Theorem latjass 18444

Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 31626 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjass	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latjass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2741	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 484	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latjass.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	1, 4	latjcl 18400	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	3adant3r3 1192	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
7		simpr3 1204	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8	1, 4	latjcl 18400	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10		simpr1 1202	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 4	latjcl 18400	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
12	11	3adant3r1 1190	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
13	1, 4	latjcl 18400	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 12, 13	syl3anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 4	latlej1 18409	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
16	3, 10, 12, 15	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
17		simpr2 1203	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 2, 4	latlej1 18409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
19	18	3adant3r1 1190	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
20	1, 2, 4	latlej2 18410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
21	3, 10, 12, 20	syl3anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
22	1, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21	lattrd 18407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
23	1, 2, 4	latjle12 18411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
24	3, 10, 17, 14, 23	syl13anc 1381	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
25	16, 22, 24	mpbi2and 719	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
26	1, 2, 4	latlej2 18410	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
27	26	3adant3r1 1190	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
28	1, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21	lattrd 18407	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
29	1, 2, 4	latjle12 18411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
30	3, 6, 7, 14, 29	syl13anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
31	25, 28, 30	mpbi2and 719	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
32	1, 2, 4	latlej1 18409	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
33	32	3adant3r3 1192	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
34	1, 2, 4	latlej1 18409	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
35	3, 6, 7, 34	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
36	1, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35	lattrd 18407	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
37	1, 2, 4	latlej2 18410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38	37	3adant3r3 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
39	1, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35	lattrd 18407	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
40	1, 2, 4	latlej2 18410	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
41	3, 6, 7, 40	syl3anc 1380	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
42	1, 2, 4	latjle12 18411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
43	3, 17, 7, 9, 42	syl13anc 1381	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
44	39, 41, 43	mpbi2and 719	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
45	1, 2, 4	latjle12 18411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
46	3, 10, 12, 9, 45	syl13anc 1381	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
47	36, 44, 46	mpbi2and 719	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
48	1, 2, 3, 9, 14, 31, 47	latasymd 18406	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  Latclat 18392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-proset 18255  df-poset 18274  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-lat 18393

This theorem is referenced by:  latj12  18445  latj32  18446  latj4  18450  latmass  18456  latmassOLD  39736  hlatjass  39877  cvrexchlem  39926  cvrat3  39949  2atmat  40068  4atlem3  40103  4atlem3a  40104  4atlem4a  40106  4atlem4d  40109  4at2  40121  2lplnja  40126  pmapjlln1  40362  dalawlem3  40380  dalawlem12  40389  cdleme30a  40885  trlcolem  41233  cdlemh1  41322  cdlemkid1  41429  doca2N  41633  djajN  41644