Theorem latjidm 18428

Description: Lattice join is idempotent. Analogue of unidm 4123. (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjidm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjidm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjidm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latjidm.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	1, 4	latjcl 18405	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵)
7		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2	latref 18407	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
9	1, 2, 4	latjle12 18416	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋))
10	3, 7, 7, 7, 9	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋))
11	8, 8, 10	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
12	1, 2, 4	latlej1 18414	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑋))
13	12	3anidm23 1423	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑋))
14	1, 2, 3, 6, 7, 11, 13	latasymd 18411	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  lecple 17234  joincjn 18279  Latclat 18397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-proset 18262  df-poset 18281  df-lub 18312  df-glb 18313  df-join 18314  df-meet 18315  df-lat 18398

This theorem is referenced by:  lubsn  18448  latjjdi  18457  latjjdir  18458  cvlsupr2  39343  hlatjidm  39369  cvrat3  39443  snatpsubN  39751  dalawlem7  39878  cdleme11  40271  cdleme23b  40351  cdlemg33a  40707  trljco  40741  doca2N  41127  djajN  41138