Theorem latjass 18553

Description: Lattice join is associative. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (chjass 31565 analog.) (Contributed by NM, 17-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
latjass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
latjass	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Proof of Theorem latjass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		latjass.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2740	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		latjass.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
5	1, 4	latjcl 18509	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
6	5	3adant3r3 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
7		simpr3 1196	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
8	1, 4	latjcl 18509	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
9	3, 6, 7, 8	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
10		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
11	1, 4	latjcl 18509	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
12	11	3adant3r1 1182	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)
13	1, 4	latjcl 18509	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
14	3, 10, 12, 13	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)
15	1, 2, 4	latlej1 18518	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
16	3, 10, 12, 15	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
17		simpr2 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
18	1, 2, 4	latlej1 18518	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
19	18	3adant3r1 1182	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
20	1, 2, 4	latlej2 18519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
21	3, 10, 12, 20	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
22	1, 2, 3, 17, 12, 14, 19, 21	lattrd 18516	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
23	1, 2, 4	latjle12 18520	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
24	3, 10, 17, 14, 23	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
25	16, 22, 24	mpbi2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
26	1, 2, 4	latlej2 18519	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
27	26	3adant3r1 1182	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑌 ∨ 𝑍))
28	1, 2, 3, 7, 12, 14, 27, 21	lattrd 18516	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
29	1, 2, 4	latjle12 18520	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
30	3, 6, 7, 14, 29	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)) ∧ 𝑍(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))) ↔ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))))
31	25, 28, 30	mpbi2and 711	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)(le‘𝐾)(𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))
32	1, 2, 4	latlej1 18518	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
33	32	3adant3r3 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
34	1, 2, 4	latlej1 18518	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
35	3, 6, 7, 34	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
36	1, 2, 3, 10, 6, 9, 33, 35	lattrd 18516	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
37	1, 2, 4	latlej2 18519	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
38	37	3adant3r3 1184	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
39	1, 2, 3, 17, 6, 9, 38, 35	lattrd 18516	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
40	1, 2, 4	latlej2 18519	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
41	3, 6, 7, 40	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
42	1, 2, 4	latjle12 18520	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
43	3, 17, 7, 9, 42	syl13anc 1372	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑌(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ 𝑍(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
44	39, 41, 43	mpbi2and 711	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
45	1, 2, 4	latjle12 18520	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 ∨ 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
46	3, 10, 12, 9, 45	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) ∧ (𝑌 ∨ 𝑍)(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)) ↔ (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍)))
47	36, 44, 46	mpbi2and 711	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍))(le‘𝐾)((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍))
48	1, 2, 3, 9, 14, 31, 47	latasymd 18515	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ 𝑌) ∨ 𝑍) = (𝑋 ∨ (𝑌 ∨ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  lecple 17318  joincjn 18381  Latclat 18501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-lat 18502

This theorem is referenced by:  latj12  18554  latj32  18555  latj4  18559  latmass  18565  latmassOLD  39185  hlatjass  39326  cvrexchlem  39376  cvrat3  39399  2atmat  39518  4atlem3  39553  4atlem3a  39554  4atlem4a  39556  4atlem4d  39559  4at2  39571  2lplnja  39576  pmapjlln1  39812  dalawlem3  39830  dalawlem12  39839  cdleme30a  40335  trlcolem  40683  cdlemh1  40772  cdlemkid1  40879  doca2N  41083  djajN  41094