Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidmvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidmvle 45888
Description: The dimensional volume of a n-dimensional half-open interval is less than or equal the generalized sum of the dimensional volumes of countable half-open intervals that cover it. Lemma 115B of [Fremlin1] p. 29. (Contributed by Glauco Siliprandi, 21-Nov-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidmvle.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidmvle.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidmvle.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvle.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
hoidmvle.c (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
hoidmvle.d (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
hoidmvle.s (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
Assertion
Ref Expression
hoidmvle (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐡,𝑏,π‘˜   𝐢,𝑗,π‘˜   𝐷,𝑗,π‘˜   𝐿,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘₯   𝑋,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘˜,π‘₯   πœ‘,π‘Ž,𝑏,𝑗,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐴(π‘₯,𝑗)   𝐡(π‘₯,𝑗,π‘Ž)   𝐢(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝐷(π‘₯,π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘˜)

Proof of Theorem hoidmvle
Dummy variables 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 β„Ž 𝑖 𝑙 π‘œ 𝑒 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoidmvle.s . 2 (πœ‘ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
2 hoidmvle.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
3 ovex 7438 . . . . . . 7 (ℝ ↑m 𝑋) ∈ V
4 nnex 12222 . . . . . . 7 β„• ∈ V
53, 4pm3.2i 470 . . . . . 6 ((ℝ ↑m 𝑋) ∈ V ∧ β„• ∈ V)
65a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((ℝ ↑m 𝑋) ∈ V ∧ β„• ∈ V))
7 elmapg 8835 . . . . 5 (((ℝ ↑m 𝑋) ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ (𝐷 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↔ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↔ 𝐷:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
92, 8mpbird 257 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•))
10 hoidmvle.c . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋))
11 elmapg 8835 . . . . . 6 (((ℝ ↑m 𝑋) ∈ V ∧ β„• ∈ V) β†’ (𝐢 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↔ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
126, 11syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•) ↔ 𝐢:β„•βŸΆ(ℝ ↑m 𝑋)))
1310, 12mpbird 257 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•))
14 hoidmvle.b . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
15 reex 11203 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
17 hoidmvle.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
1816, 17jca 511 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin))
19 elmapg 8835 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„))
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„))
2114, 20mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
22 hoidmvle.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
23 elmapg 8835 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ V ∧ 𝑋 ∈ Fin) β†’ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„))
2418, 23syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↔ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„))
2522, 24mpbird 257 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋))
26 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ (ℝ ↑m π‘₯) = (ℝ ↑m βˆ…))
2726eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↔ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)))
2826eleq2d 2813 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↔ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)))
2926oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) = ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•))
3029eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) ↔ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)))
3129eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) ↔ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)))
32 ixpeq1 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
33 ixpeq1 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
3433iuneq2d 5019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
3532, 34sseq12d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
36 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜βˆ…))
3736oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) = (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏))
3836oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)) = ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))
3938mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = βˆ… β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))
4039fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))
4137, 40breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))
4235, 41imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
4331, 42imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) β†’ (Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
4443ralbidv2 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
4530, 44imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
4645ralbidv2 3167 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
4728, 46imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
4847ralbidv2 3167 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m βˆ…)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
4927, 48imbi12d 344 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m βˆ…)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
5049ralbidv2 3167 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m βˆ…)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
51 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (ℝ ↑m π‘₯) = (ℝ ↑m 𝑦))
5251eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↔ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦)))
5351eleq2d 2813 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↔ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑦)))
5451oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) = ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•))
5554eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) ↔ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)))
5654eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) ↔ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)))
57 ixpeq1 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
58 ixpeq1 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
5958iuneq2d 5019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
6057, 59sseq12d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
61 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜π‘¦))
6261oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) = (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏))
6361oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)) = ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))
6463mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))
6564fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))
6662, 65breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))))
6760, 66imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
6856, 67imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
6968ralbidv2 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
7055, 69imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
7170ralbidv2 3167 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
7253, 71imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑦) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
7372ralbidv2 3167 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
7452, 73imbi12d 344 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
7574ralbidv2 3167 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
76 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (ℝ ↑m π‘₯) = (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
7776eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↔ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))))
