Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lplnja Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lplnja 35507
Description: The join of two different lattice planes in a lattice volume equals the volume (version of 2lplnj 35508 in terms of atoms). (Contributed by NM, 12-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lplnja.l = (le‘𝐾)
2lplnja.j = (join‘𝐾)
2lplnja.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2lplnja.v 𝑉 = (LVols‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2lplnja ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) = 𝑊)

Proof of Theorem 2lplnja
StepHypRef Expression
1 eqid 2765 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 2lplnja.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simp11l 1383 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 35252 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp121 1404 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑃𝐴)
6 simp122 1405 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑄𝐴)
7 2lplnja.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
8 2lplnja.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
91, 7, 8hlatjcl 35255 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
103, 5, 6, 9syl3anc 1490 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾))
11 simp123 1406 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑅𝐴)
121, 8atbase 35177 . . . . 5 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
1311, 12syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
141, 7latjcl 17319 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑄) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
154, 10, 13, 14syl3anc 1490 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp2l1 1371 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑆𝐴)
17 simp2l2 1372 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑇𝐴)
181, 7, 8hlatjcl 35255 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
193, 16, 17, 18syl3anc 1490 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
20 simp2l3 1373 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑈𝐴)
211, 8atbase 35177 . . . . 5 (𝑈𝐴𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))
231, 7latjcl 17319 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
244, 19, 22, 23syl3anc 1490 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
251, 7latjcl 17319 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
264, 15, 24, 25syl3anc 1490 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) ∈ (Base‘𝐾))
27 simp11r 1384 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑊𝑉)
28 2lplnja.v . . . 4 𝑉 = (LVols‘𝐾)
291, 28lvolbase 35466 . . 3 (𝑊𝑉𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
3027, 29syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
31 simp31 1266 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊)
32 simp32 1267 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊)
331, 2, 7latjle12 17330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) 𝑊))
344, 15, 24, 30, 33syl13anc 1491 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) 𝑊))
3531, 32, 34mpbi2and 703 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) 𝑊)
361, 2, 7latlej2 17329 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑈 ((𝑆 𝑇) 𝑈))
374, 19, 22, 36syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑈 ((𝑆 𝑇) 𝑈))
381, 2, 4, 22, 24, 30, 37, 32lattrd 17326 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑈 𝑊)
391, 2, 7latjle12 17330 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊𝑈 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) 𝑊))
404, 15, 22, 30, 39syl13anc 1491 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊𝑈 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) 𝑊))
4131, 38, 40mpbi2and 703 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) 𝑊)
4241ad2antrr 717 . . . . . 6 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) 𝑊)
433ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
443, 5, 63jca 1158 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
4544ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
4611, 20jca 507 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑅𝐴𝑈𝐴))
4746ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑅𝐴𝑈𝐴))
48 simp13l 1387 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑃𝑄)
4948ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑃𝑄)
50 simp13r 1388 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
5150ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
52 simp33 1268 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))
5352ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))
54 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
55 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
561, 8atbase 35177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
5716, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
581, 8atbase 35177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
5917, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
601, 2, 7latjle12 17330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
614, 57, 59, 15, 60syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6261ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6354, 55, 62mpbi2and 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑆 𝑇) ((𝑃 𝑄) 𝑅))
6463adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑆 𝑇) ((𝑃 𝑄) 𝑅))
65 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
661, 2, 7latjle12 17330 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑆 𝑇) ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
674, 19, 22, 15, 66syl13anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑆 𝑇) ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6867ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑆 𝑇) ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
6964, 65, 68mpbi2and 703 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑅))
70 simp2l 1256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴))
71 simp12 1261 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴))
72 simp2rr 1324 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))
73 simp2rl 1323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑆𝑇)
742, 7, 83at 35378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴)) ∧ (¬ 𝑈 (𝑆 𝑇) ∧ 𝑆𝑇)) → (((𝑆 𝑇) 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
753, 70, 71, 72, 73, 74syl32anc 1497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑆 𝑇) 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
7675ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑆 𝑇) 𝑈) ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ ((𝑆 𝑇) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
7769, 76mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
7877eqcomd 2771 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑈))
7978ex 401 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
8079necon3ad 2950 . . . . . . . . 9 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈) → ¬ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅)))
8153, 80mpd 15 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ¬ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
822, 7, 8, 28lvoli2 35469 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑈 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) ∈ 𝑉)
8345, 47, 49, 51, 81, 82syl113anc 1501 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) ∈ 𝑉)
8427ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑊𝑉)
852, 28lvolcmp 35505 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) ∈ 𝑉𝑊𝑉) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) 𝑊 ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) = 𝑊))
8643, 83, 84, 85syl3anc 1490 . . . . . 6 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) 𝑊 ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) = 𝑊))
8742, 86mpbid 223 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) = 𝑊)
881, 2, 7latjlej2 17334 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑈 ((𝑆 𝑇) 𝑈) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈))))
