Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fvmap Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvmap 44442
Description: Function value for a member of a set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
fvmap.a (𝜑𝐴𝑉)
fvmap.b (𝜑𝐵𝑊)
fvmap.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵))
fvmap.c (𝜑𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
fvmap (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem fvmap
StepHypRef Expression
1 id 22 . 2 (𝜑𝜑)
2 fvmap.c . 2 (𝜑𝐶𝐵)
3 fvmap.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵))
4 fvmap.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
5 fvmap.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
6 elmapg 8830 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
74, 5, 6syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐹:𝐵𝐴))
83, 7mpbid 231 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵𝐴)
98ffvelcdmda 7077 . 2 ((𝜑𝐶𝐵) → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
101, 2, 9syl2anc 583 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wcel 2098  wf 6530  cfv 6534  (class class class)co 7402  m cmap 8817
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819
This theorem is referenced by:  ssmapsn  44460  hoidmvle  45861
  Copyright terms: Public domain W3C validator