Theorem latjass 18529

Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 31553 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjass	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latjass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latjass.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	1, 4	latjcl 18485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	3adant3r3 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
7		simpr3 1196	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8	1, 4	latjcl 18485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 4	latjcl 18485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
12	11	3adant3r1 1182	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
13	1, 4	latjcl 18485	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 12, 13	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 4	latlej1 18494	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
16	3, 10, 12, 15	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
17		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 2, 4	latlej1 18494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
19	18	3adant3r1 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
20	1, 2, 4	latlej2 18495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
21	3, 10, 12, 20	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
22	1, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21	lattrd 18492	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
23	1, 2, 4	latjle12 18496	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
24	3, 10, 17, 14, 23	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
25	16, 22, 24	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
26	1, 2, 4	latlej2 18495	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
27	26	3adant3r1 1182	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
28	1, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21	lattrd 18492	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
29	1, 2, 4	latjle12 18496	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
30	3, 6, 7, 14, 29	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
31	25, 28, 30	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
32	1, 2, 4	latlej1 18494	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
33	32	3adant3r3 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
34	1, 2, 4	latlej1 18494	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
35	3, 6, 7, 34	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
36	1, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35	lattrd 18492	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
37	1, 2, 4	latlej2 18495	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38	37	3adant3r3 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
39	1, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35	lattrd 18492	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
40	1, 2, 4	latlej2 18495	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
41	3, 6, 7, 40	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
42	1, 2, 4	latjle12 18496	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
43	3, 17, 7, 9, 42	syl13anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
44	39, 41, 43	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
45	1, 2, 4	latjle12 18496	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
46	3, 10, 12, 9, 45	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
47	36, 44, 46	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
48	1, 2, 3, 9, 14, 31, 47	latasymd 18491	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  lecple 17305  joincjn 18358  Latclat 18477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-proset 18341  df-poset 18360  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-lat 18478

This theorem is referenced by:  latj12  18530  latj32  18531  latj4  18535  latmass  18541  latmassOLD  39231  hlatjass  39372  cvrexchlem  39422  cvrat3  39445  2atmat  39564  4atlem3  39599  4atlem3a  39600  4atlem4a  39602  4atlem4d  39605  4at2  39617  2lplnja  39622  pmapjlln1  39858  dalawlem3  39876  dalawlem12  39885  cdleme30a  40381  trlcolem  40729  cdlemh1  40818  cdlemkid1  40925  doca2N  41129  djajN  41140