Theorem readvrec2 42453

Description: The antiderivative of 1/x in real numbers, without using the absolute value function. (Contributed by SN, 1-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
redvabs.d	⊢ 𝐷 = (ℝ ∖ {0})

Assertion

Ref	Expression
readvrec2	⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem readvrec2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reelprrecn 11098	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
3		redvabs.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (ℝ ∖ {0})
4	3	eleq2i 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}))
5		eldifsn 4735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
6	4, 5	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0))
7	6	simplbi 497	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14051	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
10	6	simprbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
11		sqne0 14030	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
12	8, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((𝑥↑2) ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 0))
13	10, 12	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ≠ 0)
14	9, 13	logcld 26506	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (log‘(𝑥↑2)) ∈ ℂ)
16		ovexd 7381	. . . 4 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) ∈ V)
17		cnelprrecn 11099	. . . . . 6 ⊢ ℂ ∈ {ℝ, ℂ}
18	17	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ {ℝ, ℂ})
19		incom 4156	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ((-∞(,]0) ∩ ℝ+)
20		dfrp2 13294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
21	20	ineq2i 4164	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,]0) ∩ ℝ+) = ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞))
22		mnfxr 11169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → -∞ ∈ ℝ*)
24		0xr 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ*
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ*)
26		pnfxr 11166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → +∞ ∈ ℝ*)
28	23, 25, 27	iocioodisjd 42412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅)
29	28	mptru 1548	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-∞(,]0) ∩ (0(,)+∞)) = ∅
30	19, 21, 29	3eqtri 2758	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅
31		disjdif2 4427	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ+ ∩ (-∞(,]0)) = ∅ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) = ℝ+
33		rpsscn 42391	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ+ ⊆ ℂ
34		ssdif 4091	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ+ ⊆ ℂ → (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
35	33, 34	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ+ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
36	32, 35	eqsstrri 3977	. . . . . 6 ⊢ ℝ+ ⊆ (ℂ ∖ (-∞(,]0))
37	10	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ≠ 0)
38		sqn0rp 14034	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
39	7, 37, 38	syl2an2 686	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑2) ∈ ℝ+)
40	36, 39	sselid 3927	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝑥↑2) ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))
41		ovexd 7381	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (2 · 𝑥) ∈ V)
42		eldifi 4078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ∈ ℂ)
43		eldifn 4079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → ¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
44		mnflt0 13024	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -∞ < 0
45		0le0 12226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ≤ 0
46		elioc1 13287	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0)))
47	22, 24, 46	mp2an 692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ (-∞(,]0) ↔ (0 ∈ ℝ* ∧ -∞ < 0 ∧ 0 ≤ 0))
48	24, 44, 45, 47	mpbir3an 1342	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ (-∞(,]0)
49		eleq1 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 0 → (𝑦 ∈ (-∞(,]0) ↔ 0 ∈ (-∞(,]0)))
50	48, 49	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 0 → 𝑦 ∈ (-∞(,]0))
51	50	necon3bi 2954	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ (-∞(,]0) → 𝑦 ≠ 0)
52	43, 51	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → 𝑦 ≠ 0)
53	42, 52	logcld 26506	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
54	53	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (log‘𝑦) ∈ ℂ)
55		ovexd 7381	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) → (1 / 𝑦) ∈ V)
56		recn 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
57	56	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
58	57	sqcld 14051	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
59		ovexd 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
60		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
61		cnopn 24701	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld)
62	61	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → ℂ ∈ (TopOpen‘ℂfld))
63		ax-resscn 11063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
64		dfss2 3915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ ↔ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
65	63, 64	mpbi 230	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∩ ℂ) = ℝ
66	65	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℝ ∩ ℂ) = ℝ)
67		sqcl 14025	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
68	67	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥↑2) ∈ ℂ)
69		ovexd 7381	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) ∈ V)
70		2nn 12198	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
71		dvexp 25884	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℕ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
72	70, 71	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑥 ∈ ℂ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
73	60, 2, 62, 66, 68, 69, 72	dvmptres3 25887	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
74	7	ssriv 3933	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ⊆ ℝ
75	74	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐷 ⊆ ℝ)
76		tgioo4 24720	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
77		rehaus 24714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Haus
78		0re 11114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
79		uniretop 24677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
80	79	sncld 23286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Haus ∧ 0 ∈ ℝ) → {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
81	77, 78, 80	mp2an 692	. . . . . . . . . 10 ⊢ {0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
