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Theorem latjass 18377
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 30517 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjass.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjass ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 484 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 latjass.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
51, 4latjcl 18333 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
653adant3r3 1185 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
7 simpr3 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
81, 4latjcl 18333 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
93, 6, 7, 8syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
10 simpr1 1195 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
111, 4latjcl 18333 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
12113adant3r1 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
131, 4latjcl 18333 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)
143, 10, 12, 13syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)
151, 2, 4latlej1 18342 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
163, 10, 12, 15syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
17 simpr2 1196 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
181, 2, 4latlej1 18342 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
19183adant3r1 1183 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
201, 2, 4latlej2 18343 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
213, 10, 12, 20syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 18340 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
231, 2, 4latjle12 18344 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
2516, 22, 24mpbi2and 711 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
261, 2, 4latlej2 18343 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
27263adant3r1 1183 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 18340 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
291, 2, 4latjle12 18344 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3125, 28, 30mpbi2and 711 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
321, 2, 4latlej1 18342 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
33323adant3r3 1185 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
341, 2, 4latlej1 18342 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
353, 6, 7, 34syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 18340 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
371, 2, 4latlej2 18343 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38373adant3r3 1185 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 18340 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
401, 2, 4latlej2 18343 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
413, 6, 7, 40syl3anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
421, 2, 4latjle12 18344 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
4439, 41, 43mpbi2and 711 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
451, 2, 4latjle12 18344 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
4736, 44, 46mpbi2and 711 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 18339 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  joincjn 18205  Latclat 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-lat 18326
This theorem is referenced by:  latj12  18378  latj32  18379  latj4  18383  latmass  18389  latmassOLD  37737  hlatjass  37878  cvrexchlem  37928  cvrat3  37951  2atmat  38070  4atlem3  38105  4atlem3a  38106  4atlem4a  38108  4atlem4d  38111  4at2  38123  2lplnja  38128  pmapjlln1  38364  dalawlem3  38382  dalawlem12  38391  cdleme30a  38887  trlcolem  39235  cdlemh1  39324  cdlemkid1  39431  doca2N  39635  djajN  39646
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