Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlema1N Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlema1N 38600
Description: A condition for required for proof of Lemma A in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlema1.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cdlema1.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlema1.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlema1.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlema1.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlema1.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
cdlema1.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cdlema1N (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
Proof of Theorem cdlema1N
StepHypRef Expression
1 cdlema1.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 cdlema1.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simp11 1204 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38172 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simp23 1209 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
7 cdlema1.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 7atbase 38097 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
96, 8syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐡)
10 cdlema1.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
111, 10latjcl 18388 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
124, 5, 9, 11syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
13 simp13 1206 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
141, 10latjcl 18388 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
154, 5, 13, 14syl3anc 1372 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
161, 2, 10latlej1 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
174, 5, 13, 16syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
18 simp21 1207 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
191, 7atbase 38097 . . . . . 6 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2018, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
21 simp22 1208 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
221, 7atbase 38097 . . . . . 6 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
241, 10latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
254, 20, 23, 24syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
26 simp31r 1298 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
27 simp32l 1299 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
28 simp32r 1300 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ≀ π‘Œ)
291, 2, 10latjlej12 18404 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑄 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
304, 20, 5, 23, 13, 29syl122anc 1380 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ ((𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
3127, 28, 30mp2and 698 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
321, 2, 4, 9, 25, 15, 26, 31lattrd 18395 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
331, 2, 10latjle12 18399 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑅 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
344, 5, 9, 15, 33syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑅 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
3517, 32, 34mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))
361, 2, 10latlej1 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
374, 5, 9, 36syl3anc 1372 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
38 simp331 1327 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)
39 simp332 1328 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
40 simp333 1329 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋)
41 cdlema1.m . . . . . . . . . 10 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
421, 2, 41latmle1 18413 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
434, 5, 13, 42syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
44 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑄 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑄 ≀ 𝑋 ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋))
4543, 44syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑄 = (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑄 ≀ 𝑋))
4645necon3bd 2955 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋 β†’ 𝑄 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ)))
4740, 46mpd 15 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ))
481, 2, 41latmle2 18414 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
494, 5, 13, 48syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)
50 cdlema1.n . . . . . 6 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
51 cdlema1.f . . . . . 6 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
521, 2, 10, 7, 50, 51lneq2at 38587 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∧ (𝑄 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ = (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
533, 13, 38, 21, 39, 47, 28, 49, 52syl332anc 1402 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ π‘Œ = (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)))
541, 10latjcl 18388 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
554, 20, 9, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)
566, 21, 183jca 1129 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
57 simp31l 1297 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑅 β‰  𝑃)
583, 56, 573jca 1129 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 β‰  𝑃))
592, 10, 7hlatexch1 38204 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 β‰  𝑃) β†’ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅)))
6058, 26, 59sylc 65 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑃 ∨ 𝑅))
6120, 5, 93jca 1129 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡))
624, 61jca 513 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡)))
631, 2, 10latjlej1 18402 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ≀ 𝑋 β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
6462, 27, 63sylc 65 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑅) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
651, 2, 4, 23, 55, 12, 60, 64lattrd 18395 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ 𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
661, 2, 10, 41latmlej11 18427 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
674, 5, 13, 9, 66syl13anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
681, 41latmcl 18389 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
694, 5, 13, 68syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
701, 2, 10latjle12 18399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
714, 23, 69, 12, 70syl13anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ ((𝑄 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
7265, 67, 71mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
7353, 72eqbrtrd 5169 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
741, 2, 10latjle12 18399 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
754, 5, 13, 12, 74syl13anc 1373 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅)))
7637, 73, 75mpbi2and 711 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ (𝑋 ∨ 𝑅))
771, 2, 4, 12, 15, 35, 76latasymd 18394 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 β‰  𝑃 ∧ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≀ 𝑋 ∧ 𝑄 ≀ π‘Œ) ∧ ((πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑄 ≀ 𝑋))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38071  HLchlt 38158  Linesclines 38303  pmapcpmap 38306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 37984  df-ol 37986  df-oml 37987  df-covers 38074  df-ats 38075  df-atl 38106  df-cvlat 38130  df-hlat 38159  df-lines 38310  df-pmap 38313
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator