Theorem elmapg 8521

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 8518	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑m 𝐵) = {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴})
2	1	eleq2d 2823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴}))
3		fex2 7711	. . . . 5 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)
4	3	3com13 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶:𝐵⟶𝐴) → 𝐶 ∈ V)
5	4	3expia 1123	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V))
6		feq1 6526	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐶 → (𝑔:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
7	6	elab3g 3594	. . 3 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
9	2, 8	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∈ wcel 2110  {cab 2714  Vcvv 3408  ⟶wf 6376  (class class class)co 7213   ↑_m cmap 8508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-map 8510

This theorem is referenced by:  elmapd  8522  mapdm0  8523  elmapi  8530  elmap  8552  map0g  8565  fdiagfn  8571  ralxpmap  8577  ixpssmap2g  8608  snmapen  8715  pw2f1olem  8749  mapxpen  8812  fseqenlem1  9638  fseqdom  9640  infpwfien  9676  fin23lem17  9952  fin23lem39  9964  isf34lem6  9994  gruurn  10412  intgru  10428  grutsk1  10435  hashfacenOLD  14019  wrdval  14072  wrdnval  14100  vdwlem4  16537  vdwlem9  16542  vdwlem10  16543  vdwlem11  16544  vdwlem13  16546  vdw  16547  vdwnnlem1  16548  rami  16568  ramcl  16582  prmgaplcm  16613  pwselbasb  16993  funcestrcsetclem7  17653  funcestrcsetclem8  17654  fullestrcsetc  17658  funcsetcestrclem8  17669  funcsetcestrclem9  17670  fullsetcestrc  17673  gsummptnn0fz  19371  frlmbasf  20722  frlmsplit2  20735  uvcff  20753  psrbag  20876  evlsval2  21047  coe1fsupp  21135  gsummoncoe1  21225  evls1sca  21239  mndvcl  21290  mamucl  21298  mamuvs1  21302  mamuvs2  21303  matbas2d  21320  matecl  21322  mamumat1cl  21336  mattposcl  21350  tposmap  21354  mat1dimelbas  21368  mavmulcl  21444  mdetunilem9  21517  pmatcollpw3lem  21680  pmatcollpw3fi1lem2  21684  cpmidpmatlem2  21768  cpmadumatpolylem1  21778  cayhamlem3  21784  cayhamlem4  21785  iscn  22132  iscnp  22134  cndis  22188  cnindis  22189  hausmapdom  22397  xkoptsub  22551  pt1hmeo  22703  flfval  22887  fcfval  22930  tmdgsum2  22993  symgtgp  23003  isucn  23175  ispsmet  23202  ismet  23221  isxmet  23222  imasdsf1olem  23271  elcncf  23786  metcld2  24204  elply2  25090  plyf  25092  elplyr  25095  plyeq0lem  25104  plyeq0  25105  plyaddlem  25109  plymullem  25110  dgrlem  25123  coeidlem  25131  ulmval  25272  ulmss  25289  ulmcn  25291  mtest  25296  pserulm  25314  isch2  29304  fmptco1f1o  30687  resf1o  30785  fedgmullem2  31425  smatrcl  31460  indf1ofs  31706  imambfm  31941  mbfmcnt  31947  isrrvv  32122  reprsuc  32307  reprinrn  32310  reprlt  32311  reprgt  32313  reprinfz1  32314  reprpmtf1o  32318  reprdifc  32319  circlevma  32334  deranglem  32841  indispconn  32909  prv1n  33106  knoppcnlem5  34414  knoppcnlem8  34417  curf  35492  matunitlindflem1  35510  matunitlindflem2  35511  matunitlindf  35512  fvopabf4g  35616  sdclem2  35637  sdclem1  35638  ismtyval  35695  rrncmslem  35727  evlsval3  39982  mapfzcons  40241  mzpindd  40271  mzpsubst  40273  mzprename  40274  diophrw  40284  pw2f1ocnv  40562  snelmap  42305  fvmap  42410  difmap  42420  mapssbi  42426  fourierdlem54  43376  fourierdlem111  43433  etransclem25  43475  qndenserrnbllem  43510  elhoi  43755  hoiprodcl2  43768  hoicvrrex  43769  ovnlecvr  43771  ovn0lem  43778  hsphoif  43789  hoidmvval  43790  hsphoival  43792  hoidmvle  43813  ovnhoilem1  43814  ovnhoilem2  43815  ovnlecvr2  43823  ovncvr2  43824  hoidifhspval2  43828  hoiqssbllem3  43837  hspmbllem2  43840  opnvonmbllem1  43845  nnsum3primesgbe  44917  nnsum4primesodd  44921  nnsum4primesoddALTV  44922  nnsum4primeseven  44925  nnsum4primesevenALTV  44926  isclintop  45074  isrnghm  45123  rnghmsscmap2  45204  rnghmsscmap  45205  funcrngcsetc  45229  funcrngcsetcALT  45230  rhmsscmap2  45250  rhmsscmap  45251  funcringcsetc  45266  funcringcsetcALTV2lem8  45274  funcringcsetclem8ALTV  45297  ofaddmndmap  45352  mapsnop  45353  zlmodzxzel  45364  linccl  45428  lincvalsc0  45435  lcoc0  45436  linc0scn0  45437  lincdifsn  45438  linc1  45439  lincsum  45443  lincscm  45444  lincscmcl  45446  lcoss  45450  lincext1  45468  lindslinindimp2lem2  45473  lindsrng01  45482  snlindsntorlem  45484  lincresunit1  45491  lincresunit3  45495  zlmodzxzldeplem1  45514  naryfvalel  45649  1arympt1fv  45658  1arymaptfo  45662  2arymaptf  45671  prelrrx2  45732  line2x  45773  line2y  45774  map0cor  45855