Theorem retire 40922

Description: Commuted version of itrere 40921. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)

Assertion

Ref	Expression
retire	⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Proof of Theorem retire

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-rrecex 11123	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑅 · 𝑥) = 1)
2		sn-inelr 40920	. . . . . 6 ⊢ ¬ i ∈ ℝ
3		simplll 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℝ)
4		simplrl 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
5		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · 𝑥) = 1)
6	3, 4, 5	remulinvcom 40887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑅) = 1)
7	6	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝑅) · i) = (1 · i))
8	4	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
9	3	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → 𝑅 ∈ ℂ)
10		ax-icn 11110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ i ∈ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
12	8, 9, 11	mulassd 11178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → ((𝑥 · 𝑅) · i) = (𝑥 · (𝑅 · i)))
13		sn-1ticom 40889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 · i) = (i · 1)
14		it1ei 40891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (i · 1) = i
15	13, 14	eqtri 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 · i) = i
16	15	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (1 · i) = i)
17	7, 12, 16	3eqtr3d 2784	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑅 · i)) = i)
18		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
19	4, 18	remulcld 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → (𝑥 · (𝑅 · i)) ∈ ℝ)
20	17, 19	eqeltrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) ∧ (𝑅 · i) ∈ ℝ) → i ∈ ℝ)
21	20	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → i ∈ ℝ))
22	2, 21	mtoi 198	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑅 · 𝑥) = 1)) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
23	1, 22	rexlimddv 3158	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ≠ 0) → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ)
24	23	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → (𝑅 ≠ 0 → ¬ (𝑅 · i) ∈ ℝ))
25	24	necon4ad 2962	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ → 𝑅 = 0))
26		oveq1 7364	. . 3 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) = (0 · i))
27		sn-0tie0 40894	. . . 4 ⊢ (0 · i) = 0
28		0re 11157	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
29	27, 28	eqeltri 2834	. . 3 ⊢ (0 · i) ∈ ℝ
30	26, 29	eqeltrdi 2846	. 2 ⊢ (𝑅 = 0 → (𝑅 · i) ∈ ℝ)
31	25, 30	impbid1 224	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ → ((𝑅 · i) ∈ ℝ ↔ 𝑅 = 0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  ici 11053   · cmul 11056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-ltxr 11194  df-2 12216  df-3 12217  df-resub 40821

This theorem is referenced by: (None)