MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldfunALTOLDOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnfldfunALTOLDOLD 21393
Description: Obsolete version of cnfldfunALTOLD 21392 as of 10-Nov-2024. The field of complex numbers is a function. (Contributed by AV, 14-Nov-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnfldfunALTOLDOLD Fun ℂfld

Proof of Theorem cnfldfunALTOLDOLD
StepHypRef Expression
1 basendxnplusgndx 17327 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
2 basendxnmulrndx 17339 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
3 plusgndxnmulrndx 17341 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4 fvex 6919 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) ∈ V
5 fvex 6919 . . . . . . . 8 (+g‘ndx) ∈ V
6 fvex 6919 . . . . . . . 8 (.r‘ndx) ∈ V
7 cnex 11236 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
8 addex 13031 . . . . . . . 8 + ∈ V
9 mulex 13033 . . . . . . . 8 · ∈ V
104, 5, 6, 7, 8, 9funtp 6623 . . . . . . 7 (((Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)) → Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
111, 2, 3, 10mp3an 1463 . . . . . 6 Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
12 fvex 6919 . . . . . . 7 (*𝑟‘ndx) ∈ V
13 cjf 15143 . . . . . . . 8 ∗:ℂ⟶ℂ
14 fex 7246 . . . . . . . 8 ((∗:ℂ⟶ℂ ∧ ℂ ∈ V) → ∗ ∈ V)
1513, 7, 14mp2an 692 . . . . . . 7 ∗ ∈ V
1612, 15funsn 6619 . . . . . 6 Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}
1711, 16pm3.2i 470 . . . . 5 (Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
187, 8, 9dmtpop 6238 . . . . . . 7 dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} = {(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)}
1915dmsnop 6236 . . . . . . 7 dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} = {(*𝑟‘ndx)}
2018, 19ineq12i 4218 . . . . . 6 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
21 basendx 17256 . . . . . . . 8 (Base‘ndx) = 1
22 1re 11261 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
23 1lt4 12442 . . . . . . . . . 10 1 < 4
2422, 23ltneii 11374 . . . . . . . . 9 1 ≠ 4
25 starvndx 17346 . . . . . . . . 9 (*𝑟‘ndx) = 4
2624, 25neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 1 ≠ (*𝑟‘ndx)
2721, 26eqnetri 3011 . . . . . . 7 (Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
28 plusgndx 17323 . . . . . . . 8 (+g‘ndx) = 2
29 2re 12340 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
30 2lt4 12441 . . . . . . . . . 10 2 < 4
3129, 30ltneii 11374 . . . . . . . . 9 2 ≠ 4
3231, 25neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 2 ≠ (*𝑟‘ndx)
3328, 32eqnetri 3011 . . . . . . 7 (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
34 mulrndx 17337 . . . . . . . 8 (.r‘ndx) = 3
35 3re 12346 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
36 3lt4 12440 . . . . . . . . . 10 3 < 4
3735, 36ltneii 11374 . . . . . . . . 9 3 ≠ 4
3837, 25neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 3 ≠ (*𝑟‘ndx)
3934, 38eqnetri 3011 . . . . . . 7 (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
40 disjtpsn 4715 . . . . . . 7 (((Base‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
4127, 33, 39, 40mp3an 1463 . . . . . 6 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
4220, 41eqtri 2765 . . . . 5 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅
43 funun 6612 . . . . 5 (((Fun {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∧ Fun {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}))
4417, 42, 43mp2an 692 . . . 4 Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
45 tsetndx 17396 . . . . . . . 8 (TopSet‘ndx) = 9
46 9re 12365 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℝ
47 9lt10 12864 . . . . . . . . . 10 9 < 10
4846, 47ltneii 11374 . . . . . . . . 9 9 ≠ 10
49 plendx 17410 . . . . . . . . 9 (le‘ndx) = 10
5048, 49neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 9 ≠ (le‘ndx)
5145, 50eqnetri 3011 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
52 1nn 12277 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
53 2nn0 12543 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ0
54 9nn0 12550 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℕ0
5546leidi 11797 . . . . . . . . . . 11 9 ≤ 9
5652, 53, 54, 55decltdi 12772 . . . . . . . . . 10 9 < 12
5746, 56ltneii 11374 . . . . . . . . 9 9 ≠ 12
58 dsndx 17429 . . . . . . . . 9 (dist‘ndx) = 12
5957, 58neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 9 ≠ (dist‘ndx)
6045, 59eqnetri 3011 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
61 10re 12752 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℝ
62 1nn0 12542 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
63 0nn0 12541 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
64 2nn 12339 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
65 2pos 12369 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
6662, 63, 64, 65declt 12761 . . . . . . . . . 10 10 < 12
