Theorem cdlema1N 40255

Description: A condition for required for proof of Lemma A in [Crawley] p. 112. (Contributed by NM, 29-Apr-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlema1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlema1.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlema1.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlema1.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlema1.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlema1.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
cdlema1.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cdlema1N	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ 𝑌))

Proof of Theorem cdlema1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlema1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		cdlema1.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simp11 1205	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39828	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12 1206	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp23 1210	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
7		cdlema1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 7	atbase 39753	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝐵)
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑅 ∈ 𝐵)
10		cdlema1.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	1, 10	latjcl 18400	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
12	4, 5, 9, 11	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
13		simp13 1207	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑌 ∈ 𝐵)
14	1, 10	latjcl 18400	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
16	1, 2, 10	latlej1 18409	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
17	4, 5, 13, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
18		simp21 1208	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
19	1, 7	atbase 39753	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑃 ∈ 𝐵)
21		simp22 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
22	1, 7	atbase 39753	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑄 ∈ 𝐵)
24	1, 10	latjcl 18400	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
25	4, 20, 23, 24	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
26		simp31r 1299	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄))
27		simp32l 1300	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑃 ≤ 𝑋)
28		simp32r 1301	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑄 ≤ 𝑌)
29	1, 2, 10	latjlej12 18416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)))
30	4, 20, 5, 23, 13, 29	syl122anc 1382	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → ((𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)))
31	27, 28, 30	mp2and 700	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑃 ∨ 𝑄) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
32	1, 2, 4, 9, 25, 15, 26, 31	lattrd 18407	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑅 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
33	1, 2, 10	latjle12 18411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑅 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑅) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)))
34	4, 5, 9, 15, 33	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌) ∧ 𝑅 ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑅) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌)))
35	17, 32, 34	mpbi2and 713	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∨ 𝑅) ≤ (𝑋 ∨ 𝑌))
36	1, 2, 10	latlej1 18409	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
37	4, 5, 9, 36	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
38		simp331 1328	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁)
39		simp332 1329	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
40		simp333 1330	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → ¬ 𝑄 ≤ 𝑋)
41		cdlema1.m	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
42	1, 2, 41	latmle1 18425	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
43	4, 5, 13, 42	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
44		breq1 5089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑄 ≤ 𝑋 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋))
45	43, 44	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑄 = (𝑋 ∧ 𝑌) → 𝑄 ≤ 𝑋))
46	45	necon3bd 2947	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (¬ 𝑄 ≤ 𝑋 → 𝑄 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌)))
47	40, 46	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑄 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌))
48	1, 2, 41	latmle2 18426	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
49	4, 5, 13, 48	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)
50		cdlema1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
51		cdlema1.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
52	1, 2, 10, 7, 50, 51	lneq2at 40242	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∧ (𝑄 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑌)) → 𝑌 = (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
53	3, 13, 38, 21, 39, 47, 28, 49, 52	syl332anc 1404	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑌 = (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)))
54	1, 10	latjcl 18400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
55	4, 20, 9, 54	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑃 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)
56	6, 21, 18	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴))
57		simp31l 1298	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑅 ≠ 𝑃)
58	3, 56, 57	3jca 1129	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃))
59	2, 10, 7	hlatexch1 39859	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 ≠ 𝑃) → (𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅)))
60	58, 26, 59	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑄 ≤ (𝑃 ∨ 𝑅))
61	20, 5, 9	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵))
62	4, 61	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵)))
63	1, 2, 10	latjlej1 18414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ≤ 𝑋 → (𝑃 ∨ 𝑅) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)))
64	62, 27, 63	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑃 ∨ 𝑅) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
65	1, 2, 4, 23, 55, 12, 60, 64	lattrd 18407	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑄 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
66	1, 2, 10, 41	latmlej11 18439	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
67	4, 5, 13, 9, 66	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
68	1, 41	latmcl 18401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
69	4, 5, 13, 68	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
70	1, 2, 10	latjle12 18411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)) → ((𝑄 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)))
71	4, 23, 69, 12, 70	syl13anc 1375	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → ((𝑄 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)))
72	65, 67, 71	mpbi2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑄 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
73	53, 72	eqbrtrd 5108	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
74	1, 2, 10	latjle12 18411	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑅) ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)))
75	4, 5, 13, 12, 74	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → ((𝑋 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅) ∧ 𝑌 ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅)))
76	37, 73, 75	mpbi2and 713	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∨ 𝑌) ≤ (𝑋 ∨ 𝑅))
77	1, 2, 4, 12, 15, 35, 76	latasymd 18406	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑅 ≠ 𝑃 ∧ 𝑅 ≤ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ (𝑃 ≤ 𝑋 ∧ 𝑄 ≤ 𝑌) ∧ ((𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑄 ≤ 𝑋))) → (𝑋 ∨ 𝑅) = (𝑋 ∨ 𝑌))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Basecbs 17174  lecple 17222  joincjn 18272  meetcmee 18273  Latclat 18392  Atomscatm 39727  HLchlt 39814  Linesclines 39958  pmapcpmap 39961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-join 18307  df-meet 18308  df-p0 18384  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 39640  df-ol 39642  df-oml 39643  df-covers 39730  df-ats 39731  df-atl 39762  df-cvlat 39786  df-hlat 39815  df-lines 39965  df-pmap 39968

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