MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjass 18541
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 31562 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjass ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2735 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 latjass.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
51, 4latjcl 18497 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
653adant3r3 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
7 simpr3 1195 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
81, 4latjcl 18497 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
93, 6, 7, 8syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
10 simpr1 1193 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
111, 4latjcl 18497 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
12113adant3r1 1181 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
131, 4latjcl 18497 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ∈ 𝐵)
143, 10, 12, 13syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ∈ 𝐵)
151, 2, 4latlej1 18506 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
163, 10, 12, 15syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
17 simpr2 1194 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
181, 2, 4latlej1 18506 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 𝑍))
19183adant3r1 1181 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 𝑍))
201, 2, 4latlej2 18507 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
213, 10, 12, 20syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 18504 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
231, 2, 4latjle12 18508 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑋 (𝑌 𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))) ↔ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))))
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))) ↔ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))))
2516, 22, 24mpbi2and 712 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
261, 2, 4latlej2 18507 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 𝑍))
27263adant3r1 1181 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 𝑍))
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 18504 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
291, 2, 4latjle12 18508 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑋 (𝑌 𝑍)) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))))
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))))
3125, 28, 30mpbi2and 712 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
321, 2, 4latlej1 18506 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
33323adant3r3 1183 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
341, 2, 4latlej1 18506 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
353, 6, 7, 34syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 18504 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
371, 2, 4latlej2 18507 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38373adant3r3 1183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 18504 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
401, 2, 4latlej2 18507 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
413, 6, 7, 40syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
421, 2, 4latjle12 18508 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)))
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)))
4439, 41, 43mpbi2and 712 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
451, 2, 4latjle12 18508 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑋 (𝑌 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)))
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑋 (𝑌 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)))
4736, 44, 46mpbi2and 712 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 18503 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  Latclat 18489
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-lat 18490
This theorem is referenced by:  latj12  18542  latj32  18543  latj4  18547  latmass  18553  latmassOLD  39211  hlatjass  39352  cvrexchlem  39402  cvrat3  39425  2atmat  39544  4atlem3  39579  4atlem3a  39580  4atlem4a  39582  4atlem4d  39585  4at2  39597  2lplnja  39602  pmapjlln1  39838  dalawlem3  39856  dalawlem12  39865  cdleme30a  40361  trlcolem  40709  cdlemh1  40798  cdlemkid1  40905  doca2N  41109  djajN  41120
  Copyright terms: Public domain W3C validator