MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nzerooringczr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzerooringczr 21340
Description: There is no zero object in the category of unital rings (at least in a universe which contains the zero ring and the ring of integers). Example 7.9 (3) in [Adamek] p. 103. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzerooringczr.u (𝜑𝑈𝑉)
nzerooringczr.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
nzerooringczr.z (𝜑𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
nzerooringczr.e (𝜑𝑍𝑈)
nzerooringczr.i (𝜑 → ℤring𝑈)
Assertion
Ref Expression
nzerooringczr (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅)

Proof of Theorem nzerooringczr
Dummy variables 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 ((ZeroO‘𝐶) = ∅ → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
2 neq0 4345 . . 3 (¬ (ZeroO‘𝐶) = ∅ ↔ ∃ ∈ (ZeroO‘𝐶))
3 nzerooringczr.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
4 nzerooringczr.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
54ringccat 20555 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 iszeroi 17969 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ Cat ∧ ∈ (ZeroO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))))
86, 7sylan 579 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))))
9 nzerooringczr.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
10 nzerooringczr.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑈)
113, 4, 9, 10zrtermoringc 20567 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (TermO‘𝐶))
12 nzerooringczr.i . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤring𝑈)
133, 12, 4irinitoringc 21339 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))
146ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
15 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → ∈ (InitO‘𝐶))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))
1714, 15, 16initoeu1w 17972 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → ( ≃𝑐𝐶)ℤring)
186ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶))
20 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → ∈ (TermO‘𝐶))
2118, 19, 20termoeu1w 17979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → 𝑍( ≃𝑐𝐶))
22 cictr 17759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑍( ≃𝑐𝐶)( ≃𝑐𝐶)ℤring) → 𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring)
236, 22syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑍( ≃𝑐𝐶)( ≃𝑐𝐶)ℤring) → 𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring)
24 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
25 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
269eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
2710, 26elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑍 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
284, 25, 3ringcbas 20542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
2927, 28eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
30 zringring 21309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ring ∈ Ring
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
3212, 31elind 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
3332, 28eleqtrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
3424, 25, 6, 29, 33cic 17753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring)))
35 n0 4346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring))
36 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3725, 36, 24, 6, 29, 33isohom 17730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring))
38 ssn0 4400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ∧ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅) → (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ≠ ∅)
394, 25, 3, 36, 29, 33ringchom 20544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) = (𝑍 RingHom ℤring))
4039neeq1d 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ ↔ (𝑍 RingHom ℤring) ≠ ∅))
41 zringnzr 21320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ring ∈ NzRing
42 nrhmzr 20433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ ℤring ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom ℤring) = ∅)
439, 41, 42sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑍 RingHom ℤring) = ∅)
44 eqneqall 2950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑍 RingHom ℤring) = ∅ → ((𝑍 RingHom ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑍 RingHom ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
4640, 45sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
4738, 46syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ∧ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅) → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
4847expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ → ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
4948com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) → ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
5037, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
5135, 50biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
5234, 51sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
53523ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑍( ≃𝑐𝐶)( ≃𝑐𝐶)ℤring) → (𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
5423, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑍( ≃𝑐𝐶)( ≃𝑐𝐶)ℤring) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)
55543exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑍( ≃𝑐𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
5655a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑍( ≃𝑐𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
5756ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → (𝑍( ≃𝑐𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
5958exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6059com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ( ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6160com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6261ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6317, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
6463ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6564com25 99 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6665expimpd 453 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6766com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶)) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6867impd 410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
6968com24 95 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
7013, 69mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
7111, 70mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
7271adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
738, 72mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)
7473expcom 413 . . . 4 ( ∈ (ZeroO‘𝐶) → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
7574exlimiv 1932 . . 3 (∃ ∈ (ZeroO‘𝐶) → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
762, 75sylbi 216 . 2 (¬ (ZeroO‘𝐶) = ∅ → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
771, 76pm2.61i 182 1 (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wex 1780  wcel 2105  wne 2939  cdif 3945  cin 3947  wss 3948  c0 4322   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  Hom chom 17215  Catccat 17615  Isociso 17700  𝑐 ccic 17749  InitOcinito 17941  TermOctermo 17942  ZeroOczeroo 17943  Ringcrg 20134   RingHom crh 20367  NzRingcnzr 20410  RingCatcringc 20537  ringczring 21306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-seq 13974  df-hash 14298  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-cat 17619  df-cid 17620  df-homf 17621  df-sect 17701  df-inv 17702  df-iso 17703  df-cic 17750  df-ssc 17764  df-resc 17765  df-subc 17766  df-inito 17944  df-termo 17945  df-zeroo 17946  df-estrc 18084  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-rhm 20370  df-nzr 20411  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-ringc 20538  df-cnfld 21234  df-zring 21307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator