Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmap 42718
Description: Function value for a member of a set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmap.a (𝜑𝐴𝑉)
fvmap.b (𝜑𝐵𝑊)
fvmap.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵))
fvmap.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
fvmap (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fvmap
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
2 fvmap.c . 2 (𝜑𝐶𝐵)
3 fvmap.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵))
4 fvmap.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
5 fvmap.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
6 elmapg 8615 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
74, 5, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
83, 7mpbid 231 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
98ffvelrnda 6953 . 2 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
101, 2, 9syl2anc 584 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2106  wf 6422  cfv 6426  (class class class)co 7267  m cmap 8602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5221  ax-nul 5228  ax-pow 5286  ax-pr 5350  ax-un 7578
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3431  df-sbc 3716  df-dif 3889  df-un 3891  df-in 3893  df-ss 3903  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5074  df-opab 5136  df-id 5484  df-xp 5590  df-rel 5591  df-cnv 5592  df-co 5593  df-dm 5594  df-rn 5595  df-iota 6384  df-fun 6428  df-fn 6429  df-f 6430  df-fv 6434  df-ov 7270  df-oprab 7271  df-mpo 7272  df-map 8604
This theorem is referenced by:  ssmapsn  42737  hoidmvle  44119
  Copyright terms: Public domain W3C validator