Theorem fvmap 45192

Description: Function value for a member of a set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fvmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fvmap.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))
fvmap.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmap	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		fvmap.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		fvmap.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))
4		fvmap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fvmap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		elmapg 8812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
8	3, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	8	ffvelcdmda 7056	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-map 8801

This theorem is referenced by:  ssmapsn  45210  hoidmvle  46598