, 104, 111, 112	mp3an 1463	. . . . . 6 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
114	92, 113	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115		funun 6612	. . . . 5 ⊢ (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
116	89, 114, 115	mp2an 692	. . . 4 ⊢ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
117	44, 116	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
118		dmun 5921	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
119		dmun 5921	. . . . 5 ⊢ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
120	118, 119	ineq12i 4218	. . . 4 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
121	18, 90	ineq12i 4218	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
122		1lt9 12472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < 9
123	22, 122	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ 9
124	123, 45	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (TopSet‘ndx)
125	21, 124	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
126		2lt9 12471	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < 9
127	29, 126	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ 9
128	127, 45	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (TopSet‘ndx)
129	28, 128	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
130		3lt9 12470	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < 9
131	35, 130	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 9
132	131, 45	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (TopSet‘ndx)
133	34, 132	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
134	125, 129, 133	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
135		1lt10 12872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < ;10
136	22, 135	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ ;10
137	136, 49	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (le‘ndx)
138	21, 137	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
139		2lt10 12871	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < ;10
140	29, 139	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ ;10
141	140, 49	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (le‘ndx)
142	28, 141	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
143		3lt10 12870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;10
144	35, 143	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ ;10
145	144, 49	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (le‘ndx)
146	34, 145	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
147	138, 142, 146	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
148	22, 46, 122	ltleii 11384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ≤ 9
149	52, 53, 62, 148	decltdi 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 < ;12
150	22, 149	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ≠ ;12
151	150, 58	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ (dist‘ndx)
152	21, 151	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
153	29, 46, 126	ltleii 11384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 ≤ 9
154	52, 53, 53, 153	decltdi 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 < ;12
155	29, 154	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ≠ ;12
156	155, 58	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ (dist‘ndx)
157	28, 156	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
158	35, 46, 130	ltleii 11384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 3 ≤ 9
159	52, 53, 93, 158	decltdi 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 3 < ;12
160	35, 159	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ ;12
161	160, 58	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ (dist‘ndx)
162	34, 161	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
163	152, 157, 162	3pm3.2i 1340	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
164		disjtp2 4716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
165	134, 147, 163, 164	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
166	121, 165	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
167	18, 91	ineq12i 4218	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
168	52, 93, 62, 148	decltdi 12772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 < ;13
169	22, 168	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ≠ ;13
170	169, 96	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ (UnifSet‘ndx)
171	21, 170	eqnetri 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
172	52, 93, 53, 153	decltdi 12772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 < ;13
173	29, 172	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ ;13
174	173, 96	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ (UnifSet‘ndx)
175	28, 174	eqnetri 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
176	52, 93, 93, 158	decltdi 12772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 < ;13
177	35, 176	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ≠ ;13
178	177, 96	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ (UnifSet‘ndx)
179	34, 178	eqnetri 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
180		disjtpsn 4715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
181	171, 175, 179, 180	mp3an 1463	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
182	167, 181	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
183	166, 182	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
184		undisj2 4463	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
185	183, 184	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
186	19, 90	ineq12i 4218	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
187		incom 4209	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
188		4re 12350	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 ∈ ℝ
189		4lt9 12469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < 9
190	188, 189	gtneii 11373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 9 ≠ 4
191	190, 25	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 9 ≠ (*𝑟‘ndx)
192	45, 191	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
193		4lt10 12869	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < ;10
194	188, 193	gtneii 11373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;10 ≠ 4
195	194, 25	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;10 ≠ (*𝑟‘ndx)
196	49, 195	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
197		4nn0 12545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ0
198	188, 46, 189	ltleii 11384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ≤ 9
199	52, 53, 197, 198	decltdi 12772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 4 < ;12
200	188, 199	gtneii 11373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;12 ≠ 4
201	200, 25	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;12 ≠ (*𝑟‘ndx)
202	58, 201	eqnetri 3011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
203		disjtpsn 4715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
204	192, 196, 202, 203	mp3an 1463	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
205	187, 204	eqtri 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
206	186, 205	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
207	19, 91	ineq12i 4218	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
208	52, 93, 197, 198	decltdi 12772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 < ;13
209	188, 208	ltneii 11374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ≠ ;13
210	209, 96	neeqtrri 3014	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ≠ (UnifSet‘ndx)
211	25, 210	eqnetri 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
212		disjsn2 4712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
213	211, 212	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
214	207, 213	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
215	206, 214	pm3.2i 470	. . . . . . 7 ⊢ ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
216		undisj2 4463	. . . . . . 7 ⊢ (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
217	215, 216	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
218	185, 217	pm3.2i 470	. . . . 5 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
219		undisj1 4462	. . . . 5 ⊢ (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
220	218, 219	mpbi 230	. . . 4 ⊢ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
221	120, 220	eqtri 2765	. . 3 ⊢ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
222		funun 6612	. . 3 ⊢ (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
223	117, 221, 222	mp2an 692	. 2 ⊢ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
224		dfcnfldOLD 21380	. . 3 ⊢ ℂfld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
225	224	funeqi 6587	. 2 ⊢ (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
226	223, 225	mpbir 231	1 ⊢ Fun ℂfld

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ∩ cin 3950  ∅c0 4333  {csn 4626  {ctp 4630  ⟨cop 4632   × cxp 5683  dom cdm 5685   ∘ ccom 5689  Fun wfun 6555  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   ≤ cle 11296   − cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  9c9 12328  ;cdc 12733  ∗ccj 15135  abscabs 15273  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  *_𝑟cstv 17299  TopSetcts 17303  lecple 17304  distcds 17306  UnifSetcunif 17307   TosetRel ctsr 18610  MetOpencmopn 21354  metUnifcmetu 21355  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-cnfld 21365

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