Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlema1N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlema1N 39118
Description: A condition for required for proof of Lemma A in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlema1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlema1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlema1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlema1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlema1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlema1.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
cdlema1.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlema1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
Proof of Theorem cdlema1N
StepHypRef Expression
1 cdlema1.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlema1.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp11 1200 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38690 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12 1201 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simp23 1205 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
7 cdlema1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 7atbase 38615 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
96, 8syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
10 cdlema1.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
111, 10latjcl 18391 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
124, 5, 9, 11syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
13 simp13 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
141, 10latjcl 18391 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
154, 5, 13, 14syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
161, 2, 10latlej1 18400 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
174, 5, 13, 16syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
18 simp21 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
191, 7atbase 38615 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
21 simp22 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
221, 7atbase 38615 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
241, 10latjcl 18391 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
254, 20, 23, 24syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
26 simp31r 1294 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
27 simp32l 1295 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
28 simp32r 1296 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ≀ π‘Œ)
291, 2, 10latjlej12 18407 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
304, 20, 5, 23, 13, 29syl122anc 1376 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
3127, 28, 30mp2and 696 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
321, 2, 4, 9, 25, 15, 26, 31lattrd 18398 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
331, 2, 10latjle12 18402 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑅 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
344, 5, 9, 15, 33syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑅 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
3517, 32, 34mpbi2and 709 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
361, 2, 10latlej1 18400 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
374, 5, 9, 36syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
38 simp331 1323 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)
39 simp332 1324 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
40 simp333 1325 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)
41 cdlema1.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
421, 2, 41latmle1 18416 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
434, 5, 13, 42syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
44 breq1 5141 . . . . . . . 8 (𝑄 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑄 ≀ 𝑋 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋))
4543, 44syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑄 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑄 ≀ 𝑋))
4645necon3bd 2946 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 β†’ 𝑄 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4740, 46mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ))
481, 2, 41latmle2 18417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
494, 5, 13, 48syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
50 cdlema1.n . . . . . 6 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
51 cdlema1.f . . . . . 6 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
521, 2, 10, 7, 50, 51lneq2at 39105 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∧ (𝑄 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ = (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
533, 13, 38, 21, 39, 47, 28, 49, 52syl332anc 1398 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ π‘Œ = (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
541, 10latjcl 18391 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
554, 20, 9, 54syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
566, 21, 183jca 1125 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
57 simp31l 1293 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 β‰  𝑃)
583, 56, 573jca 1125 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 β‰  𝑃))
592, 10, 7hlatexch1 38722 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 β‰  𝑃) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
6058, 26, 59sylc 65 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅))
6120, 5, 93jca 1125 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡))
624, 61jca 511 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡)))
631, 2, 10latjlej1 18405 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
6462, 27, 63sylc 65 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
651, 2, 4, 23, 55, 12, 60, 64lattrd 18398 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
661, 2, 10, 41latmlej11 18430 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
674, 5, 13, 9, 66syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
681, 41latmcl 18392 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
694, 5, 13, 68syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
701, 2, 10latjle12 18402 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
714, 23, 69, 12, 70syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
7265, 67, 71mpbi2and 709 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
7353, 72eqbrtrd 5160 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
741, 2, 10latjle12 18402 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
754, 5, 13, 12, 74syl13anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
7637, 73, 75mpbi2and 709 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
771, 2, 4, 12, 15, 35, 76latasymd 18397 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5138  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  Linesclines 38821  pmapcpmap 38824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-lines 38828  df-pmap 38831
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator