MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjidm 18461
Description: Lattice join is idempotent. Analogue of unidm 4153. (Contributed by NM, 8-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjidm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjidm.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjidm ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latjidm
StepHypRef Expression
1 latjidm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 481 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 latjidm.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
51, 4latjcl 18438 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
653anidm23 1418 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋) ∈ 𝐡)
7 simpr 483 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
81, 2latref 18440 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
91, 2, 4latjle12 18449 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 𝑋)(leβ€˜πΎ)𝑋))
103, 7, 7, 7, 9syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 𝑋)(leβ€˜πΎ)𝑋))
118, 8, 10mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋)(leβ€˜πΎ)𝑋)
121, 2, 4latlej1 18447 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑋))
13123anidm23 1418 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑋))
141, 2, 3, 6, 7, 11, 13latasymd 18444 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  Latclat 18430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-lat 18431
This theorem is referenced by:  lubsn  18481  latjjdi  18490  latjjdir  18491  cvlsupr2  38847  hlatjidm  38873  cvrat3  38947  snatpsubN  39255  dalawlem7  39382  cdleme11  39775  cdleme23b  39855  cdlemg33a  40211  trljco  40245  doca2N  40631  djajN  40642
  Copyright terms: Public domain W3C validator