Theorem fvmap 45234

Description: Function value for a member of a set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fvmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fvmap.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))
fvmap.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmap	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		fvmap.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		fvmap.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))
4		fvmap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fvmap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		elmapg 8763	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
7	4, 5, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
8	3, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	8	ffvelcdmda 7017	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 9	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2111  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752

This theorem is referenced by:  ssmapsn  45252  hoidmvle  46637