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Theorem latjass 18482
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 31363 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjass.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjass ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 481 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 latjass.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
51, 4latjcl 18438 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
653adant3r3 1181 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
7 simpr3 1193 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
81, 4latjcl 18438 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
93, 6, 7, 8syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
10 simpr1 1191 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
111, 4latjcl 18438 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
12113adant3r1 1179 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
131, 4latjcl 18438 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)
143, 10, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)
151, 2, 4latlej1 18447 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
163, 10, 12, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
17 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
181, 2, 4latlej1 18447 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
19183adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
201, 2, 4latlej2 18448 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
213, 10, 12, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 18445 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
231, 2, 4latjle12 18449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
2516, 22, 24mpbi2and 710 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
261, 2, 4latlej2 18448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
27263adant3r1 1179 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 18445 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
291, 2, 4latjle12 18449 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3125, 28, 30mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
321, 2, 4latlej1 18447 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
33323adant3r3 1181 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
341, 2, 4latlej1 18447 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
353, 6, 7, 34syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 18445 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
371, 2, 4latlej2 18448 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38373adant3r3 1181 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 18445 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
401, 2, 4latlej2 18448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
413, 6, 7, 40syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
421, 2, 4latjle12 18449 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
4439, 41, 43mpbi2and 710 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
451, 2, 4latjle12 18449 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
4736, 44, 46mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 18444 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  Latclat 18430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-lat 18431
This theorem is referenced by:  latj12  18483  latj32  18484  latj4  18488  latmass  18494  latmassOLD  38733  hlatjass  38874  cvrexchlem  38924  cvrat3  38947  2atmat  39066  4atlem3  39101  4atlem3a  39102  4atlem4a  39104  4atlem4d  39107  4at2  39119  2lplnja  39124  pmapjlln1  39360  dalawlem3  39378  dalawlem12  39387  cdleme30a  39883  trlcolem  40231  cdlemh1  40320  cdlemkid1  40427  doca2N  40631  djajN  40642
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