Theorem elmapg 8763

Description: Membership relation for set exponentiation. (Contributed by NM, 17-Oct-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elmapg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Proof of Theorem elmapg

Dummy variable 𝑔 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapvalg 8760	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ↑m 𝐵) = {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴})
2	1	eleq2d 2817	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴}))
3		fex2 7866	. . . . 5 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐶 ∈ V)
4	3	3com13 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶:𝐵⟶𝐴) → 𝐶 ∈ V)
5	4	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V))
6		feq1 6629	. . . 4 ⊢ (𝑔 = 𝐶 → (𝑔:𝐵⟶𝐴 ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
7	6	elab3g 3641	. . 3 ⊢ ((𝐶:𝐵⟶𝐴 → 𝐶 ∈ V) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
8	5, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ {𝑔 ∣ 𝑔:𝐵⟶𝐴} ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))
9	2, 8	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐶 ∈ (𝐴 ↑m 𝐵) ↔ 𝐶:𝐵⟶𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  {cab 2709  Vcvv 3436  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-map 8752

This theorem is referenced by:  elmapd  8764  mapdm0  8766  elmapi  8773  elmap  8795  map0g  8808  fdiagfn  8814  ralxpmap  8820  ixpssmap2g  8851  snmapen  8960  pw2f1olem  8994  mapxpen  9056  fseqenlem1  9912  fseqdom  9914  infpwfien  9950  fin23lem17  10226  fin23lem39  10238  isf34lem6  10268  gruurn  10686  intgru  10702  grutsk1  10709  wrdval  14420  wrdnval  14449  vdwlem4  16893  vdwlem9  16898  vdwlem10  16899  vdwlem11  16900  vdwlem13  16902  vdw  16903  vdwnnlem1  16904  rami  16924  ramcl  16938  prmgaplcm  16969  pwselbasb  17389  funcestrcsetclem7  18049  funcestrcsetclem8  18050  fullestrcsetc  18054  funcsetcestrclem8  18065  funcsetcestrclem9  18066  fullsetcestrc  18069  mndvcl  18702  gsummptnn0fz  19896  isrnghm  20357  rnghmsscmap2  20542  rnghmsscmap  20543  funcrngcsetc  20553  funcrngcsetcALT  20554  rhmsscmap2  20571  rhmsscmap  20572  funcringcsetc  20587  frlmbasf  21695  frlmsplit2  21708  uvcff  21726  psrbag  21852  evlsval2  22020  coe1fsupp  22125  gsummoncoe1  22221  evls1sca  22236  mamucl  22314  mamuvs1  22318  mamuvs2  22319  matbas2d  22336  matecl  22338  mamumat1cl  22352  mattposcl  22366  tposmap  22370  mat1dimelbas  22384  mavmulcl  22460  mdetunilem9  22533  pmatcollpw3lem  22696  pmatcollpw3fi1lem2  22700  cpmidpmatlem2  22784  cpmadumatpolylem1  22794  cayhamlem3  22800  cayhamlem4  22801  iscn  23148  iscnp  23150  cndis  23204  cnindis  23205  hausmapdom  23413  xkoptsub  23567  pt1hmeo  23719  flfval  23903  fcfval  23946  tmdgsum2  24009  symgtgp  24019  isucn  24190  ispsmet  24217  ismet  24236  isxmet  24237  imasdsf1olem  24286  elcncf  24807  metcld2  25232  elply2  26126  plyf  26128  elplyr  26131  plyeq0lem  26140  plyeq0  26141  plyaddlem  26145  plymullem  26146  dgrlem  26159  coeidlem  26167  ulmval  26314  ulmss  26331  ulmcn  26333  mtest  26338  pserulm  26356  isch2  31198  fmptco1f1o  32610  resf1o  32708  indf1ofs  32842  fedgmullem2  33638  smatrcl  33804  imambfm  34270  mbfmcnt  34276  isrrvv  34451  reprsuc  34623  reprinrn  34626  reprlt  34627  reprgt  34629  reprinfz1  34630  reprpmtf1o  34634  reprdifc  34635  circlevma  34650  deranglem  35198  indispconn  35266  prv1n  35463  knoppcnlem5  36530  knoppcnlem8  36533  curf  37637  matunitlindflem1  37655  matunitlindflem2  37656  matunitlindf  37657  fvopabf4g  37761  sdclem2  37781  sdclem1  37782  ismtyval  37839  rrncmslem  37871  aks6d1c2lem3  42158  aks6d1c5lem3  42169  aks6d1c5lem2  42170  sticksstones23  42201  evlsval3  42591  mapfzcons  42748  mzpindd  42778  mzpsubst  42780  mzprename  42781  diophrw  42791  pw2f1ocnv  43069  ofoafg  43386  snelmap  45118  fvmap  45234  difmap  45243  mapssbi  45249  fourierdlem54  46197  fourierdlem111  46254  etransclem25  46296  qndenserrnbllem  46331  elhoi  46579  hoiprodcl2  46592  hoicvrrex  46593  ovnlecvr  46595  ovn0lem  46602  hsphoif  46613  hoidmvval  46614  hsphoival  46616  hoidmvle  46637  ovnhoilem1  46638  ovnhoilem2  46639  ovnlecvr2  46647  ovncvr2  46648  hoidifhspval2  46652  hoiqssbllem3  46661  hspmbllem2  46664  opnvonmbllem1  46669  nnsum3primesgbe  47822  nnsum4primesodd  47826  nnsum4primesoddALTV  47827  nnsum4primeseven  47830  nnsum4primesevenALTV  47831  isclintop  48237  funcringcsetcALTV2lem8  48327  funcringcsetclem8ALTV  48350  ofaddmndmap  48373  mapsnop  48374  zlmodzxzel  48385  linccl  48445  lincvalsc0  48452  lcoc0  48453  linc0scn0  48454  lincdifsn  48455  linc1  48456  lincsum  48460  lincscm  48461  lincscmcl  48463  lcoss  48467  lincext1  48485  lindslinindimp2lem2  48490  lindsrng01  48499  snlindsntorlem  48501  lincresunit1  48508  lincresunit3  48512  zlmodzxzldeplem1  48531  naryfvalel  48661  1arympt1fv  48670  1arymaptfo  48674  2arymaptf  48683  prelrrx2  48744  line2x  48785  line2y  48786  map0cor  48885