Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  readvrec2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem readvrec2 42391
Description: The antiderivative of 1/x in real numbers, without using the absolute value function. (Contributed by SN, 1-Oct-2025.)
Hypothesis
Ref Expression
redvabs.d 𝐷 = (ℝ ∖ {0})
Assertion
Ref Expression
readvrec2 (ℝ D (𝑥𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem readvrec2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reelprrecn 11247 . . . . 5 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3 redvabs.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (ℝ ∖ {0})
43eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐷𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
5 eldifsn 4786 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
64, 5bitri 275 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
76simplbi 497 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℝ)
87recnd 11289 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ∈ ℂ)
98sqcld 14184 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
106simprbi 496 . . . . . . 7 (𝑥𝐷𝑥 ≠ 0)
11 sqne0 14163 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
128, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
1310, 12mpbird 257 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ≠ 0)
149, 13logcld 26612 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
1514adantl 481 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
16 ovexd 7466 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) ∈ V)
17 cnelprrecn 11248 . . . . . 6 ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
1817a1i 11 . . . . 5 (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
19 incom 4209 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ((-∞(,]0) ∩ ℝ+)
20 dfrp2 13436 . . . . . . . . . 10 + = (0(,)+∞)
2120ineq2i 4217 . . . . . . . . 9 ((-∞(,]0) ∩ ℝ+) = ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞))
22 mnfxr 11318 . . . . . . . . . . . 12 -∞ ∈ ℝ*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
24 0xr 11308 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ*
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
26 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . 12 +∞ ∈ ℝ*
2726a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
2823, 25, 27iocioodisjd 42355 . . . . . . . . . 10 (⊤ → ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅)
2928mptru 1547 . . . . . . . . 9 ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅
3019, 21, 293eqtri 2769 . . . . . . . 8 (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅
31 disjdif2 4480 . . . . . . . 8 ((ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+)
3230, 31ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+
33 rpsscn 42333 . . . . . . . 8 + ⊆ ℂ
34 ssdif 4144 . . . . . . . 8 (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
3533, 34ax-mp 5 . . . . . . 7 (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3632, 35eqsstrri 4031 . . . . . 6 + ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
3710adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
38 sqn0rp 14167 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
397, 37, 38syl2an2 686 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
4036, 39sselid 3981 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (𝑥↑2) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
41 ovexd 7466 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥𝐷) → (2 · 𝑥) ∈ V)
42 eldifi 4131 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
43 eldifn 4132 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
44 mnflt0 13167 . . . . . . . . . . 11 -∞ < 0
45 0le0 12367 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 0
46 elioc1 13429 . . . . . . . . . . . 12 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
4722, 24, 46mp2an 692 . . . . . . . . . . 11 (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0))
4824, 44, 45, 47mpbir3an 1342 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (-∞(,]0)
49 eleq1 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (-∞(,]0) ↔ 0 ∈ (-∞(,]0)))
5048, 49mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 0 → 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
5150necon3bi 2967 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ (-∞(,]0) → 𝑦 ≠ 0)
5243, 51syl 17 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
5342, 52logcld 26612 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
5453adantl 481 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
55 ovexd 7466 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ V)
56 recn 11245 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
5756adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
5857sqcld 14184 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
59 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
60 eqid 2737 . . . . . . . 8 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
61 cnopn 24807 . . . . . . . . 9 ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld)
6261a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
63 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . 10 ℝ ⊆ ℂ
64 dfss2 3969 . . . . . . . . . 10 (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
6563, 64mpbi 230 . . . . . . . . 9 (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
6665a1i 11 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
67 sqcl 14158 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
6867adantl 481 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
69 ovexd 7466 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
70 2nn 12339 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
71 dvexp 25991 . . . . . . . . 9 (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
7270, 71mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