7876eleq2d 2813 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↔ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))))
7976oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) = ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•))
8079eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) ↔ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)))
8179eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) ↔ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)))
82 ixpeq1 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
83 ixpeq1 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
8483iuneq2d 5019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
8582, 84sseq12d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
86 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})))
8786oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) = (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏))
8886oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)) = ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))
8988mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))
9089fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))
9187, 90breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))
9285, 91imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))))
9381, 92imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) β†’ (Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))))
9493ralbidv2 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))))
9580, 94imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))))
9695ralbidv2 3167 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))))
9778, 96imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))))
9897ralbidv2 3167 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))))
9977, 98imbi12d 344 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))))
10099ralbidv2 3167 . . . . . . 7 (π‘₯ = (𝑦 βˆͺ {𝑧}) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))))
101 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (ℝ ↑m π‘₯) = (ℝ ↑m 𝑋))
102101eleq2d 2813 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↔ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋)))
103101eleq2d 2813 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↔ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋)))
104101oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) = ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•))
105104eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) ↔ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)))
106104eleq2d 2813 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) ↔ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)))
107 ixpeq1 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
108 ixpeq1 8904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑋 β†’ Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
109108iuneq2d 5019 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑋 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
110107, 109sseq12d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
111 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (πΏβ€˜π‘₯) = (πΏβ€˜π‘‹))
112111oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) = (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏))
113111oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)) = ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))
114113mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))
115114fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))
116112, 115breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
117110, 116imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
118106, 117imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) β†’ (Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
119118ralbidv2 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
120105, 119imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
121120ralbidv2 3167 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
122103, 121imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
123122ralbidv2 3167 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
124102, 123imbi12d 344 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—)))))) ↔ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))))
125124ralbidv2 3167 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m π‘₯)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m π‘₯) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ π‘₯ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ π‘₯ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘₯)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘₯)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
126 hoidmvle.l . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
127 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π‘’β€˜π‘˜))
128127oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
129128fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
130129prodeq2ad 44880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Ž = 𝑒 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
131130ifeq2d 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 𝑒 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
132 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑓 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘˜))
133132oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)))
134133fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑓 β†’ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜))))
135134prodeq2ad 44880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑓 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜))))
136135ifeq2d 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑓 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)))))
137131, 136cbvmpov 7500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) = (𝑒 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑓 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)))))
138137mpteq2i 5246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑒 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑓 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜))))))
139126, 138eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑒 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑓 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜))))))
140 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…) β†’ π‘Ž:βˆ…βŸΆβ„)
141140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) β†’ π‘Ž:βˆ…βŸΆβ„)
142 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…) β†’ 𝑏:βˆ…βŸΆβ„)
143142adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) β†’ 𝑏:βˆ…βŸΆβ„)
144139, 141, 143hoidmv0val 45871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) = 0)
145144ad5ant23 757 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) = 0)
146 nfv 1909 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗(𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•))
1474a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) β†’ β„• ∈ V)
148 icossicc 13419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
149 0fin 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 βˆ… ∈ Fin
150149a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ… ∈ Fin)
151 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (ℝ ↑m βˆ…) ∈ V)
1524a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ β„• ∈ V)
153 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•))
154 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
155151, 152, 153, 154fvmap 44469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m βˆ…))
156 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m βˆ…) β†’ (π‘β€˜π‘—):βˆ…βŸΆβ„)
157155, 156syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘—):βˆ…βŸΆβ„)
158157adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘β€˜π‘—):βˆ…βŸΆβ„)
159 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (ℝ ↑m βˆ…) ∈ V)
1604a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ β„• ∈ V)
161 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•))
162 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑗 ∈ β„•)
163159, 160, 161, 162fvmap 44469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‘β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m βˆ…))
164 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘‘β€˜π‘—) ∈ (ℝ ↑m βˆ…) β†’ (π‘‘β€˜π‘—):βˆ…βŸΆβ„)
165163, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‘β€˜π‘—):βˆ…βŸΆβ„)
166165adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘‘β€˜π‘—):βˆ…βŸΆβ„)
167126, 150, 158, 166hoidmvcl 45870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)) ∈ (0[,)+∞))
168148, 167sselid 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)) ∈ (0[,]+∞))
169146, 147, 168sge0ge0mpt 45726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))
170169adantll 711 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) β†’ 0 ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))
171145, 170eqbrtrd 5163 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—)))))
172171a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) β†’ (Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))
173172ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))
174173ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))
175174ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m βˆ…)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))
176175ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m βˆ…)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m βˆ…)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m βˆ…) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ βˆ… ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ βˆ… (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜βˆ…)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜βˆ…)(π‘‘β€˜π‘—))))))
177 simpl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))))
178128ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 𝑒 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
179178sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
180 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) = (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏))
181180breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))))
182179, 181imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
183182ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
184183ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
185184ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
186133ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑓 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)))
187186sseq1d 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑓 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
188 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 = 𝑓 β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) = (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓))
189188breq1d 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))))
190187, 189imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 = 𝑓 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
191190ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑏 = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
192191ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
193 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑐 = 𝑔 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘”β€˜π‘—))
194193fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑐 = 𝑔 β†’ ((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
195194oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑐 = 𝑔 β†’ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
196195ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = 𝑔 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
197196adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑐 = 𝑔 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
198197iuneq2dv 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = 𝑔 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
199198sseq2d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = 𝑔 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
200193oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑐 = 𝑔 β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)) = ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))
201200mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑐 = 𝑔 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))
202201fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑐 = 𝑔 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))
203202breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 = 𝑔 β†’ ((𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))))
204199, 203imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑐 = 𝑔 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
205204ralbidv 3171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑔 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
206 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑑 = β„Ž β†’ (π‘‘β€˜π‘—) = (β„Žβ€˜π‘—))
207206fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑑 = β„Ž β†’ ((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
208207oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑑 = β„Ž β†’ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
209208ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = β„Ž β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
210209adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑑 = β„Ž ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
211210iuneq2dv 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = β„Ž β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
212211sseq2d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = β„Ž β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
213206oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑑 = β„Ž β†’ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)) = ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))
214213mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑑 = β„Ž β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))
215214fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑑 = β„Ž β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))
216215breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑑 = β„Ž β†’ ((𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))))
217212, 216imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑑 = β„Ž β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
218217cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))))
219218a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 = 𝑔 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
220205, 219bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑐 = 𝑔 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
221220cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))))
222221a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑏 = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
223192, 222bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = 𝑓 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
224223cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))))
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
226185, 225bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))))
227226cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))))
228227biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))))
229228adantl 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))))
230 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ πœ‘)
231 eldifi 4121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
232231adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
233232adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
234233ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
235 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
236 uneq1 4151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = (βˆ… βˆͺ {𝑧}))
237 0un 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (βˆ… βˆͺ {𝑧}) = {𝑧}
238237a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 = βˆ… β†’ (βˆ… βˆͺ {𝑧}) = {𝑧})
239236, 238eqtr2d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 = βˆ… β†’ {𝑧} = (𝑦 βˆͺ {𝑧}))
240239eqcomd 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = {𝑧})
241240oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑦 = βˆ… β†’ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) = (ℝ ↑m {𝑧}))
242241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) = (ℝ ↑m {𝑧}))
243235, 242eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧}))
244243adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧}))
245230, 234, 244jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})))
246245adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})))
247246adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})))
248247adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})))
249 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
250241adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) = (ℝ ↑m {𝑧}))
251249, 250eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧}))
252251adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧}))
253252adantlll 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧}))
254 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•))
255241oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = βˆ… β†’ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) = ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•))
256255adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) = ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•))
257254, 256eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•))
258257adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•))
259248, 253, 258jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)))
260259adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)))
261260adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)))
262 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•))
263255adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) = ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•))
264262, 263eleqtrd 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•))
265264adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•))
266265adantlll 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•))
267 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
268239ixpeq1d 8905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
269268adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
270239ixpeq1d 8905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = βˆ… β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
271270adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 = βˆ… ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
272271iuneq2dv 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
273 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘β€˜π‘–) = (π‘β€˜π‘—))
274273fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜) = ((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
275 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘‘β€˜π‘–) = (π‘‘β€˜π‘—))
276275fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜) = ((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
277274, 276oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑗 β†’ (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
278277ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 = 𝑗 β†’ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
279278cbviunv 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
280279a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
281272, 280eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = βˆ… β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
282281adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
283269, 282sseq12d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
284267, 283mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
285284adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
286261, 266, 285jca31 514 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))))
287 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 = βˆ…)
288 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π‘’β€˜π‘˜))
289288oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘Ž = 𝑒 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
290289fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘Ž = 𝑒 β†’ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
291290prodeq2ad 44880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘Ž = 𝑒 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
292291ifeq2d 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘Ž = 𝑒 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))
293 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘’β€˜π‘˜) = (π‘’β€˜π‘™))
294 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π‘β€˜π‘™))
295293, 294oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)))
296295fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))))
297296cbvprodv 15866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)))
298297a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑣 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))))
299 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑏 = 𝑣 β†’ (π‘β€˜π‘™) = (π‘£β€˜π‘™))
300299oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑏 = 𝑣 β†’ ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) = ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘£β€˜π‘™)))
301300fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 = 𝑣 β†’ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))) = (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘£β€˜π‘™))))
302301prodeq2ad 44880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑏 = 𝑣 β†’ βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))) = βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘£β€˜π‘™))))
303298, 302eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑏 = 𝑣 β†’ βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))) = βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘£β€˜π‘™))))
304303ifeq2d 4543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑏 = 𝑣 β†’ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))) = if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘£β€˜π‘™)))))
305292, 304cbvmpov 7500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))) = (𝑒 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑣 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘£β€˜π‘™)))))
306305mpteq2i 5246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))))) = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑒 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑣 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘£β€˜π‘™))))))
307126, 306eqtri 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (𝑒 ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑣 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘™ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘£β€˜π‘™))))))
308 simp-6r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
309 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑧} = {𝑧}
310 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧}) β†’ π‘Ž:{𝑧}βŸΆβ„)
311310ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) β†’ π‘Ž:{𝑧}βŸΆβ„)
312311ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) β†’ π‘Ž:{𝑧}βŸΆβ„)
313 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧}) β†’ 𝑏:{𝑧}βŸΆβ„)
314313adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) β†’ 𝑏:{𝑧}βŸΆβ„)
315314ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑏:{𝑧}βŸΆβ„)
316 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•) β†’ 𝑐:β„•βŸΆ(ℝ ↑m {𝑧}))
317316adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) β†’ 𝑐:β„•βŸΆ(ℝ ↑m {𝑧}))
318317ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑐:β„•βŸΆ(ℝ ↑m {𝑧}))
319 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•) β†’ 𝑑:β„•βŸΆ(ℝ ↑m {𝑧}))
320319ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) β†’ 𝑑:β„•βŸΆ(ℝ ↑m {𝑧}))
321 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
322 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π‘Žβ€˜π‘™))
