Theorem fvconstrn0 46195

Description: Two ways of expressing 𝐴𝑅𝐵. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvconstr.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
fvconstr.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
fvconstr.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
fvconstrn0	⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))

Proof of Theorem fvconstrn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 5076	. 2 ⊢ (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2		fvconstr.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
3	2	oveqd 7301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵))
4		df-ov 7287	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	3, 4	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
6	5	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7		fvconstr.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
8		fvconst2g 7086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
9	7, 8	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
10	6, 9	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑌)
11		fvconstr.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
12	11	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → 𝑌 ≠ ∅)
13	10, 12	eqnetrd 3012	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
14	5	neeq1d 3004	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅ ↔ ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅))
15	14	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅)
16		dmxpss 6079	. . . . 5 ⊢ dom (𝑅 × {𝑌}) ⊆ 𝑅
17		ndmfv 6813	. . . . . 6 ⊢ (¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
18	17	necon1ai 2972	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}))
19	16, 18	sselid 3920	. . . 4 ⊢ (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
20	15, 19	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
21	13, 20	impbida 798	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))
22	1, 21	syl5bb 283	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ∅c0 4257  {csn 4562  ⟨cop 4568   class class class wbr 5075   × cxp 5588  dom cdm 5590  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pr 5353

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rab 3074  df-v 3435  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-fv 6445  df-ov 7287

This theorem is referenced by:  prstchom  46369  prstchom2ALT  46371