MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjass 17363
Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 28783 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjass ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))

Proof of Theorem latjass
StepHypRef Expression
1 latjass.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2765 . 2 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3 simpl 474 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 latjass.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
51, 4latjcl 17319 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
653adant3r3 1235 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
7 simpr3 1252 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
81, 4latjcl 17319 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
93, 6, 7, 8syl3anc 1490 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)
10 simpr1 1248 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
111, 4latjcl 17319 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
12113adant3r1 1233 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵)
131, 4latjcl 17319 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ∈ 𝐵)
143, 10, 12, 13syl3anc 1490 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) ∈ 𝐵)
151, 2, 4latlej1 17328 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
163, 10, 12, 15syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
17 simpr2 1250 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
181, 2, 4latlej1 17328 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 𝑍))
19183adant3r1 1233 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 𝑍))
201, 2, 4latlej2 17329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
213, 10, 12, 20syl3anc 1490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
221, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21lattrd 17326 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
231, 2, 4latjle12 17330 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑋 (𝑌 𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))) ↔ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))))
243, 10, 17, 14, 23syl13anc 1491 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))) ↔ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))))
2516, 22, 24mpbi2and 703 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
261, 2, 4latlej2 17329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 𝑍))
27263adant3r1 1233 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 𝑍))
281, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21lattrd 17326 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
291, 2, 4latjle12 17330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵 ∧ (𝑋 (𝑌 𝑍)) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))))
303, 6, 7, 14, 29syl13anc 1491 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍))))
3125, 28, 30mpbi2and 703 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 (𝑌 𝑍)))
321, 2, 4latlej1 17328 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
33323adant3r3 1235 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
341, 2, 4latlej1 17328 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
353, 6, 7, 34syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
361, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35lattrd 17326 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
371, 2, 4latlej2 17329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
38373adant3r3 1235 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
391, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35lattrd 17326 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
401, 2, 4latlej2 17329 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
413, 6, 7, 40syl3anc 1490 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
421, 2, 4latjle12 17330 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌𝐵𝑍𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)))
433, 17, 7, 9, 42syl13anc 1491 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)))
4439, 41, 43mpbi2and 703 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
451, 2, 4latjle12 17330 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑌 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑋 (𝑌 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)))
463, 10, 12, 9, 45syl13anc 1491 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍) ∧ (𝑌 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)) ↔ (𝑋 (𝑌 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍)))
4736, 44, 46mpbi2and 703 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑍))
481, 2, 3, 9, 14, 31, 47latasymd 17325 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16132  lecple 16223  joincjn 17212  Latclat 17313
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17196  df-poset 17214  df-lub 17242  df-glb 17243  df-join 17244  df-meet 17245  df-lat 17314
This theorem is referenced by:  latj12  17364  latj32  17365  latj4  17369  latmass  17456  latmassOLD  35117  hlatjass  35258  cvrexchlem  35307  cvrat3  35330  2atmat  35449  4atlem3  35484  4atlem3a  35485  4atlem4a  35487  4atlem4d  35490  4at2  35502  2lplnja  35507  pmapjlln1  35743  dalawlem3  35761  dalawlem12  35770  cdleme30a  36266  trlcolem  36614  cdlemh1  36703  cdlemkid1  36810  doca2N  37014  djajN  37025
  Copyright terms: Public domain W3C validator