Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  retire Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem retire 41340
Description: Commuted version of itrere 41339. (Contributed by SN, 27-Jun-2024.)
Assertion
Ref Expression
retire (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘… ยท i) โˆˆ โ„ โ†” ๐‘… = 0))

Proof of Theorem retire
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-rrecex 11182 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)
2 sn-inelr 41338 . . . . . 6 ยฌ i โˆˆ โ„
3 simplll 774 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
4 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„)
5 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)
63, 4, 5remulinvcom 41305 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐‘…) = 1)
76oveq1d 7424 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘…) ยท i) = (1 ยท i))
84recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
93recnd 11242 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„‚)
10 ax-icn 11169 . . . . . . . . . . 11 i โˆˆ โ„‚
1110a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ i โˆˆ โ„‚)
128, 9, 11mulassd 11237 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ฅ ยท ๐‘…) ยท i) = (๐‘ฅ ยท (๐‘… ยท i)))
13 sn-1ticom 41307 . . . . . . . . . . 11 (1 ยท i) = (i ยท 1)
14 it1ei 41309 . . . . . . . . . . 11 (i ยท 1) = i
1513, 14eqtri 2761 . . . . . . . . . 10 (1 ยท i) = i
1615a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ (1 ยท i) = i)
177, 12, 163eqtr3d 2781 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘… ยท i)) = i)
18 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„)
194, 18remulcld 11244 . . . . . . . 8 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘ฅ ยท (๐‘… ยท i)) โˆˆ โ„)
2017, 19eqeltrrd 2835 . . . . . . 7 ((((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โˆง (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„) โ†’ i โˆˆ โ„)
2120ex 414 . . . . . 6 (((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ((๐‘… ยท i) โˆˆ โ„ โ†’ i โˆˆ โ„))
222, 21mtoi 198 . . . . 5 (((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… ยท ๐‘ฅ) = 1)) โ†’ ยฌ (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„)
231, 22rexlimddv 3162 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โ‰  0) โ†’ ยฌ (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„)
2423ex 414 . . 3 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘… โ‰  0 โ†’ ยฌ (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„))
2524necon4ad 2960 . 2 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘… ยท i) โˆˆ โ„ โ†’ ๐‘… = 0))
26 oveq1 7416 . . 3 (๐‘… = 0 โ†’ (๐‘… ยท i) = (0 ยท i))
27 sn-0tie0 41312 . . . 4 (0 ยท i) = 0
28 0re 11216 . . . 4 0 โˆˆ โ„
2927, 28eqeltri 2830 . . 3 (0 ยท i) โˆˆ โ„
3026, 29eqeltrdi 2842 . 2 (๐‘… = 0 โ†’ (๐‘… ยท i) โˆˆ โ„)
3125, 30impbid1 224 1 (๐‘… โˆˆ โ„ โ†’ ((๐‘… ยท i) โˆˆ โ„ โ†” ๐‘… = 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  ici 11112   ยท cmul 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-2 12275  df-3 12276  df-resub 41239
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator