Theorem fvmap 45627

Description: Function value for a member of a set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvmap.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fvmap.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
fvmap.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))
fvmap.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fvmap	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fvmap

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝜑)
2		fvmap.c	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
3		fvmap.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵))
4		fvmap.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		fvmap.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
6		elmapg 8786	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
7	4, 5, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵⟶𝐴))
8	3, 7	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶𝐴)
9	8	ffvelcdmda 7036	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)
10	1, 2, 9	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-map 8775

This theorem is referenced by:  ssmapsn  45645  hoidmvle  47028