Theorem readvrec2 42391

Description: The antiderivative of 1/x in real numbers, without using the absolute value function. (Contributed by SN, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
redvabs.d	⊢ 𝐷 = (ℝ ∖ {0})

Assertion

Ref	Expression
readvrec2	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem readvrec2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11247	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		redvabs.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℝ ∖ {0})
4	3	eleq2i 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
5		eldifsn 4786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	4, 5	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
7	6	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14184	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
10	6	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
11		sqne0 14163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
13	10, 12	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ≠ 0)
14	9, 13	logcld 26612	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
16		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) ∈ V)
17		cnelprrecn 11248	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
19		incom 4209	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ((-∞(,]0) ∩ ℝ+)
20		dfrp2 13436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
21	20	ineq2i 4217	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,]0) ∩ ℝ+) = ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞))
22		mnfxr 11318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
24		0xr 11308	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
26		pnfxr 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
28	23, 25, 27	iocioodisjd 42355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅)
29	28	mptru 1547	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅
30	19, 21, 29	3eqtri 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅
31		disjdif2 4480	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+
33		rpsscn 42333	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
34		ssdif 4144	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
36	32, 35	eqsstrri 4031	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
37	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
38		sqn0rp 14167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
39	7, 37, 38	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
40	36, 39	sselid 3981	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑2) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
41		ovexd 7466	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (2 · 𝑥) ∈ V)
42		eldifi 4131	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
43		eldifn 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
44		mnflt0 13167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
45		0le0 12367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
46		elioc1 13429	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
47	22, 24, 46	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0))
48	24, 44, 45, 47	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (-∞(,]0)
49		eleq1 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (-∞(,]0) ↔ 0 ∈ (-∞(,]0)))
50	48, 49	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
51	50	necon3bi 2967	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0) → 𝑦 ≠ 0)
52	43, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
53	42, 52	logcld 26612	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
54	53	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
55		ovexd 7466	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ V)
56		recn 11245	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
57	56	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	sqcld 14184	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
59		ovexd 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
60		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
61		cnopn 24807	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld)
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
63		ax-resscn 11212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
64		dfss2 3969	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
65	63, 64	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
67		sqcl 14158	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
68	67	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
69		ovexd 7466	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
70		2nn 12339	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
71		dvexp 25991	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
72	70, 71	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
73	60, 2, 62, 66, 68, 69, 72	dvmptres3 25994	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
74	7	ssriv 3987	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℝ)
76		tgioo4 24826	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
77		rehaus 24820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
78		0re 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		uniretop 24783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
80	79	sncld 23379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℝ) → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
81	77, 78, 80	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
82	79	cldopn 23039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
84	3, 83	eqeltri 2837	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,)))
86	2, 58, 59, 73, 75, 76, 60, 85	dvmptres 26001	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
87		2m1e1 12392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
88	87	oveq2i 7442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
89	8	exp1d 14181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑1) = 𝑥)
90	88, 89	eqtrid 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
91	90	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
92	91	mpteq2ia 5245	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · 𝑥))
93	86, 92	eqtrdi 2793	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · 𝑥)))
94		logf1o 26606	. . . . . . . . 9 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
95		f1of 6848	. . . . . . . . 9 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
96	94, 95	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
97		snssi 4808	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (-∞(,]0) → {0} ⊆ (-∞(,]0))
98	48, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (-∞(,]0)
99		sscon 4143	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ⊆ (-∞(,]0) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
100	98, 99	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
101	96, 100	feqresmpt 6978	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)))
102	101	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))))
103		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
104	103	dvlog 26693	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
105	102, 104	eqtr3di 2792	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
106		fveq2 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥↑2) → (log‘𝑦) = (log‘(𝑥↑2)))
107		oveq2 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥↑2) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥↑2)))
108	2, 18, 40, 41, 54, 55, 93, 105, 106, 107	dvmptco 26010	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘(𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥))))
109		2cnd 12344	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
110		2ne0 12370	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
111	110	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
112	2, 15, 16, 108, 109, 111	dvmptdivc 26003	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)))
113	112	mptru 1547	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2))
114	7	resqcld 14165	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
115	114, 13	rereccld 12094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
116	115	recnd 11289	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
117		2cnd 12344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ∈ ℂ)
118	116, 117, 8	mul12d 11470	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) = (2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)))
119	118	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2))
120	116, 8	mulcld 11281	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
121	110	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ≠ 0)
122	120, 117, 121	divcan3d 12048	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2) = ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥))
123	8	sqvald 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
124	123	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
125	124	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
126	8, 8, 10, 10	recdiv2d 12061	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 𝑥) / 𝑥) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
127	126	oveq1d 7446	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
128	8, 10	reccld 12036	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
129	128, 8, 10	divcan1d 12044	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
130	125, 127, 129	3eqtr2d 2783	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
131	119, 122, 130	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = (1 / 𝑥))
132	131	mpteq2ia 5245	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
133	113, 132	eqtri 2765	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225  ran crn 5686   ↾ cres 5687  ⟶wf 6557  –1-1-onto→wf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  ℝ^*cxr 11294   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492   / cdiv 11920  ℕcn 12266  2c2 12321  ℝ⁺crp 13034  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  ↑cexp 14102  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  ℂ_fldccnfld 21364  Clsdccld 23024  Hauscha 23316   D cdv 25898  logclog 26596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598

This theorem is referenced by: (None)