MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nzerooringczr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzerooringczr 21393
Description: There is no zero object in the category of unital rings (at least in a universe which contains the zero ring and the ring of integers). Example 7.9 (3) in [Adamek] p. 103. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzerooringczr.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
nzerooringczr.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
nzerooringczr.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing))
nzerooringczr.e (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
nzerooringczr.i (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nzerooringczr (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)

Proof of Theorem nzerooringczr
Dummy variables 𝑓 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 ((ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ… β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
2 neq0 4341 . . 3 (Β¬ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ… ↔ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ))
3 nzerooringczr.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 nzerooringczr.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
54ringccat 20585 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 iszeroi 17989 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ Cat ∧ β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))))
86, 7sylan 579 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))))
9 nzerooringczr.z . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing))
10 nzerooringczr.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
113, 4, 9, 10zrtermoringc 20597 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ))
12 nzerooringczr.i . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
133, 12, 4irinitoringc 21392 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))
146ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))
1714, 15, 16initoeu1w 17992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring)
186ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ))
20 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))
2118, 19, 20termoeu1w 17999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž)
22 cictr 17779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž ∧ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring) β†’ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring)
236, 22syl3an1 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž ∧ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring) β†’ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring)
24 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Isoβ€˜πΆ) = (Isoβ€˜πΆ)
25 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
269eldifad 3956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2710, 26elind 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
284, 25, 3ringcbas 20572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Ring))
2927, 28eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
30 zringring 21362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 β„€ring ∈ Ring
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ Ring)
3212, 31elind 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
3332, 28eleqtrrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3424, 25, 6, 29, 33cic 17773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring)))
35 n0 4342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring))
36 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3725, 36, 24, 6, 29, 33isohom 17750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring))
38 ssn0 4396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) ∧ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ…) β†’ (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ…)
394, 25, 3, 36, 29, 33ringchom 20574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) = (𝑍 RingHom β„€ring))
4039neeq1d 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ ((𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… ↔ (𝑍 RingHom β„€ring) β‰  βˆ…))
41 zringnzr 21373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 β„€ring ∈ NzRing
42 nrhmzr 20463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing) ∧ β„€ring ∈ NzRing) β†’ (𝑍 RingHom β„€ring) = βˆ…)
439, 41, 42sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ (𝑍 RingHom β„€ring) = βˆ…)
44 eqneqall 2946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑍 RingHom β„€ring) = βˆ… β†’ ((𝑍 RingHom β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ ((𝑍 RingHom β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
4640, 45sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ ((𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
4738, 46syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) ∧ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ…) β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
4847expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… β†’ ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
4948com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β†’ ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
5037, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
5135, 50biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
5234, 51sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
53523ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž ∧ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring) β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
5423, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž ∧ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)
55543exp 1117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
5655a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
5958exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6059com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6160com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6317, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
6463ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6564com25 99 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6665expimpd 453 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6766com23 86 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ ((β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6867impd 410 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
6968com24 95 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
7013, 69mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
7111, 70mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
7271adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ)) β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
738, 72mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ)) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)
7473expcom 413 . . . 4 (β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
7574exlimiv 1926 . . 3 (βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
762, 75sylbi 216 . 2 (Β¬ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ… β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
771, 76pm2.61i 182 1 (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βˆƒwex 1774   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  Hom chom 17235  Catccat 17635  Isociso 17720   ≃𝑐 ccic 17769  InitOcinito 17961  TermOctermo 17962  ZeroOczeroo 17963  Ringcrg 20164   RingHom crh 20397  NzRingcnzr 20440  RingCatcringc 20567  β„€ringczring 21359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-seq 13991  df-hash 14314  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-cat 17639  df-cid 17640  df-homf 17641  df-sect 17721  df-inv 17722  df-iso 17723  df-cic 17770  df-ssc 17784  df-resc 17785  df-subc 17786  df-inito 17964  df-termo 17965  df-zeroo 17966  df-estrc 18104  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-ghm 19159  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-rhm 20400  df-nzr 20441  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-ringc 20568  df-cnfld 21267  df-zring 21360
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator