Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iocioodisjd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocioodisjd 42333
Description: Adjacent intervals where the lower interval is right-closed and the upper interval is open are disjoint. (Contributed by SN, 1-Oct-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ixxdisjd.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
ixxdisjd.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
ixxdisjd.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
iocioodisjd (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)

Proof of Theorem iocioodisjd
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixxdisjd.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2 ixxdisjd.b . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3 ixxdisjd.c . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
4 df-ioc 13388 . . 3 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
5 df-ioo 13387 . . 3 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
6 xrltnle 11325 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐵))
74, 5, 6ixxdisj 13398 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
81, 2, 3, 7syl3anc 1370 1 (𝜑 → ((𝐴(,]𝐵) ∩ (𝐵(,)𝐶)) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  cin 3961  c0 4338  (class class class)co 7430  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-xr 11296  df-le 11298  df-ioo 13387  df-ioc 13388
This theorem is referenced by:  readvrec2  42369  readvrec  42370
  Copyright terms: Public domain W3C validator