MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latmidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latmidm 18519
Description: Lattice meet is idempotent. Analogue of inidm 4227. (Contributed by NM, 8-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latmidm.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latmidm.m = (meet‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latmidm ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem latmidm
StepHypRef Expression
1 latmidm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2737 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
4 latmidm.m . . . 4 = (meet‘𝐾)
51, 4latmcl 18485 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) ∈ 𝐵)
653anidm23 1423 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) ∈ 𝐵)
7 simpr 484 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
81, 2, 4latmle1 18509 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
983anidm23 1423 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋)(le‘𝐾)𝑋)
101, 2latref 18486 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
111, 2, 4latlem12 18511 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑋𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋)))
123, 7, 7, 7, 11syl13anc 1374 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑋) ↔ 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋)))
1310, 10, 12mpbi2and 712 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑋))
141, 2, 3, 6, 7, 9, 13latasymd 18490 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  meetcmee 18358  Latclat 18476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477
This theorem is referenced by:  latmmdiN  39235  latmmdir  39236  2llnm3N  39571
  Copyright terms: Public domain W3C validator