Theorem latmidm 18190

Description: Lattice meet is idempotent. Analogue of inidm 4154. (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmidm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmidm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latmidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmidm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latmidm.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5	1, 4	latmcl 18156	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3anidm23 1420	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
7		simpr 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 4	latmle1 18180	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
9	8	3anidm23 1420	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
10	1, 2	latref 18157	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
11	1, 2, 4	latlem12 18182	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑋)))
12	3, 7, 7, 7, 11	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑋)))
13	10, 10, 12	mpbi2and 709	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑋))
14	1, 2, 3, 6, 7, 9, 13	latasymd 18161	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5076  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  Basecbs 16910  lecple 16967  meetcmee 18028  Latclat 18147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-proset 18011  df-poset 18029  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-lat 18148

This theorem is referenced by:  latmmdiN  37245  latmmdir  37246  2llnm3N  37580