6761, 66ltneii 11374 . . . . . . . . 9 10 ≠ 12
6867, 58neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 10 ≠ (dist‘ndx)
6949, 68eqnetri 3011 . . . . . . 7 (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
70 fvex 6919 . . . . . . . 8 (TopSet‘ndx) ∈ V
71 fvex 6919 . . . . . . . 8 (le‘ndx) ∈ V
72 fvex 6919 . . . . . . . 8 (dist‘ndx) ∈ V
73 fvex 6919 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ V
74 letsr 18638 . . . . . . . . 9 ≤ ∈ TosetRel
7574elexi 3503 . . . . . . . 8 ≤ ∈ V
76 absf 15376 . . . . . . . . . 10 abs:ℂ⟶ℝ
77 fex 7246 . . . . . . . . . 10 ((abs:ℂ⟶ℝ ∧ ℂ ∈ V) → abs ∈ V)
7876, 7, 77mp2an 692 . . . . . . . . 9 abs ∈ V
79 subf 11510 . . . . . . . . . 10 − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
807, 7xpex 7773 . . . . . . . . . 10 (ℂ × ℂ) ∈ V
81 fex 7246 . . . . . . . . . 10 (( − :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ (ℂ × ℂ) ∈ V) → − ∈ V)
8279, 80, 81mp2an 692 . . . . . . . . 9 − ∈ V
8378, 82coex 7952 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ V
8470, 71, 72, 73, 75, 83funtp 6623 . . . . . . 7 (((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (dist‘ndx)) → Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩})
8551, 60, 69, 84mp3an 1463 . . . . . 6 Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}
86 fvex 6919 . . . . . . 7 (UnifSet‘ndx) ∈ V
87 fvex 6919 . . . . . . 7 (metUnif‘(abs ∘ − )) ∈ V
8886, 87funsn 6619 . . . . . 6 Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}
8985, 88pm3.2i 470 . . . . 5 (Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
9073, 75, 83dmtpop 6238 . . . . . . 7 dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} = {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}
9187dmsnop 6236 . . . . . . 7 dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩} = {(UnifSet‘ndx)}
9290, 91ineq12i 4218 . . . . . 6 (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
93 3nn0 12544 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
9452, 93, 54, 55decltdi 12772 . . . . . . . . . 10 9 < 13
9546, 94ltneii 11374 . . . . . . . . 9 9 ≠ 13
96 unifndx 17439 . . . . . . . . 9 (UnifSet‘ndx) = 13
9795, 96neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 9 ≠ (UnifSet‘ndx)
9845, 97eqnetri 3011 . . . . . . 7 (TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
99 3nn 12345 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ
100 3pos 12371 . . . . . . . . . . 11 0 < 3
10162, 63, 99, 100declt 12761 . . . . . . . . . 10 10 < 13
10261, 101ltneii 11374 . . . . . . . . 9 10 ≠ 13
103102, 96neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 10 ≠ (UnifSet‘ndx)
10449, 103eqnetri 3011 . . . . . . 7 (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
10562, 53deccl 12748 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ0
106105nn0rei 12537 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℝ
107 2lt3 12438 . . . . . . . . . . 11 2 < 3
10862, 53, 99, 107declt 12761 . . . . . . . . . 10 12 < 13
109106, 108ltneii 11374 . . . . . . . . 9 12 ≠ 13
110109, 96neeqtrri 3014 . . . . . . . 8 12 ≠ (UnifSet‘ndx)
11158, 110eqnetri 3011 . . . . . . 7 (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
112 disjtpsn 4715 . . . . . . 7 (((TopSet‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
11398, 104, 111, 112mp3an 1463 . . . . . 6 ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
11492, 113eqtri 2765 . . . . 5 (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
115 funun 6612 . . . . 5 (((Fun {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∧ Fun {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) ∧ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) → Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
11689, 114, 115mp2an 692 . . . 4 Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
11744, 116pm3.2i 470 . . 3 (Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
118 dmun 5921 . . . . 5 dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) = (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩})
119 dmun 5921 . . . . 5 dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})
120118, 119ineq12i 4218 . . . 4 (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
12118, 90ineq12i 4218 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
122 1lt9 12472 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 9
12322, 122ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 9
124123, 45neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (TopSet‘ndx)
12521, 124eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
126 2lt9 12471 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 9
12729, 126ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 9
128127, 45neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (TopSet‘ndx)
12928, 128eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
130 3lt9 12470 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 9
