Theorem fvmap 45739

Description: Function value for a member of a set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fvmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fvmap.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))
fvmap.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmap	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		fvmap.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		fvmap.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))
4		fvmap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fvmap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		elmapg 8816	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
7	4, 5, 6	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
8	3, 7	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	8	ffvelcdmda 7061	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 9	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392   ↑_m cmap 8803

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-map 8805

This theorem is referenced by:  ssmapsn  45756  hoidmvle  47138