Theorem lautm 38035

Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lautm.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2738	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr1 1192	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
5	3, 4	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
6		lautm.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	1, 6	latmcl 18073	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r1 1180	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9		lautm.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	1, 9	lautcl 38028	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
11	5, 8, 10	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 9	lautcl 38028	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 12, 13	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	1, 9	lautcl 38028	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 15, 16	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 6	latmcl 18073	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	1, 2, 6	latmle1 18097	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
21	20	3adant3r1 1180	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
22	1, 2, 9	lautle 38025	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
23	5, 8, 12, 22	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
24	21, 23	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
25	1, 2, 6	latmle2 18098	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
26	25	3adant3r1 1180	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
27	1, 2, 9	lautle 38025	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
28	5, 8, 15, 27	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
29	26, 28	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
30	1, 2, 6	latlem12 18099	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))
31	3, 11, 14, 17, 30	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))
32	24, 29, 31	mpbi2and 708	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
33	1, 9	laut1o 38026	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
34	33	3ad2antr1 1186	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
35		f1ocnvfv2 7130	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
36	34, 19, 35	syl2anc 583	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
37	1, 2, 6	latmle1 18097	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
38	3, 14, 17, 37	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
39	1, 2, 9	lautcnvle 38030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋))))
40	5, 19, 14, 39	syl12anc 833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋))))
41	38, 40	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)))
42		f1ocnvfv1 7129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
43	34, 12, 42	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
44	41, 43	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
45	1, 2, 6	latmle2 18098	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
46	3, 14, 17, 45	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
47	1, 2, 9	lautcnvle 38030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌))))
48	5, 19, 17, 47	syl12anc 833	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌))))
49	46, 48	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)))
50		f1ocnvfv1 7129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
51	34, 15, 50	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
52	49, 51	breqtrd 5096	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
53		f1ocnvdm 7137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
54	34, 19, 53	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
55	1, 2, 6	latlem12 18099	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
56	3, 54, 12, 15, 55	syl13anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
57	44, 52, 56	mpbi2and 708	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
58	1, 2, 9	lautle 38025	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
59	5, 54, 8, 58	syl12anc 833	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
60	57, 59	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
61	36, 60	eqbrtrrd 5094	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
62	1, 2, 3, 11, 19, 32, 61	latasymd 18078	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ^◡ccnv 5579  –1-1-onto→wf1o 6417  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lecple 16895  meetcmee 17945  Latclat 18064  LAutclaut 37926

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-proset 17928  df-poset 17946  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-lat 18065  df-laut 37930

This theorem is referenced by:  ltrnm  38072