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Theorem latjass 18445
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 31290 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjass.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjass ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2726 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 latjass.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
51, 4latjcl 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
653adant3r3 1181 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
7 simpr3 1193 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
81, 4latjcl 18401 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
93, 6, 7, 8syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
10 simpr1 1191 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
111, 4latjcl 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
12113adant3r1 1179 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
131, 4latjcl 18401 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)
143, 10, 12, 13syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)
151, 2, 4latlej1 18410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
163, 10, 12, 15syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
17 simpr2 1192 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
181, 2, 4latlej1 18410 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
19183adant3r1 1179 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
201, 2, 4latlej2 18411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
213, 10, 12, 20syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 18408 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
231, 2, 4latjle12 18412 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
2516, 22, 24mpbi2and 709 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
261, 2, 4latlej2 18411 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
27263adant3r1 1179 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 18408 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
291, 2, 4latjle12 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3125, 28, 30mpbi2and 709 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
321, 2, 4latlej1 18410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
33323adant3r3 1181 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
341, 2, 4latlej1 18410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
353, 6, 7, 34syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 18408 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
371, 2, 4latlej2 18411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38373adant3r3 1181 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 18408 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
401, 2, 4latlej2 18411 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
413, 6, 7, 40syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
421, 2, 4latjle12 18412 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1369 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
4439, 41, 43mpbi2and 709 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
451, 2, 4latjle12 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
4736, 44, 46mpbi2and 709 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 18407 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17150  lecple 17210  joincjn 18273  Latclat 18393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18257  df-poset 18275  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-lat 18394
This theorem is referenced by:  latj12  18446  latj32  18447  latj4  18451  latmass  18457  latmassOLD  38611  hlatjass  38752  cvrexchlem  38802  cvrat3  38825  2atmat  38944  4atlem3  38979  4atlem3a  38980  4atlem4a  38982  4atlem4d  38985  4at2  38997  2lplnja  39002  pmapjlln1  39238  dalawlem3  39256  dalawlem12  39265  cdleme30a  39761  trlcolem  40109  cdlemh1  40198  cdlemkid1  40305  doca2N  40509  djajN  40520
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