Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  nzerooringczr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzerooringczr 46444
Description: There is no zero object in the category of unital rings (at least in a universe which contains the zero ring and the ring of integers). Example 7.9 (3) in [Adamek] p. 103. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzerooringczr.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
nzerooringczr.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
nzerooringczr.z (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing))
nzerooringczr.e (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
nzerooringczr.i (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
nzerooringczr (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)

Proof of Theorem nzerooringczr
Dummy variables 𝑓 β„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 ((ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ… β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
2 neq0 4310 . . 3 (Β¬ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ… ↔ βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ))
3 nzerooringczr.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 nzerooringczr.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
54ringccat 46396 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
7 iszeroi 17902 . . . . . . 7 ((𝐢 ∈ Cat ∧ β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))))
86, 7sylan 581 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))))
9 nzerooringczr.z . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing))
10 nzerooringczr.e . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ π‘ˆ)
113, 4, 9, 10zrtermoringc 46442 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ))
12 nzerooringczr.i . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
133, 12, 4irinitoringc 46441 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))
146ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
15 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ))
16 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))
1714, 15, 16initoeu1w 17905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring)
186ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ Cat)
19 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ))
20 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))
2118, 19, 20termoeu1w 17912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž)
22 cictr 17695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐢 ∈ Cat ∧ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž ∧ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring) β†’ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring)
236, 22syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž ∧ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring) β†’ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring)
24 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Isoβ€˜πΆ) = (Isoβ€˜πΆ)
25 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
269eldifad 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ Ring)
2710, 26elind 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
284, 25, 3ringcbas 46383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Ring))
2927, 28eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Baseβ€˜πΆ))
30 zringring 20888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 β„€ring ∈ Ring
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ Ring)
3212, 31elind 4159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
3332, 28eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
3424, 25, 6, 29, 33cic 17689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring)))
35 n0 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring))
36 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
3725, 36, 24, 6, 29, 33isohom 17666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring))
38 ssn0 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) ∧ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ…) β†’ (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ…)
394, 25, 3, 36, 29, 33ringchom 46385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) = (𝑍 RingHom β„€ring))
4039neeq1d 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ ((𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… ↔ (𝑍 RingHom β„€ring) β‰  βˆ…))
41 zringnzr 20897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 β„€ring ∈ NzRing
42 nrhmzr 46245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑍 ∈ (Ring βˆ– NzRing) ∧ β„€ring ∈ NzRing) β†’ (𝑍 RingHom β„€ring) = βˆ…)
439, 41, 42sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (πœ‘ β†’ (𝑍 RingHom β„€ring) = βˆ…)
44 eqneqall 2955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑍 RingHom β„€ring) = βˆ… β†’ ((𝑍 RingHom β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (πœ‘ β†’ ((𝑍 RingHom β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
4640, 45sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (πœ‘ β†’ ((𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
4738, 46syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) ∧ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ…) β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
4847expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… β†’ ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
4948com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (πœ‘ β†’ ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) βŠ† (𝑍(Hom β€˜πΆ)β„€ring) β†’ ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
5037, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (πœ‘ β†’ ((𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β‰  βˆ… β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
5135, 50biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓 ∈ (𝑍(Isoβ€˜πΆ)β„€ring) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
5234, 51sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (πœ‘ β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
53523ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((πœ‘ ∧ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž ∧ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring) β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
5423, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž ∧ β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)
55543exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (πœ‘ β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
5655a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (πœ‘ β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ (𝑍( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„Ž β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) ∧ 𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
5958exp31 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6059com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6160com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž( ≃𝑐 β€˜πΆ)β„€ring β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6317, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) ∧ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
6463ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6564com25 99 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6665expimpd 455 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6766com23 86 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ ((β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ)) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))))
6867impd 412 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
6968com24 95 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))))
7013, 69mpd 15 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑍 ∈ (TermOβ€˜πΆ) β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)))
7111, 70mpd 15 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
7271adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ)) β†’ ((β„Ž ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (β„Ž ∈ (InitOβ€˜πΆ) ∧ β„Ž ∈ (TermOβ€˜πΆ))) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
738, 72mpd 15 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ)) β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)
7473expcom 415 . . . 4 (β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
7574exlimiv 1934 . . 3 (βˆƒβ„Ž β„Ž ∈ (ZeroOβ€˜πΆ) β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
762, 75sylbi 216 . 2 (Β¬ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ… β†’ (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…))
771, 76pm2.61i 182 1 (πœ‘ β†’ (ZeroOβ€˜πΆ) = βˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  Hom chom 17151  Catccat 17551  Isociso 17636   ≃𝑐 ccic 17685  InitOcinito 17874  TermOctermo 17875  ZeroOczeroo 17876  Ringcrg 19971   RingHom crh 20152  NzRingcnzr 20743  β„€ringczring 20885  RingCatcringc 46375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-hash 14238  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-cat 17555  df-cid 17556  df-homf 17557  df-sect 17637  df-inv 17638  df-iso 17639  df-cic 17686  df-ssc 17700  df-resc 17701  df-subc 17702  df-inito 17877  df-termo 17878  df-zeroo 17879  df-estrc 18017  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-nzr 20744  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-ringc 46377
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator