Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvconstrn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvconstrn0 45754
Description: Two ways of expressing 𝐴𝑅𝐵. (Contributed by Zhi Wang, 20-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
fvconstr.1 (𝜑𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
fvconstr.2 (𝜑𝑌𝑉)
fvconstr.3 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
fvconstrn0 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))

Proof of Theorem fvconstrn0
StepHypRef Expression
1 df-br 5041 . 2 (𝐴𝑅𝐵 ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2 fvconstr.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 = (𝑅 × {𝑌}))
32oveqd 7199 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵))
4 df-ov 7185 . . . . . . 7 (𝐴(𝑅 × {𝑌})𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
53, 4eqtrdi 2790 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
65adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
7 fvconstr.2 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
8 fvconst2g 6986 . . . . . 6 ((𝑌𝑉 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
97, 8sylan 583 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝑌)
106, 9eqtrd 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑌)
11 fvconstr.3 . . . . 5 (𝜑𝑌 ≠ ∅)
1211adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → 𝑌 ≠ ∅)
1310, 12eqnetrd 3002 . . 3 ((𝜑 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅) → (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅)
145neeq1d 2994 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅ ↔ ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅))
1514biimpa 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅)
16 dmxpss 6013 . . . . 5 dom (𝑅 × {𝑌}) ⊆ 𝑅
17 ndmfv 6716 . . . . . 6 (¬ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}) → ((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
1817necon1ai 2962 . . . . 5 (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom (𝑅 × {𝑌}))
1916, 18sseldi 3885 . . . 4 (((𝑅 × {𝑌})‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ≠ ∅ → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2015, 19syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅)
2113, 20impbida 801 . 2 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ 𝑅 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))
221, 21syl5bb 286 1 (𝜑 → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (𝐴𝐹𝐵) ≠ ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  c0 4221  {csn 4526  cop 4532   class class class wbr 5040   × cxp 5533  dom cdm 5535  cfv 6349  (class class class)co 7182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-v 3402  df-sbc 3686  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-ov 7185
This theorem is referenced by:  prstchom  45862  prstchom2ALT  45864
  Copyright terms: Public domain W3C validator