Theorem readvrec2 43049

Description: The antiderivative of 1/x in real numbers, without using the absolute value function. (Contributed by SN, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
redvabs.d	⊢ 𝐷 = (ℝ ∖ {0})

Assertion

Ref	Expression
readvrec2	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem readvrec2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11194	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		redvabs.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℝ ∖ {0})
4	3	eleq2i 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
5		eldifsn 4758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	4, 5	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
7	6	simplbi 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14182	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
10	6	simprbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
11		sqne0 14161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
12	8, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
13	10, 12	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ≠ 0)
14	9, 13	logcld 26703	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
15	14	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
16		ovexd 7448	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) ∈ V)
17		cnelprrecn 11195	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
19		incom 4170	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ((-∞(,]0) ∩ ℝ+)
20		dfrp2 13423	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
21	20	ineq2i 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,]0) ∩ ℝ+) = ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞))
22		mnfxr 11268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
24		0xr 11258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
26		pnfxr 11265	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
28	23, 25, 27	iocioodisjd 43008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅)
29	28	mptru 1574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅
30	19, 21, 29	3eqtri 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅
31		disjdif2 4446	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+
33		rpsscn 42987	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
34		ssdif 4106	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
36	32, 35	eqsstrri 3992	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
37	10	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
38		sqn0rp 14165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
39	7, 37, 38	syl2an2 698	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
40	36, 39	sselid 3943	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑2) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
41		ovexd 7448	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (2 · 𝑥) ∈ V)
42		eldifi 4093	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
43		eldifn 4094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
44		mnflt0 13152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
45		0le0 12344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
46		elioc1 13416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
47	22, 24, 46	mp2an 704	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0))
48	24, 44, 45, 47	mpbir3an 1358	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (-∞(,]0)
49		eleq1 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (-∞(,]0) ↔ 0 ∈ (-∞(,]0)))
50	48, 49	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
51	50	necon3bi 2990	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0) → 𝑦 ≠ 0)
52	43, 51	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
53	42, 52	logcld 26703	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
54	53	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
55		ovexd 7448	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ V)
56		recn 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
57	56	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	sqcld 14182	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
59		ovexd 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
60		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
61		cnopn 24914	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld)
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
63		ax-resscn 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
64		dfss2 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
65	63, 64	mpbi 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
67		sqcl 14156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
68	67	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
69		ovexd 7448	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
70		2nn 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
71		dvexp 26083	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
72	70, 71	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
73	60, 2, 62, 66, 68, 69, 72	dvmptres3 26086	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
74	7	ssriv 3949	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℝ)
76		tgioo4 24933	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
77		rehaus 24927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
78		0re 11212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		uniretop 24890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
80	79	sncld 23499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℝ) → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
81	77, 78, 80	mp2an 704	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
82	79	cldopn 23159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
84	3, 83	eqeltri 2865	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,)))
86	2, 58, 59, 73, 75, 76, 60, 85	dvmptres 26093	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
87		2m1e1 12367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
88	87	oveq2i 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
89	8	exp1d 14179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑1) = 𝑥)
90	88, 89	eqtrid 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
91	90	oveq2d 7429	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
92	91	mpteq2ia 5210	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · 𝑥))
93	86, 92	eqtrdi 2820	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · 𝑥)))
