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Theorem trljco 40101
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
trljco.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
trljco.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
trljco.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
trljco (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 5847 . . . . 5 (𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺))
2 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 trljco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
4 trljco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
52, 3, 4ltrn1o 39485 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
653adant2 1128 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
7 f1of 6823 . . . . . 6 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
8 fcoi2 6756 . . . . . 6 (𝐺:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
101, 9sylan9eqr 2786 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝐺)
1110fveq2d 6885 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (π‘…β€˜πΊ))
1211oveq2d 7417 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐹 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
13 simp1l 1194 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1413hllatd 38724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 trljco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
162, 3, 4, 15trlcl 39525 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17163adant3 1129 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
18 trljco.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
192, 18latjidm 18417 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
2014, 17, 19syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = (π‘…β€˜πΉ))
21 hlol 38721 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OL)
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐾 ∈ OL)
23 eqid 2724 . . . . . . 7 (0.β€˜πΎ) = (0.β€˜πΎ)
242, 18, 23olj01 38585 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (π‘…β€˜πΉ))
2522, 17, 24syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)) = (π‘…β€˜πΉ))
2620, 25eqtr4d 2767 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
2726adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
28 coeq2 5848 . . . . . 6 (𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = (𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))))
292, 3, 4ltrn1o 39485 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
30293adant3 1129 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ))
31 f1of 6823 . . . . . . 7 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)–1-1-ontoβ†’(Baseβ€˜πΎ) β†’ 𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ))
32 fcoi1 6755 . . . . . . 7 (𝐹:(Baseβ€˜πΎ)⟢(Baseβ€˜πΎ) β†’ (𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) = 𝐹)
3428, 33sylan9eqr 2786 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) = 𝐹)
3534fveq2d 6885 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) = (π‘…β€˜πΉ))
3635oveq2d 7417 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)))
372, 23, 3, 4, 15trlid0b 39539 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
38373adant2 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ↔ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ)))
3938biimpa 476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) = (0.β€˜πΎ))
4039oveq2d 7417 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (0.β€˜πΎ)))
4127, 36, 403eqtr4d 2774 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝐺 = ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
42 eqid 2724 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
4314adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
44 simp1 1133 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
453, 4ltrnco 40080 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇)
462, 3, 4, 15trlcl 39525 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4744, 45, 46syl2anc 583 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
482, 18latjcl 18394 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4914, 17, 47, 48syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5049adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
512, 3, 4, 15trlcl 39525 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
52513adant2 1128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
532, 18latjcl 18394 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5414, 17, 52, 53syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
5554adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
562, 42, 18latlej1 18403 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
5714, 17, 52, 56syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
5842, 18, 3, 4, 15trlco 40088 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
592, 42, 18latjle12 18405 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
6014, 17, 47, 54, 59syl13anc 1369 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (((π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
6157, 58, 60mpbi2and 709 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
6261adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
63 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ))
6463oveq2d 7417 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ)) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
652, 42, 18latlej1 18403 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
6614, 17, 47, 65syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (π‘…β€˜πΉ)(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
6720, 66eqbrtrd 5160 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
6867adantr 480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΉ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
6964, 68eqbrtrrd 5162 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))))
702, 42, 43, 50, 55, 62, 69latasymd 18400 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) = (π‘…β€˜πΊ)) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
7161adantr 480 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
72 simpl1l 1221 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
73 simpl1 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74 simpl2 1189 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
75 simpr1 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
76 eqid 2724 . . . . . 6 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
772, 76, 3, 4, 15trlnidat 39534 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
7873, 74, 75, 77syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
79 simpl3 1190 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
8074, 79jca 511 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
81 simpr3 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))
8276, 3, 4, 15trlcoat 40084 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ)) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
8373, 80, 81, 82syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
84 simpr2 1192 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))
852, 3, 4, 15trlcone 40089 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
8673, 80, 81, 84, 85syl112anc 1371 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))
872, 76, 3, 4, 15trlnidat 39534 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐺 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
8873, 79, 84, 87syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
8942, 18, 76ps-1 38838 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) ∧ ((π‘…β€˜πΉ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (π‘…β€˜πΊ) ∈ (Atomsβ€˜πΎ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
9072, 78, 83, 86, 78, 88, 89syl132anc 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ (((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺)))(leβ€˜πΎ)((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)) ↔ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ))))
9171, 90mpbid 231 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝐹 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝐺 β‰  ( I β†Ύ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ (π‘…β€˜πΉ) β‰  (π‘…β€˜πΊ))) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
9212, 41, 70, 91pm2.61da3ne 3023 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜(𝐹 ∘ 𝐺))) = ((π‘…β€˜πΉ) ∨ (π‘…β€˜πΊ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932   class class class wbr 5138   I cid 5563   β†Ύ cres 5668   ∘ ccom 5670  βŸΆwf 6529  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6532  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18266  0.cp0 18378  Latclat 18386  OLcol 38534  Atomscatm 38623  HLchlt 38710  LHypclh 39345  LTrncltrn 39462  trLctrl 39519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-riotaBAD 38313
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-undef 8253  df-map 8818  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-oposet 38536  df-ol 38538  df-oml 38539  df-covers 38626  df-ats 38627  df-atl 38658  df-cvlat 38682  df-hlat 38711  df-llines 38859  df-lplanes 38860  df-lvols 38861  df-lines 38862  df-psubsp 38864  df-pmap 38865  df-padd 39157  df-lhyp 39349  df-laut 39350  df-ldil 39465  df-ltrn 39466  df-trl 39520
This theorem is referenced by:  trljco2  40102  cdlemkid1  40283
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