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Theorem trljco 39611
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trljco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trljco.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trljco.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trljco (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 5858 . . . . 5 (𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺))
2 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 trljco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 trljco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4ltrn1o 38995 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
653adant2 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
7 f1of 6834 . . . . . 6 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
8 fcoi2 6767 . . . . . 6 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
101, 9sylan9eqr 2795 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝐺)
1110fveq2d 6896 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (π‘…β€˜πΊ))
1211oveq2d 7425 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
13 simp1l 1198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1413hllatd 38234 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 trljco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
162, 3, 4, 15trlcl 39035 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17163adant3 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
18 trljco.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
192, 18latjidm 18415 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
2014, 17, 19syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
21 hlol 38231 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ OL)
23 eqid 2733 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
242, 18, 23olj01 38095 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (π‘…β€˜πΉ))
2522, 17, 24syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (π‘…β€˜πΉ))
2620, 25eqtr4d 2776 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
2726adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
28 coeq2 5859 . . . . . 6 (𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
292, 3, 4ltrn1o 38995 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
30293adant3 1133 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
31 f1of 6834 . . . . . . 7 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
32 fcoi1 6766 . . . . . . 7 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = 𝐹)
3428, 33sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝐹)
3534fveq2d 6896 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (π‘…β€˜πΉ))
3635oveq2d 7425 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
372, 23, 3, 4, 15trlid0b 39049 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
38373adant2 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
3938biimpa 478 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ))
4039oveq2d 7425 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
4127, 36, 403eqtr4d 2783 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
42 eqid 2733 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
4314adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
44 simp1 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
453, 4ltrnco 39590 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
462, 3, 4, 15trlcl 39035 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4744, 45, 46syl2anc 585 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
482, 18latjcl 18392 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4914, 17, 47, 48syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5049adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
512, 3, 4, 15trlcl 39035 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52513adant2 1132 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
532, 18latjcl 18392 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5414, 17, 52, 53syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5554adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
562, 42, 18latlej1 18401 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
5714, 17, 52, 56syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
5842, 18, 3, 4, 15trlco 39598 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
592, 42, 18latjle12 18403 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
6014, 17, 47, 54, 59syl13anc 1373 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
6157, 58, 60mpbi2and 711 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
6261adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
63 simpr 486 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
6463oveq2d 7425 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
652, 42, 18latlej1 18401 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
6614, 17, 47, 65syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
6720, 66eqbrtrd 5171 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
6867adantr 482 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
6964, 68eqbrtrrd 5173 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
702, 42, 43, 50, 55, 62, 69latasymd 18398 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
7161adantr 482 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
72 simpl1l 1225 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
73 simpl1 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74 simpl2 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
75 simpr1 1195 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
76 eqid 2733 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
772, 76, 3, 4, 15trlnidat 39044 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
7873, 74, 75, 77syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
79 simpl3 1194 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
8074, 79jca 513 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
81 simpr3 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
8276, 3, 4, 15trlcoat 39594 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
8373, 80, 81, 82syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
84 simpr2 1196 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
852, 3, 4, 15trlcone 39599 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
8673, 80, 81, 84, 85syl112anc 1375 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
872, 76, 3, 4, 15trlnidat 39044 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
8873, 79, 84, 87syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
8942, 18, 76ps-1 38348 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
9072, 78, 83, 86, 78, 88, 89syl132anc 1389 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
9171, 90mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
9212, 41, 70, 91pm2.61da3ne 3032 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941   class class class wbr 5149   I cid 5574   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  0.cp0 18376  Latclat 18384  OLcol 38044  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-undef 8258  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030
This theorem is referenced by:  trljco2  39612  cdlemkid1  39793
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