13135, 130ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 9
132131, 45neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (TopSet‘ndx)
13334, 132eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
134125, 129, 1333pm3.2i 1340 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx))
135 1lt10 12872 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 10
13622, 135ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 10
137136, 49neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (le‘ndx)
13821, 137eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (le‘ndx)
139 2lt10 12871 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 10
14029, 139ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 10
141140, 49neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (le‘ndx)
14228, 141eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx)
143 3lt10 12870 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 10
14435, 143ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 10
145144, 49neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (le‘ndx)
14634, 145eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)
147138, 142, 1463pm3.2i 1340 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx))
14822, 46, 122ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ≤ 9
14952, 53, 62, 148decltdi 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 1 < 12
15022, 149ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 1 ≠ 12
151150, 58neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ (dist‘ndx)
15221, 151eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
15329, 46, 126ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ≤ 9
15452, 53, 53, 153decltdi 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 2 < 12
15529, 154ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 2 ≠ 12
156155, 58neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ (dist‘ndx)
15728, 156eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
15835, 46, 130ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15 3 ≤ 9
15952, 53, 93, 158decltdi 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 3 < 12
16035, 159ltneii 11374 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 12
161160, 58neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ (dist‘ndx)
16234, 161eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx)
163152, 157, 1623pm3.2i 1340 . . . . . . . . . 10 ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))
164 disjtp2 4716 . . . . . . . . . 10 ((((Base‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (le‘ndx)) ∧ ((Base‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (dist‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (dist‘ndx))) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅)
165134, 147, 163, 164mp3an 1463 . . . . . . . . 9 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
166121, 165eqtri 2765 . . . . . . . 8 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
16718, 91ineq12i 4218 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
16852, 93, 62, 148decltdi 12772 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 13
16922, 168ltneii 11374 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 13
170169, 96neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ (UnifSet‘ndx)
17121, 170eqnetri 3011 . . . . . . . . . 10 (Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
17252, 93, 53, 153decltdi 12772 . . . . . . . . . . . . 13 2 < 13
17329, 172ltneii 11374 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 13
174173, 96neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ (UnifSet‘ndx)
17528, 174eqnetri 3011 . . . . . . . . . 10 (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
17652, 93, 93, 158decltdi 12772 . . . . . . . . . . . . 13 3 < 13
17735, 176ltneii 11374 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 13
178177, 96neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ (UnifSet‘ndx)
17934, 178eqnetri 3011 . . . . . . . . . 10 (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
180 disjtpsn 4715 . . . . . . . . . 10 (((Base‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)) → ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
181171, 175, 179, 180mp3an 1463 . . . . . . . . 9 ({(Base‘ndx), (+g‘ndx), (.r‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
182167, 181eqtri 2765 . . . . . . . 8 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
183166, 182pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
184 undisj2 4463 . . . . . . 7 (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
185183, 184mpbi 230 . . . . . 6 (dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
18619, 90ineq12i 4218 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)})
187 incom 4209 . . . . . . . . . 10 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)})
188 4re 12350 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℝ
