Theorem lautm 40470

Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 19-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautm.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
lautm.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautm	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr1 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
5	3, 4	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
6		lautm.m	. . . . 5 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
7	1, 6	latmcl 18375	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r1 1184	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
9		lautm.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	1, 9	lautcl 40463	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
11	5, 8, 10	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 9	lautcl 40463	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 12, 13	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1198	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	1, 9	lautcl 40463	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 15, 16	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 6	latmcl 18375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	1, 2, 6	latmle1 18399	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
21	20	3adant3r1 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
22	1, 2, 9	lautle 40460	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
23	5, 8, 12, 22	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋)))
24	21, 23	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
25	1, 2, 6	latmle2 18400	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
26	25	3adant3r1 1184	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
27	1, 2, 9	lautle 40460	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
28	5, 8, 15, 27	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)))
29	26, 28	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
30	1, 2, 6	latlem12 18401	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))
31	3, 11, 14, 17, 30	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌)) ↔ (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))
32	24, 29, 31	mpbi2and 713	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
33	1, 9	laut1o 40461	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
34	33	3ad2antr1 1190	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
35		f1ocnvfv2 7233	. . . 4 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
36	34, 19, 35	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))
37	1, 2, 6	latmle1 18399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
38	3, 14, 17, 37	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋))
39	1, 2, 9	lautcnvle 40465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋))))
40	5, 19, 14, 39	syl12anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑋) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋))))
41	38, 40	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)))
42		f1ocnvfv1 7232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
43	34, 12, 42	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑋)) = 𝑋)
44	41, 43	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋)
45	1, 2, 6	latmle2 18400	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
46	3, 14, 17, 45	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌))
47	1, 2, 9	lautcnvle 40465	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌))))
48	5, 19, 17, 47	syl12anc 837	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌))))
49	46, 48	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)))
50		f1ocnvfv1 7232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
51	34, 15, 50	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘𝑌)) = 𝑌)
52	49, 51	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌)
53		f1ocnvdm 7241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
54	34, 19, 53	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
55	1, 2, 6	latlem12 18401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
56	3, 54, 12, 15, 55	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑋 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)𝑌) ↔ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
57	44, 52, 56	mpbi2and 713	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
58	1, 2, 9	lautle 40460	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
59	5, 54, 8, 58	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌))))
60	57, 59	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
61	36, 60	eqbrtrrd 5124	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)))
62	1, 2, 3, 11, 19, 32, 61	latasymd 18380	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∧ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∧ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ^◡ccnv 5631  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  lecple 17196  meetcmee 18247  Latclat 18366  LAutclaut 40361

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-map 8777  df-proset 18229  df-poset 18248  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-lat 18367  df-laut 40365

This theorem is referenced by:  ltrnm  40507