MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjidm 17513
Description: Lattice join is idempotent. (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latidm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latidm.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjidm ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latjidm
StepHypRef Expression
1 latidm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2795 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 simpl 483 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 latidm.j . . . 4 = (join‘𝐾)
51, 4latjcl 17490 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) ∈ 𝐵)
653anidm23 1414 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) ∈ 𝐵)
7 simpr 485 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
81, 2latref 17492 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
91, 2, 4latjle12 17501 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋))
103, 7, 7, 7, 9syl13anc 1365 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋))
118, 8, 10mpbi2and 708 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
121, 2, 4latlej1 17499 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋))
13123anidm23 1414 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋))
141, 2, 3, 6, 7, 11, 13latasymd 17496 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  Latclat 17484
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-proset 17367  df-poset 17385  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-lat 17485
This theorem is referenced by:  lubsn  17533  latjjdi  17542  latjjdir  17543  cvlsupr2  36029  hlatjidm  36055  cvrat3  36128  snatpsubN  36436  dalawlem7  36563  cdleme11  36956  cdleme23b  37036  cdlemg33a  37392  trljco  37426  doca2N  37812  djajN  37823
  Copyright terms: Public domain W3C validator