Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lautm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lautm 39468
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lautm.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
lautm.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lautm ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lautm
StepHypRef Expression
1 lautm.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2724 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 482 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr1 1191 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
53, 4jca 511 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
6 lautm.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
71, 6latmcl 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
873adant3r1 1179 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 lautm.i . . . 4 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
101, 9lautcl 39461 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
115, 8, 10syl2anc 583 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
12 simpr2 1192 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
131, 9lautcl 39461 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
145, 12, 13syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
15 simpr3 1193 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
161, 9lautcl 39461 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
175, 15, 16syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
181, 6latmcl 18401 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
193, 14, 17, 18syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
201, 2, 6latmle1 18425 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
21203adant3r1 1179 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
221, 2, 9lautle 39458 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹)))
235, 8, 12, 22syl12anc 834 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹)))
2421, 23mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹))
251, 2, 6latmle2 18426 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
26253adant3r1 1179 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
271, 2, 9lautle 39458 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
285, 8, 15, 27syl12anc 834 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)))
2926, 28mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))
301, 2, 6latlem12 18427 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))
313, 11, 14, 17, 30syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))
3224, 29, 31mpbi2and 709 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
331, 9laut1o 39459 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
34333ad2antr1 1185 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
35 f1ocnvfv2 7268 . . . 4 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
3634, 19, 35syl2anc 583 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
371, 2, 6latmle1 18425 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹))
383, 14, 17, 37syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹))
391, 2, 9lautcnvle 39463 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
405, 19, 14, 39syl12anc 834 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘‹) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹))))
4138, 40mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)))
42 f1ocnvfv1 7267 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
4334, 12, 42syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
4441, 43breqtrd 5165 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)𝑋)
451, 2, 6latmle2 18426 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))
463, 14, 17, 45syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ))
471, 2, 9lautcnvle 39463 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))))
485, 19, 17, 47syl12anc 834 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ))))
4946, 48mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)))
50 f1ocnvfv1 7267 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
5134, 15, 50syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜π‘Œ)) = π‘Œ)
5249, 51breqtrd 5165 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
53 f1ocnvdm 7276 . . . . . . 7 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)
5434, 19, 53syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)
551, 2, 6latlem12 18427 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
563, 54, 12, 15, 55syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
5744, 52, 56mpbi2and 709 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
581, 2, 9lautle 39458 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
595, 54, 8, 58syl12anc 834 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ))))
6057, 59mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
6136, 60eqbrtrrd 5163 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)))
621, 2, 3, 11, 19, 32, 61latasymd 18406 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β—‘ccnv 5666  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6533  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  meetcmee 18273  Latclat 18392  LAutclaut 39359
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-proset 18256  df-poset 18274  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-lat 18393  df-laut 39363
This theorem is referenced by:  ltrnm  39505
  Copyright terms: Public domain W3C validator