Theorem fvconstrn0 48987

Description: Two ways of expressing 𝐴𝑅𝐵. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvconstr.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
fvconstr.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
fvconstr.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fvconstrn0	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))

Proof of Theorem fvconstrn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5094	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		fvconstr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
3	2	oveqd 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵))
4		df-ov 7355	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	3, 4	eqtrdi 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7		fvconstr.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		fvconst2g 7142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
9	7, 8	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
10	6, 9	eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑌)
11		fvconstr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
12	11	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → 𝑌 ≠ ∅)
13	10, 12	eqnetrd 2996	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
14	5	neeq1d 2988	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅ ↔ ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅))
15	14	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅)
16		dmxpss 6123	. . . . 5 ⊢ dom (𝑅 × {𝑌}) ⊆ 𝑅
17		ndmfv 6860	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
18	17	necon1ai 2956	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}))
19	16, 18	sselid 3928	. . . 4 ⊢ (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
20	15, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
21	13, 20	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))
22	1, 21	bitrid 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∅c0 4282  {csn 4575  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   × cxp 5617  dom cdm 5619  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7355

This theorem is referenced by:  prstchom  49687  prstchom2ALT  49689