| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | projf1o.1 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉) | 
| 2 |  | snidg 4659 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ {𝐴}) | 
| 3 | 1, 2 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ {𝐴}) | 
| 4 | 3 | adantr 480 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ {𝐴}) | 
| 5 |  | simpr 484 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵) | 
| 6 | 4, 5 | opelxpd 5723 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 〈𝐴, 𝑦〉 ∈ ({𝐴} × 𝐵)) | 
| 7 |  | projf1o.2 | . . . . 5
⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 〈𝐴, 𝑥〉) | 
| 8 |  | opeq2 4873 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = 𝑦 → 〈𝐴, 𝑥〉 = 〈𝐴, 𝑦〉) | 
| 9 | 8 | cbvmptv 5254 | . . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ 〈𝐴, 𝑥〉) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 〈𝐴, 𝑦〉) | 
| 10 | 7, 9 | eqtri 2764 | . . . 4
⊢ 𝐹 = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 〈𝐴, 𝑦〉) | 
| 11 | 6, 10 | fmptd 7133 | . . 3
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵⟶({𝐴} × 𝐵)) | 
| 12 |  | simpl1 1191 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧)) → 𝜑) | 
| 13 | 7, 8, 5, 6 | fvmptd3 7038 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑦) = 〈𝐴, 𝑦〉) | 
| 14 | 13 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → 〈𝐴, 𝑦〉 = (𝐹‘𝑦)) | 
| 15 | 14 | 3adant3 1132 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 〈𝐴, 𝑦〉 = (𝐹‘𝑦)) | 
| 16 | 15 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧)) → 〈𝐴, 𝑦〉 = (𝐹‘𝑦)) | 
| 17 |  | simpr 484 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧)) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧)) | 
| 18 |  | opeq2 4873 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 = 𝑧 → 〈𝐴, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝑧〉) | 
| 19 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵) | 
| 20 |  | opex 5468 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
〈𝐴, 𝑧〉 ∈ V | 
| 21 | 20 | a1i 11 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 〈𝐴, 𝑧〉 ∈ V) | 
| 22 | 10, 18, 19, 21 | fvmptd3 7038 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 〈𝐴, 𝑧〉) | 
| 23 | 22 | 3adant2 1131 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) = 〈𝐴, 𝑧〉) | 
| 24 | 23 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧)) → (𝐹‘𝑧) = 〈𝐴, 𝑧〉) | 
| 25 | 16, 17, 24 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧)) → 〈𝐴, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝑧〉) | 
| 26 |  | vex 3483 | . . . . . . . . . 10
⊢ 𝑧 ∈ V | 
| 27 | 26 | a1i 11 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ V) | 
| 28 |  | opthg2 5483 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑧 ∈ V) → (〈𝐴, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝑧〉 ↔ (𝐴 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝑧))) | 
| 29 | 1, 27, 28 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (〈𝐴, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝑧〉 ↔ (𝐴 = 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝑧))) | 
| 30 | 29 | simplbda 499 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 〈𝐴, 𝑦〉 = 〈𝐴, 𝑧〉) → 𝑦 = 𝑧) | 
| 31 | 12, 25, 30 | syl2anc 584 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) ∧ (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧)) → 𝑦 = 𝑧) | 
| 32 | 31 | ex 412 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)) | 
| 33 | 32 | 3expb 1120 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)) | 
| 34 | 33 | ralrimivva 3201 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)) | 
| 35 |  | dff13 7276 | . . 3
⊢ (𝐹:𝐵–1-1→({𝐴} × 𝐵) ↔ (𝐹:𝐵⟶({𝐴} × 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))) | 
| 36 | 11, 34, 35 | sylanbrc 583 | . 2
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1→({𝐴} × 𝐵)) | 
| 37 |  | elsnxp 6310 | . . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑧 ∈ ({𝐴} × 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉)) | 
| 38 | 1, 37 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ ({𝐴} × 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉)) | 
| 39 | 38 | biimpa 476 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ({𝐴} × 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉) | 
| 40 | 13 | adantr 480 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉) → (𝐹‘𝑦) = 〈𝐴, 𝑦〉) | 
| 41 |  | id 22 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉 → 𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉) | 
| 42 | 41 | eqcomd 2742 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉 → 〈𝐴, 𝑦〉 = 𝑧) | 
| 43 | 42 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉) → 〈𝐴, 𝑦〉 = 𝑧) | 
| 44 | 40, 43 | eqtr2d 2777 | . . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉) → 𝑧 = (𝐹‘𝑦)) | 
| 45 | 44 | ex 412 | . . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉 → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))) | 
| 46 | 45 | adantlr 715 | . . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ({𝐴} × 𝐵)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉 → 𝑧 = (𝐹‘𝑦))) | 
| 47 | 46 | reximdva 3167 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ({𝐴} × 𝐵)) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = 〈𝐴, 𝑦〉 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐹‘𝑦))) | 
| 48 | 39, 47 | mpd 15 | . . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ ({𝐴} × 𝐵)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐹‘𝑦)) | 
| 49 | 48 | ralrimiva 3145 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ ({𝐴} × 𝐵)∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐹‘𝑦)) | 
| 50 |  | dffo3 7121 | . . 3
⊢ (𝐹:𝐵–onto→({𝐴} × 𝐵) ↔ (𝐹:𝐵⟶({𝐴} × 𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ ({𝐴} × 𝐵)∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑧 = (𝐹‘𝑦))) | 
| 51 | 11, 49, 50 | sylanbrc 583 | . 2
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→({𝐴} × 𝐵)) | 
| 52 |  | df-f1o 6567 | . 2
⊢ (𝐹:𝐵–1-1-onto→({𝐴} × 𝐵) ↔ (𝐹:𝐵–1-1→({𝐴} × 𝐵) ∧ 𝐹:𝐵–onto→({𝐴} × 𝐵))) | 
| 53 | 36, 51, 52 | sylanbrc 583 | 1
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–1-1-onto→({𝐴} × 𝐵)) |