7360, 2, 62, 66, 68, 69, 72dvmptres3 25994 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
747ssriv 3987 . . . . . . . 8 𝐷 ⊆ ℝ
7574a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐷 ⊆ ℝ)
76 tgioo4 24826 . . . . . . 7 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
77 rehaus 24820 . . . . . . . . . . 11 (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
78 0re 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
79 uniretop 24783 . . . . . . . . . . . 12 ℝ = (topGen‘ran (,))
8079sncld 23379 . . . . . . . . . . 11 (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℝ) → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
8177, 78, 80mp2an 692 . . . . . . . . . 10 {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
8279cldopn 23039 . . . . . . . . . 10 ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
8381, 82ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
843, 83eqeltri 2837 . . . . . . . 8 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))
8584a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,)))
862, 58, 59, 73, 75, 76, 60, 85dvmptres 26001 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
87 2m1e1 12392 . . . . . . . . . 10 (2 − 1) = 1
8887oveq2i 7442 . . . . . . . . 9 (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
898exp1d 14181 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐷 → (𝑥↑1) = 𝑥)
9088, 89eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
9190oveq2d 7447 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
9291mpteq2ia 5245 . . . . . 6 (𝑥𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥𝐷 ↦ (2 · 𝑥))
9386, 92eqtrdi 2793 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥𝐷 ↦ (2 · 𝑥)))
94 logf1o 26606 . . . . . . . . 9 log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
95 f1of 6848 . . . . . . . . 9 (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
9694, 95mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
97 snssi 4808 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (-∞(,]0) → {0} ⊆ (-∞(,]0))
9848, 97ax-mp 5 . . . . . . . . 9 {0} ⊆ (-∞(,]0)
99 sscon 4143 . . . . . . . . 9 ({0} ⊆ (-∞(,]0) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
10098, 99mp1i 13 . . . . . . . 8 (⊤ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
10196, 100feqresmpt 6978 . . . . . . 7 (⊤ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)))
102101oveq2d 7447 . . . . . 6 (⊤ → (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))))
103 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
104103dvlog 26693 . . . . . 6 (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
105102, 104eqtr3di 2792 . . . . 5 (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
106 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥↑2) → (log‘𝑦) = (log‘(𝑥↑2)))
107 oveq2 7439 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥↑2) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥↑2)))
1082, 18, 40, 41, 54, 55, 93, 105, 106, 107dvmptco 26010 . . . 4 (⊤ → (ℝ D (𝑥𝐷 ↦ (log‘(𝑥↑2)))) = (𝑥𝐷 ↦ ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥))))
109 2cnd 12344 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
110 2ne0 12370 . . . . 5 2 ≠ 0
111110a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ≠ 0)
1122, 15, 16, 108, 109, 111dvmptdivc 26003 . . 3 (⊤ → (ℝ D (𝑥𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)))
113112mptru 1547 . 2 (ℝ D (𝑥𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2))
1147resqcld 14165 . . . . . . . 8 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
115114, 13rereccld 12094 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
116115recnd 11289 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
117 2cnd 12344 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → 2 ∈ ℂ)
118116, 117, 8mul12d 11470 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) = (2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)))
119118oveq1d 7446 . . . 4 (𝑥𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2))
120116, 8mulcld 11281 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
121110a1i 11 . . . . 5 (𝑥𝐷 → 2 ≠ 0)
122120, 117, 121divcan3d 12048 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2) = ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥))
1238sqvald 14183 . . . . . . 7 (𝑥𝐷 → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
124123oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
125124oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
1268, 8, 10, 10recdiv2d 12061 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → ((1 / 𝑥) / 𝑥) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
127126oveq1d 7446 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
1288, 10reccld 12036 . . . . . 6 (𝑥𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
129128, 8, 10divcan1d 12044 . . . . 5 (𝑥𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
130125, 127, 1293eqtr2d 2783 . . . 4 (𝑥𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
131119, 122, 1303eqtrd 2781 . . 3 (𝑥𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = (1 / 𝑥))
132131mpteq2ia 5245 . 2 (𝑥𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
133113, 132eqtri 2765 1 (ℝ D (𝑥𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wtru 1541  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  wss 3951  c0 4333  {csn 4626  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  -∞cmnf 11293  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  +crp 13034  (,)cioo 13387  (,]cioc 13388  cexp 14102  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  Clsdccld 23024  Hauscha 23316   D cdv 25898  logclog 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-tan 16107  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-t1 23322  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator