Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocioodisjd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocioodisjd 42355
Description: Adjacent intervals where the lower interval is right-closed and the upper interval is open are disjoint. (Contributed by SN, 1-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxdisjd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ixxdisjd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
ixxdisjd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
iocioodisjd (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)

Proof of Theorem iocioodisjd
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixxdisjd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 ixxdisjd.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 ixxdisjd.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
4 df-ioc 13392 . . 3 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
5 df-ioo 13391 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
6 xrltnle 11328 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐵))
74, 5, 6ixxdisj 13402 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
81, 2, 3, 7syl3anc 1373 1 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  c0 4333  (class class class)co 7431  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-xr 11299  df-le 11301  df-ioo 13391  df-ioc 13392
This theorem is referenced by:  readvrec2  42391  readvrec  42392
  Copyright terms: Public domain W3C validator