Theorem latmidm 18532

Description: Lattice meet is idempotent. Analogue of inidm 4235. (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latmidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmidm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latmidm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latmidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latmidm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latmidm.m	. . . 4 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
5	1, 4	latmcl 18498	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
6	5	3anidm23 1420	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) ∈ 𝐵)
7		simpr 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
8	1, 2, 4	latmle1 18522	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
9	8	3anidm23 1420	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
10	1, 2	latref 18499	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
11	1, 2, 4	latlem12 18524	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑋)))
12	3, 7, 7, 7, 11	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑋)))
13	10, 10, 12	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑋))
14	1, 2, 3, 6, 7, 9, 13	latasymd 18503	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  meetcmee 18370  Latclat 18489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490

This theorem is referenced by:  latmmdiN  39216  latmmdir  39217  2llnm3N  39552