Theorem latjidm 18399

Description: Lattice join is idempotent. Analogue of unidm 4111. (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjidm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjidm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjidm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latjidm.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	1, 4	latjcl 18376	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3anidm23 1424	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵)
7		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2	latref 18378	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
9	1, 2, 4	latjle12 18387	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋))
10	3, 7, 7, 7, 9	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋))
11	8, 8, 10	mpbi2and 713	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
12	1, 2, 4	latlej1 18385	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑋))
13	12	3anidm23 1424	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑋))
14	1, 2, 3, 6, 7, 11, 13	latasymd 18382	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  lecple 17198  joincjn 18248  Latclat 18368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-proset 18231  df-poset 18250  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-lat 18369

This theorem is referenced by:  lubsn  18419  latjjdi  18428  latjjdir  18429  cvlsupr2  39748  hlatjidm  39774  cvrat3  39847  snatpsubN  40155  dalawlem7  40282  cdleme11  40675  cdleme23b  40755  cdlemg33a  41111  trljco  41145  doca2N  41531  djajN  41542