Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  trljco Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem trljco 36548
Description: Trace joined with trace of composition. (Contributed by NM, 15-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
trljco.j = (join‘𝐾)
trljco.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
trljco.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
trljco.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
trljco (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))

Proof of Theorem trljco
StepHypRef Expression
1 coeq1 5417 . . . . 5 (𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺))
2 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
3 trljco.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 trljco.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
52, 3, 4ltrn1o 35931 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
653adant2 1125 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
7 f1of 6279 . . . . . 6 (𝐺:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
8 fcoi2 6220 . . . . . 6 (𝐺:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
96, 7, 83syl 18 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (( I ↾ (Base‘𝐾)) ∘ 𝐺) = 𝐺)
101, 9sylan9eqr 2827 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = 𝐺)
1110fveq2d 6337 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐺))
1211oveq2d 6812 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐹 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
13 simp1l 1239 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ HL)
1413hllatd 35171 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
15 trljco.r . . . . . . . 8 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
162, 3, 4, 15trlcl 35972 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
17163adant3 1126 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾))
18 trljco.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
192, 18latjidm 17282 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
2014, 17, 19syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = (𝑅𝐹))
21 hlol 35168 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
2213, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐾 ∈ OL)
23 eqid 2771 . . . . . . 7 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
242, 18, 23olj01 35032 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OL ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)) = (𝑅𝐹))
2522, 17, 24syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)) = (𝑅𝐹))
2620, 25eqtr4d 2808 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
2726adantr 466 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
28 coeq2 5418 . . . . . 6 (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) → (𝐹𝐺) = (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))))
292, 3, 4ltrn1o 35931 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
30293adant3 1126 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
31 f1of 6279 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
32 fcoi1 6219 . . . . . . 7 (𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹 ∘ ( I ↾ (Base‘𝐾))) = 𝐹)
3428, 33sylan9eqr 2827 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝐹𝐺) = 𝐹)
3534fveq2d 6337 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) = (𝑅𝐹))
3635oveq2d 6812 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)))
372, 23, 3, 4, 15trlid0b 35986 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
38373adant2 1125 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾)) ↔ (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾)))
3938biimpa 462 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) = (0.‘𝐾))
4039oveq2d 6812 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) = ((𝑅𝐹) (0.‘𝐾)))
4127, 36, 403eqtr4d 2815 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ 𝐺 = ( I ↾ (Base‘𝐾))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
42 eqid 2771 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
4314adantr 466 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → 𝐾 ∈ Lat)
44 simp1 1130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
453, 4ltrnco 36527 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝐹𝐺) ∈ 𝑇)
462, 3, 4, 15trlcl 35972 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝐺) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
4744, 45, 46syl2anc 573 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
482, 18latjcl 17259 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
4914, 17, 47, 48syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
5049adantr 466 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∈ (Base‘𝐾))
512, 3, 4, 15trlcl 35972 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
52513adant2 1125 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
532, 18latjcl 17259 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
5414, 17, 52, 53syl3anc 1476 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
5554adantr 466 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))
562, 42, 18latlej1 17268 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
5714, 17, 52, 56syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
5842, 18, 3, 4, 15trlco 36535 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
592, 42, 18latjle12 17270 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
6014, 17, 47, 54, 59syl13anc 1478 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (((𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
6157, 58, 60mpbi2and 691 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
6261adantr 466 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
63 simpr 471 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺))
6463oveq2d 6812 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹)) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
652, 42, 18latlej1 17268 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅𝐹) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6614, 17, 47, 65syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → (𝑅𝐹)(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6720, 66eqbrtrd 4809 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6867adantr 466 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐹))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
6964, 68eqbrtrrd 4811 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))))
702, 42, 43, 50, 55, 62, 69latasymd 17265 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝐺)) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
7161adantr 466 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
72 simpl1l 1278 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
73 simpl1 1227 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74 simpl2 1229 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
75 simpr1 1233 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
76 eqid 2771 . . . . . 6 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
772, 76, 3, 4, 15trlnidat 35981 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
7873, 74, 75, 77syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾))
79 simpl3 1231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
8074, 79jca 501 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐹𝑇𝐺𝑇))
81 simpr3 1237 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
8276, 3, 4, 15trlcoat 36531 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺)) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
8373, 80, 81, 82syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾))
84 simpr2 1235 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))
852, 3, 4, 15trlcone 36536 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ ((𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
8673, 80, 81, 84, 85syl112anc 1480 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺)))
872, 76, 3, 4, 15trlnidat 35981 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
8873, 79, 84, 87syl3anc 1476 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))
8942, 18, 76ps-1 35284 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅‘(𝐹𝐺)) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅‘(𝐹𝐺))) ∧ ((𝑅𝐹) ∈ (Atoms‘𝐾) ∧ (𝑅𝐺) ∈ (Atoms‘𝐾))) → (((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
9072, 78, 83, 86, 78, 88, 89syl132anc 1494 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺)))(le‘𝐾)((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)) ↔ ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺))))
9171, 90mpbid 222 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝐹 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ 𝐺 ≠ ( I ↾ (Base‘𝐾)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
9212, 41, 70, 91pm2.61da3ne 3032 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐹𝐺))) = ((𝑅𝐹) (𝑅𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787   I cid 5157  cres 5252  ccom 5254  wf 6026  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6796  Basecbs 16064  lecple 16156  joincjn 17152  0.cp0 17245  Latclat 17253  OLcol 34981  Atomscatm 35070  HLchlt 35157  LHypclh 35791  LTrncltrn 35908  trLctrl 35966
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-riotaBAD 34759
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-undef 7555  df-map 8015  df-preset 17136  df-poset 17154  df-plt 17166  df-lub 17182  df-glb 17183  df-join 17184  df-meet 17185  df-p0 17247  df-p1 17248  df-lat 17254  df-clat 17316  df-oposet 34983  df-ol 34985  df-oml 34986  df-covers 35073  df-ats 35074  df-atl 35105  df-cvlat 35129  df-hlat 35158  df-llines 35305  df-lplanes 35306  df-lvols 35307  df-lines 35308  df-psubsp 35310  df-pmap 35311  df-padd 35603  df-lhyp 35795  df-laut 35796  df-ldil 35911  df-ltrn 35912  df-trl 35967
This theorem is referenced by:  trljco2  36549  cdlemkid1  36730
  Copyright terms: Public domain W3C validator