189 4lt9 12469 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 9
190188, 189gtneii 11373 . . . . . . . . . . . . 13 9 ≠ 4
191190, 25neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 9 ≠ (*𝑟‘ndx)
19245, 191eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
193 4lt10 12869 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 10
194188, 193gtneii 11373 . . . . . . . . . . . . 13 10 ≠ 4
195194, 25neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 10 ≠ (*𝑟‘ndx)
19649, 195eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
197 4nn0 12545 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℕ0
198188, 46, 189ltleii 11384 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ≤ 9
19952, 53, 197, 198decltdi 12772 . . . . . . . . . . . . . 14 4 < 12
200188, 199gtneii 11373 . . . . . . . . . . . . 13 12 ≠ 4
201200, 25neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . . 12 12 ≠ (*𝑟‘ndx)
20258, 201eqnetri 3011 . . . . . . . . . . 11 (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)
203 disjtpsn 4715 . . . . . . . . . . 11 (((TopSet‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (le‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (*𝑟‘ndx)) → ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅)
204192, 196, 202, 203mp3an 1463 . . . . . . . . . 10 ({(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)} ∩ {(*𝑟‘ndx)}) = ∅
205187, 204eqtri 2765 . . . . . . . . 9 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(TopSet‘ndx), (le‘ndx), (dist‘ndx)}) = ∅
206186, 205eqtri 2765 . . . . . . . 8 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅
20719, 91ineq12i 4218 . . . . . . . . 9 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)})
20852, 93, 197, 198decltdi 12772 . . . . . . . . . . . . 13 4 < 13
209188, 208ltneii 11374 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 13
210209, 96neeqtrri 3014 . . . . . . . . . . 11 4 ≠ (UnifSet‘ndx)
21125, 210eqnetri 3011 . . . . . . . . . 10 (*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx)
212 disjsn2 4712 . . . . . . . . . 10 ((*𝑟‘ndx) ≠ (UnifSet‘ndx) → ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅)
213211, 212ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ({(*𝑟‘ndx)} ∩ {(UnifSet‘ndx)}) = ∅
214207, 213eqtri 2765 . . . . . . . 8 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅
215206, 214pm3.2i 470 . . . . . . 7 ((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅)
216 undisj2 4463 . . . . . . 7 (((dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩}) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}) = ∅) ↔ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
217215, 216mpbi 230 . . . . . 6 (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
218185, 217pm3.2i 470 . . . . 5 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
219 undisj1 4462 . . . . 5 (((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅ ∧ (dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩} ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) ↔ ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅)
220218, 219mpbi 230 . . . 4 ((dom {⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ dom {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ (dom {⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ dom {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
221120, 220eqtri 2765 . . 3 (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅
222 funun 6612 . . 3 (((Fun ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∧ Fun ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) ∧ (dom ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∩ dom ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})) = ∅) → Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
223117, 221, 222mp2an 692 . 2 Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
224 dfcnfldOLD 21380 . . 3 fld = (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩}))
225224funeqi 6587 . 2 (Fun ℂfld ↔ Fun (({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ∗⟩}) ∪ ({⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(abs ∘ − ))⟩, ⟨(le‘ndx), ≤ ⟩, ⟨(dist‘ndx), (abs ∘ − )⟩} ∪ {⟨(UnifSet‘ndx), (metUnif‘(abs ∘ − ))⟩})))
226223, 225mpbir 231 1 Fun ℂfld
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cun 3949  cin 3950  c0 4333  {csn 4626  {ctp 4630  cop 4632   × cxp 5683  dom cdm 5685  ccom 5689  Fun wfun 6555  wf 6557  cfv 6561  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cle 11296  cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  9c9 12328  cdc 12733  ccj 15135  abscabs 15273  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  .rcmulr 17298  *𝑟cstv 17299  TopSetcts 17303  lecple 17304  distcds 17306  UnifSetcunif 17307   TosetRel ctsr 18610  MetOpencmopn 21354  metUnifcmetu 21355  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-ps 18611  df-tsr 18612  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator