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Theorem lautm 39567
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lautm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lautm.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lautm ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lautm
StepHypRef Expression
1 lautm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr1 1192 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
53, 4jca 511 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
6 lautm.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
71, 6latmcl 18431 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
873adant3r1 1180 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 lautm.i . . . 4 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
101, 9lautcl 39560 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
115, 8, 10syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
12 simpr2 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
131, 9lautcl 39560 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
145, 12, 13syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
15 simpr3 1194 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
161, 9lautcl 39560 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
175, 15, 16syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
181, 6latmcl 18431 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
193, 14, 17, 18syl3anc 1369 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
201, 2, 6latmle1 18455 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
21203adant3r1 1180 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
221, 2, 9lautle 39557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹)))
235, 8, 12, 22syl12anc 836 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹)))
2421, 23mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹))
251, 2, 6latmle2 18456 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
26253adant3r1 1180 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
271, 2, 9lautle 39557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
285, 8, 15, 27syl12anc 836 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
2926, 28mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))
301, 2, 6latlem12 18457 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))
313, 11, 14, 17, 30syl13anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))
3224, 29, 31mpbi2and 711 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
331, 9laut1o 39558 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
34333ad2antr1 1186 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
35 f1ocnvfv2 7286 . . . 4 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
3634, 19, 35syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
371, 2, 6latmle1 18455 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹))
383, 14, 17, 37syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹))
391, 2, 9lautcnvle 39562 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
405, 19, 14, 39syl12anc 836 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
42 f1ocnvfv1 7285 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
4334, 12, 42syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
4441, 43breqtrd 5174 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)𝑋)
451, 2, 6latmle2 18456 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))
463, 14, 17, 45syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))
471, 2, 9lautcnvle 39562 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))))
485, 19, 17, 47syl12anc 836 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))))
4946, 48mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)))
50 f1ocnvfv1 7285 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
5134, 15, 50syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
5249, 51breqtrd 5174 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
53 f1ocnvdm 7294 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)
5434, 19, 53syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)
551, 2, 6latlem12 18457 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
563, 54, 12, 15, 55syl13anc 1370 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
5744, 52, 56mpbi2and 711 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
581, 2, 9lautle 39557 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
595, 54, 8, 58syl12anc 836 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
6057, 59mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
6136, 60eqbrtrrd 5172 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
621, 2, 3, 11, 19, 32, 61latasymd 18436 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  β—‘ccnv 5677  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6547  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  lecple 17239  meetcmee 18303  Latclat 18422  LAutclaut 39458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8846  df-proset 18286  df-poset 18304  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-lat 18423  df-laut 39462
This theorem is referenced by:  ltrnm  39604
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