94		logf1o 26697	. . . . . . . . 9 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
95		f1of 6823	. . . . . . . . 9 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
96	94, 95	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
97		snssi 4756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (-∞(,]0) → {0} ⊆ (-∞(,]0))
98	48, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (-∞(,]0)
99		sscon 4105	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ⊆ (-∞(,]0) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
100	98, 99	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
101	96, 100	feqresmpt 6953	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)))
102	101	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))))
103		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
104	103	dvlog 26784	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
105	102, 104	eqtr3di 2819	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
106		fveq2 6884	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥↑2) → (log‘𝑦) = (log‘(𝑥↑2)))
107		oveq2 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥↑2) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥↑2)))
108	2, 18, 40, 41, 54, 55, 93, 105, 106, 107	dvmptco 26102	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘(𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥))))
109		2cnd 12321	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
110		2ne0 12349	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
111	110	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
112	2, 15, 16, 108, 109, 111	dvmptdivc 26095	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)))
113	112	mptru 1574	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2))
114	7	resqcld 14163	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
115	114, 13	rereccld 12044	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
116	115	recnd 11239	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
117		2cnd 12321	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ∈ ℂ)
118	116, 117, 8	mul12d 11421	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) = (2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)))
119	118	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2))
120	116, 8	mulcld 11231	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
121	110	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ≠ 0)
122	120, 117, 121	divcan3d 11998	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2) = ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥))
123	8	sqvald 14181	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
124	123	oveq2d 7429	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
125	124	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
126	8, 8, 10, 10	recdiv2d 12011	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 𝑥) / 𝑥) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
127	126	oveq1d 7428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
128	8, 10	reccld 11986	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
129	128, 8, 10	divcan1d 11994	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
130	125, 127, 129	3eqtr2d 2810	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
131	119, 122, 130	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = (1 / 𝑥))
132	131	mpteq2ia 5210	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
133	113, 132	eqtri 2792	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567  ⊤wtru 1568   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  {csn 4594  {cpr 4596   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ran crn 5665   ↾ cres 5666  ⟶wf 6535  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7413  ℂcc 11100  ℝcr 11101  0cc0 11102  1c1 11103   · cmul 11107  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   − cmin 11443   / cdiv 11873  ℕcn 12235  2c2 12297  ℝ⁺crp 13018  (,)cioo 13374  (,]cioc 13375  ↑cexp 14099  TopOpenctopn 17476  topGenctg 17492  ℂ_fldccnfld 21493  Clsdccld 23144  Hauscha 23436   D cdv 25993  logclog 26687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5273  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7735  ax-inf2 9612  ax-cnex 11158  ax-resscn 11159  ax-1cn 11160  ax-icn 11161  ax-addcl 11162  ax-addrcl 11163  ax-mulcl 11164  ax-mulrcl 11165  ax-mulcom 11166  ax-addass 11167  ax-mulass 11168  ax-distr 11169  ax-i2m1 11170  ax-1ne0 11171  ax-1rid 11172  ax-rnegex 11173  ax-rrecex 11174  ax-cnre 11175  ax-pre-lttri 11176  ax-pre-lttrn 11177  ax-pre-ltadd 11178  ax-pre-mulgt0 11179  ax-pre-sup 11180  ax-addf 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7677  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9324  df-fi 9373  df-sup 9404  df-inf 9405  df-oi 9474  df-card 9927  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11874  df-nn 12236  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12865  df-q 12975  df-rp 13019  df-xneg 13139  df-xadd 13140  df-xmul 13141  df-ioo 13378  df-ioc 13379  df-ico 13380  df-icc 13381  df-fz 13538  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16123  df-sin 16125  df-cos 16126  df-tan 16127  df-pi 16128  df-struct 17209  df-sets 17226  df-slot 17244  df-ndx 17256  df-base 17272  df-ress 17293  df-plusg 17325  df-mulr 17326  df-starv 17327  df-sca 17328  df-vsca 17329  df-ip 17330  df-tset 17331  df-ple 17332  df-ds 17334  df-unif 17335  df-hom 17336  df-cco 17337  df-rest 17477  df-topn 17478  df-0g 17496  df-gsum 17497  df-topgen 17498  df-pt 17499  df-prds 17502  df-xrs 17558  df-qtop 17563  df-imas 17564  df-xps 17566  df-mre 17640  df-mrc 17641  df-acs 17643  df-mgm 18700  df-sgrp 18779  df-mnd 18795  df-submnd 18844  df-mulg 19136  df-cntz 19389  df-cmn 19854  df-psmet 21485  df-xmet 21486  df-met 21487  df-bl 21488  df-mopn 21489  df-fbas 21490  df-fg 21491  df-cnfld 21494  df-top 23022  df-topon 23039  df-topsp 23061  df-bases 23074  df-cld 23147  df-ntr 23148  df-cls 23149  df-nei 23226  df-lp 23264  df-perf 23265  df-cn 23355  df-cnp 23356  df-t1 23442  df-haus 23443  df-cmp 23515  df-tx 23690  df-hmeo 23883  df-fil 23974  df-fm 24066  df-flim 24067  df-flf 24068  df-xms 24448  df-ms 24449  df-tms 24450  df-cncf 25008  df-limc 25996  df-dv 25997  df-log 26689

This theorem is referenced by: (None)