894, 22, 24, 15, 88syl13anc 1491 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑈 ((𝑆 𝑇) 𝑈) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈))))
9037, 89mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
9190ad2antrr 717 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑈) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
9287, 91eqbrtrrd 4833 . . . 4 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑊 (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
931, 7, 8hlatjcl 35255 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑈𝐴) → (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
943, 16, 20, 93syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
951, 2, 7latlej2 17329 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑇 ((𝑆 𝑈) 𝑇))
964, 94, 59, 95syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑇 ((𝑆 𝑈) 𝑇))
977, 8hlatj32 35260 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴)) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = ((𝑆 𝑈) 𝑇))
983, 16, 17, 20, 97syl13anc 1491 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = ((𝑆 𝑈) 𝑇))
9996, 98breqtrrd 4837 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑇 ((𝑆 𝑇) 𝑈))
1001, 2, 4, 59, 24, 30, 99, 32lattrd 17326 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑇 𝑊)
1011, 2, 7latjle12 17330 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊𝑇 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) 𝑊))
1024, 15, 59, 30, 101syl13anc 1491 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊𝑇 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) 𝑊))
10331, 100, 102mpbi2and 703 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) 𝑊)
104103ad2antrr 717 . . . . . 6 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) 𝑊)
1053ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
10644ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
10711, 17jca 507 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑅𝐴𝑇𝐴))
108107ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑅𝐴𝑇𝐴))
10948ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑃𝑄)
11050ad2antrr 717 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
111 simpr 477 . . . . . . . 8 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
1122, 7, 8, 28lvoli2 35469 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑉)
113106, 108, 109, 110, 111, 112syl113anc 1501 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑉)
11427ad2antrr 717 . . . . . . 7 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑊𝑉)
1152, 28lvolcmp 35505 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑉𝑊𝑉) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) 𝑊 ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) = 𝑊))
116105, 113, 114, 115syl3anc 1490 . . . . . 6 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) 𝑊 ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) = 𝑊))
117104, 116mpbid 223 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) = 𝑊)
1181, 2, 7latjlej2 17334 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑇 ((𝑆 𝑇) 𝑈) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈))))
1194, 59, 24, 15, 118syl13anc 1491 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑇 ((𝑆 𝑇) 𝑈) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈))))
12099, 119mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
121120ad2antrr 717 . . . . 5 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑇) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
122117, 121eqbrtrrd 4833 . . . 4 ((((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) ∧ ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑊 (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
12392, 122pm2.61dan 847 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑊 (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
1241, 7, 8hlatjcl 35255 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑇𝐴𝑈𝐴) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1253, 17, 20, 124syl3anc 1490 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾))
1261, 2, 7latlej1 17328 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑇 𝑈) ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑆 (𝑇 𝑈)))
1274, 57, 125, 126syl3anc 1490 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑆 (𝑆 (𝑇 𝑈)))
1281, 7latjass 17363 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑈 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = (𝑆 (𝑇 𝑈)))
1294, 57, 59, 22, 128syl13anc 1491 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((𝑆 𝑇) 𝑈) = (𝑆 (𝑇 𝑈)))
130127, 129breqtrrd 4837 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑆 ((𝑆 𝑇) 𝑈))
1311, 2, 4, 57, 24, 30, 130, 32lattrd 17326 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑆 𝑊)
1321, 2, 7latjle12 17330 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊𝑆 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) 𝑊))
1334, 15, 57, 30, 132syl13anc 1491 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊𝑆 𝑊) ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) 𝑊))
13431, 131, 133mpbi2and 703 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) 𝑊)
135134adantr 472 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) 𝑊)
1363adantr 472 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
13744adantr 472 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴))
13811, 16jca 507 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
139138adantr 472 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (𝑅𝐴𝑆𝐴))
14048adantr 472 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑃𝑄)
14150adantr 472 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))
142 simpr 477 . . . . . . 7 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
1432, 7, 8, 28lvoli2 35469 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
144137, 139, 140, 141, 142, 143syl113anc 1501 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉)
14527adantr 472 . . . . . 6 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑊𝑉)
1462, 28lvolcmp 35505 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑉𝑊𝑉) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) 𝑊 ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = 𝑊))
147136, 144, 145, 146syl3anc 1490 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → ((((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) 𝑊 ↔ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = 𝑊))
148135, 147mpbid 223 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) = 𝑊)
1491, 2, 7latjlej2 17334 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 ((𝑆 𝑇) 𝑈) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈))))
1504, 57, 24, 15, 149syl13anc 1491 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (𝑆 ((𝑆 𝑇) 𝑈) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈))))
151130, 150mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
152151adantr 472 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑆) (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
153148, 152eqbrtrrd 4833 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) ∧ ¬ 𝑆 ((𝑃 𝑄) 𝑅)) → 𝑊 (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
154123, 153pm2.61dan 847 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → 𝑊 (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)))
1551, 2, 4, 26, 30, 35, 154latasymd 17325 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑉) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑅𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ¬ 𝑅 (𝑃 𝑄))) ∧ ((𝑆𝐴𝑇𝐴𝑈𝐴) ∧ (𝑆𝑇 ∧ ¬ 𝑈 (𝑆 𝑇))) ∧ (((𝑃 𝑄) 𝑅) 𝑊 ∧ ((𝑆 𝑇) 𝑈) 𝑊 ∧ ((𝑃 𝑄) 𝑅) ≠ ((𝑆 𝑇) 𝑈))) → (((𝑃 𝑄) 𝑅) ((𝑆 𝑇) 𝑈)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  lecple 16223  joincjn 17212  Latclat 17313  Atomscatm 35151  HLchlt 35238  LVolsclvol 35381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17196  df-poset 17214  df-plt 17226  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-p0 17307  df-lat 17314  df-clat 17376  df-oposet 35064  df-ol 35066  df-oml 35067  df-covers 35154  df-ats 35155  df-atl 35186  df-cvlat 35210  df-hlat 35239  df-llines 35386  df-lplanes 35387  df-lvols 35388
This theorem is referenced by:  2lplnj  35508
  Copyright terms: Public domain W3C validator