Theorem readvrec2 43413

Description: The antiderivative of 1/x in real numbers, without using the absolute value function. (Contributed by SN, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
redvabs.d	⊢ 𝐷 = (ℝ ∖ {0})

Assertion

Ref	Expression
readvrec2	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem readvrec2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11292	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		redvabs.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℝ ∖ {0})
4	3	eleq2i 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
5		eldifsn 4747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	4, 5	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
7	6	simplbi 502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11337	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14287	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
10	6	simprbi 503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
11		sqne0 14266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
12	8, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
13	10, 12	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ≠ 0)
14	9, 13	logcld 26898	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
15	14	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
16		ovexd 7455	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) ∈ V)
17		cnelprrecn 11293	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
19		incom 4106	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ((-∞(,]0) ∩ ℝ+)
20		dfrp2 13525	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
21	20	ineq2i 4114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,]0) ∩ ℝ+) = ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞))
22		mnfxr 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
24		0xr 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
26		pnfxr 11363	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
28	23, 25, 27	iocioodisjd 43378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅)
29	28	mptru 1576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅
30	19, 21, 29	3eqtri 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅
31		disjdif2 4435	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+
33		rpsscn 43357	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
34		ssdif 4080	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
36	32, 35	eqsstrri 3955	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
37	10	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
38		sqn0rp 14270	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
39	7, 37, 38	syl2an2 699	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
40	36, 39	sselid 3906	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑2) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
41		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (2 · 𝑥) ∈ V)
42		eldifi 4067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
43		eldifn 4068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
44		mnflt0 13254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
45		0le0 12444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
46		elioc1 13518	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
47	22, 24, 46	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0))
48	24, 44, 45, 47	mpbir3an 1360	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (-∞(,]0)
49		eleq1 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (-∞(,]0) ↔ 0 ∈ (-∞(,]0)))
50	48, 49	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
51	50	necon3bi 2981	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0) → 𝑦 ≠ 0)
52	43, 51	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
53	42, 52	logcld 26898	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
54	53	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
55		ovexd 7455	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ V)
56		recn 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
57	56	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	sqcld 14287	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
59		ovexd 7455	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
60		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
61		cnopn 25105	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld)
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
63		ax-resscn 11257	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
64		dfss2 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
65	63, 64	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
67		sqcl 14261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
68	67	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
69		ovexd 7455	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
70		2nn 12416	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
71		dvexp 26273	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
72	70, 71	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
73	60, 2, 62, 66, 68, 69, 72	dvmptres3 26276	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
74	7	ssriv 3912	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℝ)
76		tgioo4 25124	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
77		rehaus 25118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
78		0re 11310	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		uniretop 25081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
80	79	sncld 23689	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℝ) → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
81	77, 78, 80	mp2an 705	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
82	79	cldopn 23349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
84	3, 83	eqeltri 2856	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,)))
86	2, 58, 59, 73, 75, 76, 60, 85	dvmptres 26283	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
87		2m1e1 12467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
88	87	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
89	8	exp1d 14284	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑1) = 𝑥)
90	88, 89	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
91	90	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
92	91	mpteq2ia 5199	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · 𝑥))
93	86, 92	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · 𝑥)))
94		logf1o 26892	. . . . . . . . 9 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
95		f1of 6824	. . . . . . . . 9 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
96	94, 95	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
97		snssi 4745	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (-∞(,]0) → {0} ⊆ (-∞(,]0))
98	48, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (-∞(,]0)
99		sscon 4079	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ⊆ (-∞(,]0) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
100	98, 99	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
101	96, 100	feqresmpt 6954	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)))
102	101	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))))
103		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
104	103	dvlog 26979	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
105	102, 104	eqtr3di 2810	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
106		fveq2 6885	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥↑2) → (log‘𝑦) = (log‘(𝑥↑2)))
107		oveq2 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥↑2) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥↑2)))
108	2, 18, 40, 41, 54, 55, 93, 105, 106, 107	dvmptco 26292	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘(𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥))))
109		2cnd 12421	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
110		2ne0 12449	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
111	110	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
112	2, 15, 16, 108, 109, 111	dvmptdivc 26285	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)))
113	112	mptru 1576	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2))
114	7	resqcld 14268	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
115	114, 13	rereccld 12144	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
116	115	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
117		2cnd 12421	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ∈ ℂ)
118	116, 117, 8	mul12d 11519	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) = (2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)))
119	118	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2))
120	116, 8	mulcld 11329	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
121	110	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ≠ 0)
122	120, 117, 121	divcan3d 12098	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2) = ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥))
123	8	sqvald 14286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
124	123	oveq2d 7436	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
125	124	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
126	8, 8, 10, 10	recdiv2d 12111	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 𝑥) / 𝑥) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
127	126	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
128	8, 10	reccld 12086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
129	128, 8, 10	divcan1d 12094	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
130	125, 127, 129	3eqtr2d 2801	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
131	119, 122, 130	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = (1 / 𝑥))
132	131	mpteq2ia 5199	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
133	113, 132	eqtri 2783	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045   ∩ cin 4089  ∅c0 4278  {csn 4583  {cpr 4585   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ran crn 5651   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   · cmul 11205  +∞cpnf 11340  -∞cmnf 11341  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℝ⁺crp 13120  (,)cioo 13476  (,]cioc 13477  ↑cexp 14204  TopOpenctopn 17592  topGenctg 17608  ℂ_fldccnfld 21678  Clsdccld 23334  Hauscha 23626   D cdv 26183  logclog 26882

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-bc 14447  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-ef 16233  df-sin 16235  df-cos 16236  df-tan 16237  df-pi 16238  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-t1 23632  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187  df-log 26884

This theorem is used by: (None)