Theorem latjass 18389

Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 31513 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjass	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latjass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2731	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latjass.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	1, 4	latjcl 18345	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	3adant3r3 1185	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
7		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8	1, 4	latjcl 18345	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 4	latjcl 18345	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
12	11	3adant3r1 1183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
13	1, 4	latjcl 18345	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 12, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 4	latlej1 18354	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
16	3, 10, 12, 15	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
17		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 2, 4	latlej1 18354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
19	18	3adant3r1 1183	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
20	1, 2, 4	latlej2 18355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
21	3, 10, 12, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
22	1, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21	lattrd 18352	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
23	1, 2, 4	latjle12 18356	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
24	3, 10, 17, 14, 23	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
25	16, 22, 24	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
26	1, 2, 4	latlej2 18355	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
27	26	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
28	1, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21	lattrd 18352	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
29	1, 2, 4	latjle12 18356	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
30	3, 6, 7, 14, 29	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
31	25, 28, 30	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
32	1, 2, 4	latlej1 18354	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
33	32	3adant3r3 1185	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
34	1, 2, 4	latlej1 18354	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
35	3, 6, 7, 34	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
36	1, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35	lattrd 18352	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
37	1, 2, 4	latlej2 18355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38	37	3adant3r3 1185	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
39	1, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35	lattrd 18352	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
40	1, 2, 4	latlej2 18355	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
41	3, 6, 7, 40	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
42	1, 2, 4	latjle12 18356	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
43	3, 17, 7, 9, 42	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
44	39, 41, 43	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
45	1, 2, 4	latjle12 18356	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
46	3, 10, 12, 9, 45	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
47	36, 44, 46	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
48	1, 2, 3, 9, 14, 31, 47	latasymd 18351	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  joincjn 18217  Latclat 18337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338

This theorem is referenced by:  latj12  18390  latj32  18391  latj4  18395  latmass  18401  latmassOLD  39327  hlatjass  39468  cvrexchlem  39517  cvrat3  39540  2atmat  39659  4atlem3  39694  4atlem3a  39695  4atlem4a  39697  4atlem4d  39700  4at2  39712  2lplnja  39717  pmapjlln1  39953  dalawlem3  39971  dalawlem12  39980  cdleme30a  40476  trlcolem  40824  cdlemh1  40913  cdlemkid1  41020  doca2N  41224  djajN  41235