82	79	cldopn 22946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0} ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,)))
83	81, 82	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∖ {0}) ∈ (topGen‘ran (,))
84	3, 83	eqeltri 2827	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,))
85	84	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 𝐷 ∈ (topGen‘ran (,)))
86	2, 58, 59, 73, 75, 76, 60, 85	dvmptres 25894	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))))
87		2m1e1 12246	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 − 1) = 1
88	87	oveq2i 7357	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥↑(2 − 1)) = (𝑥↑1)
89	8	exp1d 14048	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑1) = 𝑥)
90	88, 89	eqtrid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑(2 − 1)) = 𝑥)
91	90	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (2 · (𝑥↑(2 − 1))) = (2 · 𝑥))
92	91	mpteq2ia 5184	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · (𝑥↑(2 − 1)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · 𝑥))
93	86, 92	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝑥↑2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (2 · 𝑥)))
94		logf1o 26500	. . . . . . . . 9 ⊢ log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log
95		f1of 6763	. . . . . . . . 9 ⊢ (log:(ℂ ∖ {0})–1-1-onto→ran log → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
96	94, 95	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → log:(ℂ ∖ {0})⟶ran log)
97		snssi 4757	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (-∞(,]0) → {0} ⊆ (-∞(,]0))
98	48, 97	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ {0} ⊆ (-∞(,]0)
99		sscon 4090	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0} ⊆ (-∞(,]0) → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
100	98, 99	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ (ℂ ∖ {0}))
101	96, 100	feqresmpt 6891	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦)))
102	101	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))))
103		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
104	103	dvlog 26587	. . . . . 6 ⊢ (ℂ D (log ↾ (ℂ ∖ (-∞(,]0)))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦))
105	102, 104	eqtr3di 2781	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℂ D (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (log‘𝑦))) = (𝑦 ∈ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ↦ (1 / 𝑦)))
106		fveq2 6822	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥↑2) → (log‘𝑦) = (log‘(𝑥↑2)))
107		oveq2 7354	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥↑2) → (1 / 𝑦) = (1 / (𝑥↑2)))
108	2, 18, 40, 41, 54, 55, 93, 105, 106, 107	dvmptco 25903	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (log‘(𝑥↑2)))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥))))
109		2cnd 12203	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
110		2ne0 12229	. . . . 5 ⊢ 2 ≠ 0
111	110	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → 2 ≠ 0)
112	2, 15, 16, 108, 109, 111	dvmptdivc 25896	. . 3 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)))
113	112	mptru 1548	. 2 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2))
114	7	resqcld 14032	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) ∈ ℝ)
115	114, 13	rereccld 11948	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℝ)
116	115	recnd 11140	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) ∈ ℂ)
117		2cnd 12203	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ∈ ℂ)
118	116, 117, 8	mul12d 11322	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) = (2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)))
119	118	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2))
120	116, 8	mulcld 11132	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) ∈ ℂ)
121	110	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 2 ≠ 0)
122	120, 117, 121	divcan3d 11902	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((2 · ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥)) / 2) = ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥))
123	8	sqvald 14050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (𝑥↑2) = (𝑥 · 𝑥))
124	123	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / (𝑥↑2)) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
125	124	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
126	8, 8, 10, 10	recdiv2d 11915	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / 𝑥) / 𝑥) = (1 / (𝑥 · 𝑥)))
127	126	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = ((1 / (𝑥 · 𝑥)) · 𝑥))
128	8, 10	reccld 11890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (1 / 𝑥) ∈ ℂ)
129	128, 8, 10	divcan1d 11898	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / 𝑥) / 𝑥) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
130	125, 127, 129	3eqtr2d 2772	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → ((1 / (𝑥↑2)) · 𝑥) = (1 / 𝑥))
131	119, 122, 130	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2) = (1 / 𝑥))
132	131	mpteq2ia 5184	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (((1 / (𝑥↑2)) · (2 · 𝑥)) / 2)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))
133	113, 132	eqtri 2754	1 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ ((log‘(𝑥↑2)) / 2))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (1 / 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  {csn 4573  {cpr 4575   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ran crn 5615   ↾ cres 5616  ⟶wf 6477  –1-1-onto→wf1o 6480  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   · cmul 11011  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147   − cmin 11344   / cdiv 11774  ℕcn 12125  2c2 12180  ℝ⁺crp 12890  (,)cioo 13245  (,]cioc 13246  ↑cexp 13968  TopOpenctopn 17325  topGenctg 17341  ℂ_fldccnfld 21291  Clsdccld 22931  Hauscha 23223   D cdv 25791  logclog 26490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-fi 9295  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-tan 15978  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-mulg 18981  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-fbas 21288  df-fg 21289  df-cnfld 21292  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22861  df-cld 22934  df-ntr 22935  df-cls 22936  df-nei 23013  df-lp 23051  df-perf 23052  df-cn 23142  df-cnp 23143  df-t1 23229  df-haus 23230  df-cmp 23302  df-tx 23477  df-hmeo 23670  df-fil 23761  df-fm 23853  df-flim 23854  df-flf 23855  df-xms 24235  df-ms 24236  df-tms 24237  df-cncf 24798  df-limc 25794  df-dv 25795  df-log 26492

This theorem is referenced by: (None)