323322, 294oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)))
324 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ = 𝑙 ↔ 𝑙 = π‘˜)
325324imbi1i 349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))) ↔ (𝑙 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))))
326 eqcom 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) ↔ ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
327326imbi2i 336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑙 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))) ↔ (𝑙 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
328325, 327bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))) ↔ (𝑙 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))
329323, 328mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑙 = π‘˜ β†’ ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) = ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
330329cbvixpv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 X𝑙 ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) = Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))
331330a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) β†’ X𝑙 ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) = Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
332277ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑖 = 𝑗 β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
333332cbviunv 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
334 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™))
335 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™))
336334, 335oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)))
337336cbvixpv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™))
338337a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 ∈ β„• β†’ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)))
339338iuneq2i 5011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑙 ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™))
340333, 339eqtr2i 2755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑙 ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))
341340a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑙 ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
342331, 341sseq12d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) β†’ (X𝑙 ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑙 ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)) ↔ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))))
343321, 342mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)) β†’ X𝑙 ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑙 ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)))
344343adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) β†’ X𝑙 ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• X𝑙 ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)))
345307, 308, 309, 312, 315, 318, 320, 344hoidmv1le 45882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜{𝑧})𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜{𝑧})(π‘‘β€˜π‘—)))))
346345adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜{𝑧})𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜{𝑧})(π‘‘β€˜π‘—)))))
347236, 238eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = {𝑧})
348347fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = βˆ… β†’ (πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧})) = (πΏβ€˜{𝑧}))
349348oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = βˆ… β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) = (π‘Ž(πΏβ€˜{𝑧})𝑏))
350349adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) = (π‘Ž(πΏβ€˜{𝑧})𝑏))
351348oveqd 7422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = βˆ… β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)) = ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜{𝑧})(π‘‘β€˜π‘—)))
352351mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜{𝑧})(π‘‘β€˜π‘—))))
353352fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = βˆ… β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜{𝑧})(π‘‘β€˜π‘—)))))
354353adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜{𝑧})(π‘‘β€˜π‘—)))))
355350, 354breq12d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ ((π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (π‘Ž(πΏβ€˜{𝑧})𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜{𝑧})(π‘‘β€˜π‘—))))))
356346, 355mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m {𝑧})) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m {𝑧}) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ {𝑧} ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ {𝑧} (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))
357286, 287, 356syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))
35817ad8antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
359 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
360359ad5ant12 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
361360ad5ant12 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
362 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))
363362ad5ant12 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))
364363ad5ant12 753 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))
365 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 βˆͺ {𝑧}) = (𝑦 βˆͺ {𝑧})
366 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ π‘Ž:(𝑦 βˆͺ {𝑧})βŸΆβ„)
367366adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) β†’ π‘Ž:(𝑦 βˆͺ {𝑧})βŸΆβ„)
368367ad4ant23 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) β†’ π‘Ž:(𝑦 βˆͺ {𝑧})βŸΆβ„)
369368ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ π‘Ž:(𝑦 βˆͺ {𝑧})βŸΆβ„)
370 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) β†’ 𝑏:(𝑦 βˆͺ {𝑧})βŸΆβ„)
371370adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) β†’ 𝑏:(𝑦 βˆͺ {𝑧})βŸΆβ„)
372371ad4ant23 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) β†’ 𝑏:(𝑦 βˆͺ {𝑧})βŸΆβ„)
373372ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑏:(𝑦 βˆͺ {𝑧})βŸΆβ„)
374 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) β†’ 𝑐:β„•βŸΆ(ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
375374adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) β†’ 𝑐:β„•βŸΆ(ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
376375ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑐:β„•βŸΆ(ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
377 elmapi 8845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) β†’ 𝑑:β„•βŸΆ(ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
378377ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑑:β„•βŸΆ(ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
379378adantlll 715 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑑:β„•βŸΆ(ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})))
380 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘’β€˜π‘˜) = (π‘’β€˜π‘™))
381 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘“β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘™))
382380, 381oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)))
383382cbvixpv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™))
384383a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„Ž = π‘œ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)))
385 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘”β€˜π‘—) = (π‘”β€˜π‘–))
386385fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜))
387 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑗 = 𝑖 β†’ (β„Žβ€˜π‘—) = (β„Žβ€˜π‘–))
388387fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜))
389386, 388oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
390389ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 = 𝑖 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
391390cbviunv 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜))
392391a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (β„Ž = π‘œ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)))
393 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜) = ((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™))
394 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜) = ((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘™))
395393, 394oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘™)))
396395cbvixpv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘™))
397396a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (β„Ž = π‘œ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘™)))
398 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (β„Ž = π‘œ β†’ (β„Žβ€˜π‘–) = (π‘œβ€˜π‘–))
399398fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (β„Ž = π‘œ β†’ ((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘™) = ((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™))
400399oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (β„Ž = π‘œ β†’ (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) = (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)))
401400ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (β„Ž = π‘œ β†’ X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) = X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)))
402397, 401eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (β„Ž = π‘œ β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)))
403402adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((β„Ž = π‘œ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)))
404403iuneq2dv 5014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (β„Ž = π‘œ β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘–)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)))
405392, 404eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„Ž = π‘œ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)))
406384, 405sseq12d 4010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž = π‘œ β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™))))
407385, 387oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)) = ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘–)))
408407cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘–)))
409408a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (β„Ž = π‘œ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘–))))
410398oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (β„Ž = π‘œ β†’ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘–)) = ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–)))
411410mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (β„Ž = π‘œ β†’ (𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘–))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))
412409, 411eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (β„Ž = π‘œ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))) = (𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))
413412fveq2d 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (β„Ž = π‘œ β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–)))))
414413breq2d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (β„Ž = π‘œ β†’ ((𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))) ↔ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))))
415406, 414imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (β„Ž = π‘œ β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ (X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–)))))))
416415cbvralvw 3228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘œ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))))
417416ralbii 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘œ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))))
418417ralbii 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘œ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))))
419418ralbii 3087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘œ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))))
420419biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—))))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘œ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))))
421420adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘œ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))))
422421ad6antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘œ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(X𝑙 ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘™)[,)(π‘“β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘œβ€˜π‘–)β€˜π‘™)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘–)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘œβ€˜π‘–))))))
423323cbvixpv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™))
424336cbvixpv 8911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™))
425424a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 β†’ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)))
426 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘–))
427426fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™) = ((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘™))
428 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘‘β€˜π‘—) = (π‘‘β€˜π‘–))
429428fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™) = ((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘™))
430427, 429oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 = 𝑖 β†’ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = (((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)))
431430ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 = 𝑖 β†’ X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘™)) = X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)))
432425, 431eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 β†’ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)))
433432cbviunv 5036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘™))
434423, 433sseq12i 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)))
435434biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)))
436435ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘™)[,)(π‘β€˜π‘™)) βŠ† βˆͺ 𝑖 ∈ β„• X𝑙 ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)[,)((π‘‘β€˜π‘–)β€˜π‘™)))
437 neqne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ 𝑦 = βˆ… β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
438437adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ 𝑦 β‰  βˆ…)
439307, 358, 361, 364, 365, 369, 373, 376, 379, 422, 436, 438hoidmvlelem5 45887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘–)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘–)))))
440273, 275oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑗 β†’ ((π‘β€˜π‘–)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘–)) = ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))
441440cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘–)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘–))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))
442441fveq2i 6888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘–)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘–)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))
443442breq2i 5149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑖 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘–)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘–)))) ↔ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))
444439, 443sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) ∧ Β¬ 𝑦 = βˆ…) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))
445357, 444pm2.61dan 810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))
446445ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) ∧ 𝑑 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) β†’ (Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))
447446ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑐 ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))
448447ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) ∧ 𝑏 ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))
449448ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) ∧ π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))
