Theorem latjidm 18428

Description: Lattice join is idempotent. Analogue of unidm 4097. (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjidm.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjidm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latjidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjidm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latjidm.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	1, 4	latjcl 18405	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3anidm23 1424	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) ∈ 𝐵)
7		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2	latref 18407	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
9	1, 2, 4	latjle12 18416	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋))
10	3, 7, 7, 7, 9	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋))
11	8, 8, 10	mpbi2and 713	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
12	1, 2, 4	latlej1 18414	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑋))
13	12	3anidm23 1424	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑋))
14	1, 2, 3, 6, 7, 11, 13	latasymd 18411	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lecple 17227  joincjn 18277  Latclat 18397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-lat 18398

This theorem is referenced by:  lubsn  18448  latjjdi  18457  latjjdir  18458  cvlsupr2  39789  hlatjidm  39815  cvrat3  39888  snatpsubN  40196  dalawlem7  40323  cdleme11  40716  cdleme23b  40796  cdlemg33a  41152  trljco  41186  doca2N  41572  djajN  41583