Theorem retire 41027

Description: Commuted version of itrere 41026. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
retire	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem retire

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 11147	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑅 · 𝑥) = 1)
2		sn-inelr 41025	. . . . . 6 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
3		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
4		simplrl 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) = 1)
6	3, 4, 5	remulinvcom 40992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑅) = 1)
7	6	oveq1d 7392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝑅) · i) = (1 · i))
8	4	recnd 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	3	recnd 11207	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
10		ax-icn 11134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
12	8, 9, 11	mulassd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝑅) · i) = (𝑥 · (𝑅 · i)))
13		sn-1ticom 40994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
14		it1ei 40996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · 1) = i
15	13, 14	eqtri 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = i
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 · i) = i)
17	7, 12, 16	3eqtr3d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑅 · i)) = i)
18		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
19	4, 18	remulcld 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑅 · i)) ∈ ℝ)
20	17, 19	eqeltrrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
21	20	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
22	2, 21	mtoi 198	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
23	1, 22	rexlimddv 3160	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
24	23	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ))
25	24	necon4ad 2958	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
26		oveq1 7384	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) = (0 · i))
27		sn-0tie0 40999	. . . 4 ⊢ (0 · i) = 0
28		0re 11181	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	27, 28	eqeltri 2828	. . 3 ⊢ (0 · i) ∈ ℝ
30	26, 29	eqeltrdi 2840	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
31	25, 30	impbid1 224	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  (class class class)co 7377  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076  ici 11077   · cmul 11080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-po 5565  df-so 5566  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-ltxr 11218  df-2 12240  df-3 12241  df-resub 40926

This theorem is referenced by: (None)