Theorem elmapg 8769

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 8766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑m 𝐵) = {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴})
2	1	eleq2d 2819	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴}))
3		fex2 7872	. . . . 5 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)
4	3	3com13 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶:𝐵⟶𝐴) → 𝐶 ∈ V)
5	4	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V))
6		feq1 6634	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐶 → (𝑔:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
7	6	elab3g 3637	. . 3 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
9	2, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  {cab 2711  Vcvv 3437  ⟶wf 6482  (class class class)co 7352   ↑_m cmap 8756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-map 8758

This theorem is referenced by:  elmapd  8770  mapdm0  8772  elmapi  8779  elmap  8801  map0g  8814  fdiagfn  8820  ralxpmap  8826  ixpssmap2g  8857  snmapen  8967  pw2f1olem  9001  mapxpen  9063  fseqenlem1  9922  fseqdom  9924  infpwfien  9960  fin23lem17  10236  fin23lem39  10248  isf34lem6  10278  gruurn  10696  intgru  10712  grutsk1  10719  wrdval  14425  wrdnval  14454  vdwlem4  16898  vdwlem9  16903  vdwlem10  16904  vdwlem11  16905  vdwlem13  16907  vdw  16908  vdwnnlem1  16909  rami  16929  ramcl  16943  prmgaplcm  16974  pwselbasb  17394  funcestrcsetclem7  18054  funcestrcsetclem8  18055  fullestrcsetc  18059  funcsetcestrclem8  18070  funcsetcestrclem9  18071  fullsetcestrc  18074  mndvcl  18707  gsummptnn0fz  19900  isrnghm  20361  rnghmsscmap2  20546  rnghmsscmap  20547  funcrngcsetc  20557  funcrngcsetcALT  20558  rhmsscmap2  20575  rhmsscmap  20576  funcringcsetc  20591  frlmbasf  21699  frlmsplit2  21712  uvcff  21730  psrbag  21856  evlsval2  22023  coe1fsupp  22128  gsummoncoe1  22224  evls1sca  22239  mamucl  22317  mamuvs1  22321  mamuvs2  22322  matbas2d  22339  matecl  22341  mamumat1cl  22355  mattposcl  22369  tposmap  22373  mat1dimelbas  22387  mavmulcl  22463  mdetunilem9  22536  pmatcollpw3lem  22699  pmatcollpw3fi1lem2  22703  cpmidpmatlem2  22787  cpmadumatpolylem1  22797  cayhamlem3  22803  cayhamlem4  22804  iscn  23151  iscnp  23153  cndis  23207  cnindis  23208  hausmapdom  23416  xkoptsub  23570  pt1hmeo  23722  flfval  23906  fcfval  23949  tmdgsum2  24012  symgtgp  24022  isucn  24193  ispsmet  24220  ismet  24239  isxmet  24240  imasdsf1olem  24289  elcncf  24810  metcld2  25235  elply2  26129  plyf  26131  elplyr  26134  plyeq0lem  26143  plyeq0  26144  plyaddlem  26148  plymullem  26149  dgrlem  26162  coeidlem  26170  ulmval  26317  ulmss  26334  ulmcn  26336  mtest  26341  pserulm  26359  isch2  31205  fmptco1f1o  32617  resf1o  32717  indf1ofs  32854  fedgmullem2  33664  smatrcl  33830  imambfm  34296  mbfmcnt  34302  isrrvv  34477  reprsuc  34649  reprinrn  34652  reprlt  34653  reprgt  34655  reprinfz1  34656  reprpmtf1o  34660  reprdifc  34661  circlevma  34676  deranglem  35231  indispconn  35299  prv1n  35496  knoppcnlem5  36562  knoppcnlem8  36565  curf  37659  matunitlindflem1  37677  matunitlindflem2  37678  matunitlindf  37679  fvopabf4g  37783  sdclem2  37803  sdclem1  37804  ismtyval  37861  rrncmslem  37893  aks6d1c2lem3  42240  aks6d1c5lem3  42251  aks6d1c5lem2  42252  sticksstones23  42283  evlsval3  42678  mapfzcons  42834  mzpindd  42864  mzpsubst  42866  mzprename  42867  diophrw  42877  pw2f1ocnv  43155  ofoafg  43472  snelmap  45204  fvmap  45320  difmap  45329  mapssbi  45335  fourierdlem54  46283  fourierdlem111  46340  etransclem25  46382  qndenserrnbllem  46417  elhoi  46665  hoiprodcl2  46678  hoicvrrex  46679  ovnlecvr  46681  ovn0lem  46688  hsphoif  46699  hoidmvval  46700  hsphoival  46702  hoidmvle  46723  ovnhoilem1  46724  ovnhoilem2  46725  ovnlecvr2  46733  ovncvr2  46734  hoidifhspval2  46738  hoiqssbllem3  46747  hspmbllem2  46750  opnvonmbllem1  46755  nnsum3primesgbe  47917  nnsum4primesodd  47921  nnsum4primesoddALTV  47922  nnsum4primeseven  47925  nnsum4primesevenALTV  47926  isclintop  48332  funcringcsetcALTV2lem8  48422  funcringcsetclem8ALTV  48445  ofaddmndmap  48468  mapsnop  48469  zlmodzxzel  48480  linccl  48540  lincvalsc0  48547  lcoc0  48548  linc0scn0  48549  lincdifsn  48550  linc1  48551  lincsum  48555  lincscm  48556  lincscmcl  48558  lcoss  48562  lincext1  48580  lindslinindimp2lem2  48585  lindsrng01  48594  snlindsntorlem  48596  lincresunit1  48603  lincresunit3  48607  zlmodzxzldeplem1  48626  naryfvalel  48756  1arympt1fv  48765  1arymaptfo  48769  2arymaptf  48778  prelrrx2  48839  line2x  48880  line2y  48881  map0cor  48980