450449ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘’ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘“ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘” ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€β„Ž ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘’β€˜π‘˜)[,)(π‘“β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘”β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((β„Žβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝑒(πΏβ€˜π‘¦)𝑓) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘”β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(β„Žβ€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))
451177, 229, 450syl2anc 583 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—))))))
452451ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ (𝑋 βˆ– 𝑦))) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑦)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑦) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑦 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑦 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘¦)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘¦)(π‘‘β€˜π‘—))))) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧}))βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m (𝑦 βˆͺ {𝑧})) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ (𝑦 βˆͺ {𝑧})(((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜(𝑦 βˆͺ {𝑧}))(π‘‘β€˜π‘—)))))))
45350, 75, 100, 125, 176, 452, 17findcard2d 9168 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
454 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = (π΄β€˜π‘˜))
455454oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
456455ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝐴 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)))
457456sseq1d 4008 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
458 oveq1 7412 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏))
459458breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
460457, 459imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = 𝐴 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
461460ralbidv 3171 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
462461ralbidv 3171 . . . . . . . 8 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
463462ralbidv 3171 . . . . . . 7 (π‘Ž = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
464463rspcva 3604 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘Ž ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (π‘Ž(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
46525, 453, 464syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
466 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 𝐡 β†’ (π‘β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
467466oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
468467ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
469468sseq1d 4008 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
470 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 𝐡 β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) = (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
471470breq1d 5151 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
472469, 471imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑏 = 𝐡 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
473472ralbidv 3171 . . . . . . 7 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
474473ralbidv 3171 . . . . . 6 (𝑏 = 𝐡 β†’ (βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
475474rspcva 3604 . . . . 5 ((𝐡 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ∧ βˆ€π‘ ∈ (ℝ ↑m 𝑋)βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝑏) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
47621, 465, 475syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
477 fveq1 6884 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝐢 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (πΆβ€˜π‘—))
478477fveq1d 6887 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜))
479478oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = 𝐢 β†’ (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
480479ixpeq2dv 8909 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐢 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
481480adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑐 = 𝐢 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
482481iuneq2dv 5014 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐢 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
483482sseq2d 4009 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
484477oveq1d 7420 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)) = ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))
485484mpteq2dv 5243 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝐢 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))
486485fveq2d 6889 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝐢 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))
487486breq2d 5153 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
488483, 487imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑐 = 𝐢 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
489488ralbidv 3171 . . . . 5 (𝑐 = 𝐢 β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))))
490489rspcva 3604 . . . 4 ((𝐢 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((π‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((π‘β€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
49113, 476, 490syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))))
492 fveq1 6884 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝐷 β†’ (π‘‘β€˜π‘—) = (π·β€˜π‘—))
493492fveq1d 6887 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜) = ((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))
494493oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (𝑑 = 𝐷 β†’ (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
495494ixpeq2dv 8909 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
496495adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑑 = 𝐷 ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
497496iuneq2dv 5014 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)))
498497sseq2d 4009 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) ↔ Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜))))
499492oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)) = ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))
500499mpteq2dv 5243 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—))))
501500fveq2d 6889 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))) = (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
502501breq2d 5153 . . . . 5 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))) ↔ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—))))))
503498, 502imbi12d 344 . . . 4 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—))))) ↔ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))))
504503rspcva 3604 . . 3 ((𝐷 ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•) ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ((ℝ ↑m 𝑋) ↑m β„•)(Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π‘‘β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π‘‘β€˜π‘—)))))) β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—))))))
5059, 491, 504syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ (Xπ‘˜ ∈ 𝑋 ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† βˆͺ 𝑗 ∈ β„• Xπ‘˜ ∈ 𝑋 (((πΆβ€˜π‘—)β€˜π‘˜)[,)((π·β€˜π‘—)β€˜π‘˜)) β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—))))))
5061, 505mpd 15 1 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (Ξ£^β€˜(𝑗 ∈ β„• ↦ ((πΆβ€˜π‘—)(πΏβ€˜π‘‹)(π·β€˜π‘—)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  ifcif 4523  {csn 4623  βˆͺ ciun 4990   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407   ↑m cmap 8822  Xcixp 8893  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  +∞cpnf 11249   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  [,)cico 13332  [,]cicc 13333  βˆcprod 15855  volcvol 25347  Ξ£^csumge0 45650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-prod 15856  df-rest 17377  df-topgen 17398  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-top 22751  df-topon 22768  df-bases 22804  df-cmp 23246  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-sumge0 45651
This theorem is referenced by:  ovnhoilem2  45890
  Copyright terms: Public domain W3C validator