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Theorem latjass 18432
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 30773 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjass.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjass ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 483 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 latjass.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
51, 4latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
653adant3r3 1184 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
7 simpr3 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
81, 4latjcl 18388 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
93, 6, 7, 8syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
10 simpr1 1194 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
111, 4latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
12113adant3r1 1182 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)
131, 4latjcl 18388 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)
143, 10, 12, 13syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)
151, 2, 4latlej1 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
163, 10, 12, 15syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
17 simpr2 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
181, 2, 4latlej1 18397 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
19183adant3r1 1182 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
201, 2, 4latlej2 18398 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
213, 10, 12, 20syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 18395 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
231, 2, 4latjle12 18399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
2516, 22, 24mpbi2and 710 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
261, 2, 4latlej2 18398 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
27263adant3r1 1182 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(π‘Œ ∨ 𝑍))
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 18395 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
291, 2, 4latjle12 18399 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))))
3125, 28, 30mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
321, 2, 4latlej1 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
33323adant3r3 1184 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
341, 2, 4latlej1 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
353, 6, 7, 34syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 18395 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
371, 2, 4latlej2 18398 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
38373adant3r3 1184 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 18395 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
401, 2, 4latlej2 18398 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
413, 6, 7, 40syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
421, 2, 4latjle12 18399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘Œ(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
4439, 41, 43mpbi2and 710 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
451, 2, 4latjle12 18399 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) ∧ (π‘Œ ∨ 𝑍)(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍)))
4736, 44, 46mpbi2and 710 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍))(leβ€˜πΎ)((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍))
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 18394 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∨ 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  Latclat 18380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381
This theorem is referenced by:  latj12  18433  latj32  18434  latj4  18438  latmass  18444  latmassOLD  38087  hlatjass  38228  cvrexchlem  38278  cvrat3  38301  2atmat  38420  4atlem3  38455  4atlem3a  38456  4atlem4a  38458  4atlem4d  38461  4at2  38473  2lplnja  38478  pmapjlln1  38714  dalawlem3  38732  dalawlem12  38741  cdleme30a  39237  trlcolem  39585  cdlemh1  39674  cdlemkid1  39781  doca2N  39985  djajN  39996
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