Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elmapg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elmapg 8404
 Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
elmapg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵𝐴))

Proof of Theorem elmapg
Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapvalg 8401 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴m 𝐵) = {𝑔𝑔:𝐵𝐴})
21eleq2d 2875 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔𝑔:𝐵𝐴}))
3 fex2 7622 . . . . 5 ((𝐶:𝐵𝐴𝐵𝑊𝐴𝑉) → 𝐶 ∈ V)
433com13 1121 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊𝐶:𝐵𝐴) → 𝐶 ∈ V)
543expia 1118 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶:𝐵𝐴𝐶 ∈ V))
6 feq1 6468 . . . 4 (𝑔 = 𝐶 → (𝑔:𝐵𝐴𝐶:𝐵𝐴))
76elab3g 3621 . . 3 ((𝐶:𝐵𝐴𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ {𝑔𝑔:𝐵𝐴} ↔ 𝐶:𝐵𝐴))
85, 7syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ {𝑔𝑔:𝐵𝐴} ↔ 𝐶:𝐵𝐴))
92, 8bitrd 282 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  {cab 2776  Vcvv 3441  ⟶wf 6320  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-map 8393 This theorem is referenced by:  elmapd  8405  mapdm0  8406  elmapi  8413  elmap  8420  map0g  8433  fdiagfn  8439  ralxpmap  8445  ixpssmap2g  8476  snmapen  8575  pw2f1olem  8606  mapxpen  8669  fseqenlem1  9437  fseqdom  9439  infpwfien  9475  fin23lem17  9751  fin23lem39  9763  isf34lem6  9793  gruurn  10211  intgru  10227  grutsk1  10234  hashfacen  13810  wrdval  13862  wrdnval  13890  vdwlem4  16312  vdwlem9  16317  vdwlem10  16318  vdwlem11  16319  vdwlem13  16321  vdw  16322  vdwnnlem1  16323  rami  16343  ramcl  16357  prmgaplcm  16388  pwselbasb  16755  funcestrcsetclem7  17390  funcestrcsetclem8  17391  fullestrcsetc  17395  funcsetcestrclem8  17406  funcsetcestrclem9  17407  fullsetcestrc  17410  gsummptnn0fz  19102  frlmbasf  20453  frlmsplit2  20466  uvcff  20484  psrbag  20606  evlsval2  20763  coe1fsupp  20850  gsummoncoe1  20940  evls1sca  20954  mndvcl  21005  mamucl  21013  mamuvs1  21017  mamuvs2  21018  matbas2d  21035  matecl  21037  mamumat1cl  21051  mattposcl  21065  tposmap  21069  mat1dimelbas  21083  mavmulcl  21159  mdetunilem9  21232  pmatcollpw3lem  21395  pmatcollpw3fi1lem2  21399  cpmidpmatlem2  21483  cpmadumatpolylem1  21493  cayhamlem3  21499  cayhamlem4  21500  iscn  21847  iscnp  21849  cndis  21903  cnindis  21904  hausmapdom  22112  xkoptsub  22266  pt1hmeo  22418  flfval  22602  fcfval  22645  tmdgsum2  22708  symgtgp  22718  isucn  22891  ispsmet  22918  ismet  22937  isxmet  22938  imasdsf1olem  22987  elcncf  23501  metcld2  23918  elply2  24800  plyf  24802  elplyr  24805  plyeq0lem  24814  plyeq0  24815  plyaddlem  24819  plymullem  24820  dgrlem  24833  coeidlem  24841  ulmval  24982  ulmss  24999  ulmcn  25001  mtest  25006  pserulm  25024  isch2  29013  fmptco1f1o  30399  resf1o  30499  fedgmullem2  31126  smatrcl  31161  indf1ofs  31407  imambfm  31642  mbfmcnt  31648  isrrvv  31823  reprsuc  32008  reprinrn  32011  reprlt  32012  reprgt  32014  reprinfz1  32015  reprpmtf1o  32019  reprdifc  32020  circlevma  32035  deranglem  32538  indispconn  32606  prv1n  32803  knoppcnlem5  33961  knoppcnlem8  33964  curf  35051  matunitlindflem1  35069  matunitlindflem2  35070  matunitlindf  35071  fvopabf4g  35175  sdclem2  35196  sdclem1  35197  ismtyval  35254  rrncmslem  35286  mapfzcons  39672  mzpindd  39702  mzpsubst  39704  mzprename  39705  diophrw  39715  pw2f1ocnv  39993  snelmap  41733  fvmap  41841  difmap  41851  mapssbi  41857  fourierdlem54  42817  fourierdlem111  42874  etransclem25  42916  qndenserrnbllem  42951  elhoi  43196  hoiprodcl2  43209  hoicvrrex  43210  ovnlecvr  43212  ovn0lem  43219  hsphoif  43230  hoidmvval  43231  hsphoival  43233  hoidmvle  43254  ovnhoilem1  43255  ovnhoilem2  43256  ovnlecvr2  43264  ovncvr2  43265  hoidifhspval2  43269  hoiqssbllem3  43278  hspmbllem2  43281  opnvonmbllem1  43286  nnsum3primesgbe  44325  nnsum4primesodd  44329  nnsum4primesoddALTV  44330  nnsum4primeseven  44333  nnsum4primesevenALTV  44334  isclintop  44482  isrnghm  44531  rnghmsscmap2  44612  rnghmsscmap  44613  funcrngcsetc  44637  funcrngcsetcALT  44638  rhmsscmap2  44658  rhmsscmap  44659  funcringcsetc  44674  funcringcsetcALTV2lem8  44682  funcringcsetclem8ALTV  44705  ofaddmndmap  44760  mapsnop  44761  zlmodzxzel  44772  linccl  44837  lincvalsc0  44844  lcoc0  44845  linc0scn0  44846  lincdifsn  44847  linc1  44848  lincsum  44852  lincscm  44853  lincscmcl  44855  lcoss  44859  lincext1  44877  lindslinindimp2lem2  44882  lindsrng01  44891  snlindsntorlem  44893  lincresunit1  44900  lincresunit3  44904  zlmodzxzldeplem1  44923  naryfvalel  45058  1arympt1fv  45067  1arymaptfo  45071  2arymaptf  45080  prelrrx2  45141  line2x  45182  line2y  45183
 Copyright terms: Public domain W3C validator