MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nzerooringczr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nzerooringczr 21508
Description: There is no zero object in the category of unital rings (at least in a universe which contains the zero ring and the ring of integers). Example 7.9 (3) in [Adamek] p. 103. (Contributed by AV, 18-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
nzerooringczr.u (𝜑𝑈𝑉)
nzerooringczr.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
nzerooringczr.z (𝜑𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
nzerooringczr.e (𝜑𝑍𝑈)
nzerooringczr.i (𝜑 → ℤring𝑈)
Assertion
Ref Expression
nzerooringczr (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅)

Proof of Theorem nzerooringczr
Dummy variables 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 ((ZeroO‘𝐶) = ∅ → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
2 neq0 4357 . . 3 (¬ (ZeroO‘𝐶) = ∅ ↔ ∃ ∈ (ZeroO‘𝐶))
3 nzerooringczr.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
4 nzerooringczr.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
54ringccat 20679 . . . . . . . 8 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
7 iszeroi 18062 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ Cat ∧ ∈ (ZeroO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))))
86, 7sylan 580 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))))
9 nzerooringczr.z . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing))
10 nzerooringczr.e . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍𝑈)
113, 4, 9, 10zrtermoringc 20691 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍 ∈ (TermO‘𝐶))
12 nzerooringczr.i . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤring𝑈)
133, 12, 4irinitoringc 21507 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))
146ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
15 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → ∈ (InitO‘𝐶))
16 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))
1714, 15, 16initoeu1w 18065 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → ( ≃𝑐𝐶)ℤring)
186ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → 𝐶 ∈ Cat)
19 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶))
20 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → ∈ (TermO‘𝐶))
2118, 19, 20termoeu1w 18072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → 𝑍( ≃𝑐𝐶))
22 cictr 17852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐶 ∈ Cat ∧ 𝑍( ≃𝑐𝐶)( ≃𝑐𝐶)ℤring) → 𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring)
236, 22syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑍( ≃𝑐𝐶)( ≃𝑐𝐶)ℤring) → 𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring)
24 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Iso‘𝐶) = (Iso‘𝐶)
25 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
269eldifad 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑𝑍 ∈ Ring)
2710, 26elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝑍 ∈ (𝑈 ∩ Ring))
284, 25, 3ringcbas 20666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
2927, 28eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑𝑍 ∈ (Base‘𝐶))
30 zringring 21477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ring ∈ Ring
3130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
3212, 31elind 4209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
3332, 28eleqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
3424, 25, 6, 29, 33cic 17846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring)))
35 n0 4358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring))
36 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
3725, 36, 24, 6, 29, 33isohom 17823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring))
38 ssn0 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ∧ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅) → (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ≠ ∅)
394, 25, 3, 36, 29, 33ringchom 20668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) = (𝑍 RingHom ℤring))
4039neeq1d 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ ↔ (𝑍 RingHom ℤring) ≠ ∅))
41 zringnzr 21488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ring ∈ NzRing
42 nrhmzr 20553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑍 ∈ (Ring ∖ NzRing) ∧ ℤring ∈ NzRing) → (𝑍 RingHom ℤring) = ∅)
439, 41, 42sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → (𝑍 RingHom ℤring) = ∅)
44 eqneqall 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑍 RingHom ℤring) = ∅ → ((𝑍 RingHom ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
4543, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝜑 → ((𝑍 RingHom ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
4640, 45sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝜑 → ((𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
4738, 46syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) ∧ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅) → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
4847expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ → ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
4948com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑 → ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ⊆ (𝑍(Hom ‘𝐶)ℤring) → ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
5037, 49mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ((𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) ≠ ∅ → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
5135, 50biimtrrid 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑍(Iso‘𝐶)ℤring) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
5234, 51sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
53523ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜑𝑍( ≃𝑐𝐶)( ≃𝑐𝐶)ℤring) → (𝑍( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
5423, 53mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑍( ≃𝑐𝐶)( ≃𝑐𝐶)ℤring) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)
55543exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑍( ≃𝑐𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
5655a1dd 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑍( ≃𝑐𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
5756ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → (𝑍( ≃𝑐𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
5821, 57mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∈ (TermO‘𝐶)) ∧ 𝑍 ∈ (TermO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
5958exp31 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6059com34 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ( ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6160com25 99 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6261ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → (( ≃𝑐𝐶)ℤring → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6317, 62mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) ∧ ℤring ∈ (InitO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
6463ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6564com25 99 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∈ (InitO‘𝐶)) → ( ∈ (TermO‘𝐶) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6665expimpd 453 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶)) → ( ∈ (Base‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6766com23 86 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ( ∈ (Base‘𝐶) → (( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶)) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))))
6867impd 410 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
6968com24 95 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))))
7013, 69mpd 15 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑍 ∈ (TermO‘𝐶) → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)))
7111, 70mpd 15 . . . . . . 7 (𝜑 → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
7271adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → (( ∈ (Base‘𝐶) ∧ ( ∈ (InitO‘𝐶) ∧ ∈ (TermO‘𝐶))) → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
738, 72mpd 15 . . . . 5 ((𝜑 ∈ (ZeroO‘𝐶)) → (ZeroO‘𝐶) = ∅)
7473expcom 413 . . . 4 ( ∈ (ZeroO‘𝐶) → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
7574exlimiv 1927 . . 3 (∃ ∈ (ZeroO‘𝐶) → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
762, 75sylbi 217 . 2 (¬ (ZeroO‘𝐶) = ∅ → (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅))
771, 76pm2.61i 182 1 (𝜑 → (ZeroO‘𝐶) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  wne 2937  cdif 3959  cin 3961  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  Hom chom 17308  Catccat 17708  Isociso 17793  𝑐 ccic 17842  InitOcinito 18034  TermOctermo 18035  ZeroOczeroo 18036  Ringcrg 20250   RingHom crh 20485  NzRingcnzr 20528  RingCatcringc 20661  ringczring 21474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-hash 14366  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-cat 17712  df-cid 17713  df-homf 17714  df-sect 17794  df-inv 17795  df-iso 17796  df-cic 17843  df-ssc 17857  df-resc 17858  df-subc 17859  df-inito 18037  df-termo 18038  df-zeroo 18039  df-estrc 18177  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-rhm 20488  df-nzr 20529  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-ringc 20662  df-cnfld 21382  df-zring 21475
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator