Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvconstrn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvconstrn0 48687
Description: Two ways of expressing 𝐴𝑅𝐵. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fvconstr.1 (𝜑𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
fvconstr.2 (𝜑𝑌𝑉)
fvconstr.3 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fvconstrn0 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))

Proof of Theorem fvconstrn0
StepHypRef Expression
1 df-br 5149 . 2 (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2 fvconstr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
32oveqd 7448 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵))
4 df-ov 7434 . . . . . . 7 (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
53, 4eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
65adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7 fvconstr.2 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
8 fvconst2g 7222 . . . . . 6 ((𝑌𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
97, 8sylan 580 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
106, 9eqtrd 2775 . . . 4 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑌)
11 fvconstr.3 . . . . 5 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
1211adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → 𝑌 ≠ ∅)
1310, 12eqnetrd 3006 . . 3 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
145neeq1d 2998 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅ ↔ ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅))
1514biimpa 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅)
16 dmxpss 6193 . . . . 5 dom (𝑅 × {𝑌}) ⊆ 𝑅
17 ndmfv 6942 . . . . . 6 (¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
1817necon1ai 2966 . . . . 5 (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}))
1916, 18sselid 3993 . . . 4 (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2015, 19syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2113, 20impbida 801 . 2 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))
221, 21bitrid 283 1 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  c0 4339  {csn 4631  cop 4637   class class class wbr 5148   × cxp 5687  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434
This theorem is referenced by:  prstchom  48878  prstchom2ALT  48880
  Copyright terms: Public domain W3C validator