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Theorem hlmod1i 39030
Description: A version of the modular law pmod1i 39022 that holds in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 13-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
hlmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
hlmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
hlmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
hlmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
hlmod.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
hlmod.p + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
hlmod1i ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍))))
Proof of Theorem hlmod1i
StepHypRef Expression
1 hlmod.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 hlmod.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 hllat 38536 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
433ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp21 1206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simp22 1207 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 hlmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
81, 7latjcl 18396 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
94, 5, 6, 8syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
10 simp23 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
11 hlmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
121, 11latmcl 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
134, 9, 10, 12syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
141, 11latmcl 18397 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
154, 6, 10, 14syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡)
161, 7latjcl 18396 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡)
174, 5, 15, 16syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡)
18 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
19 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
20 hlmod.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
211, 19, 20pmapssat 38933 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
2218, 5, 21syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
231, 19, 20pmapssat 38933 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
2418, 6, 23syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ))
25 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (PSubSpβ€˜πΎ) = (PSubSpβ€˜πΎ)
261, 25, 20pmapsub 38942 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
274, 10, 26syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))
28 simp3l 1201 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ 𝑋 ≀ 𝑍)
291, 2, 20pmaple 38935 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
3018, 5, 10, 29syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 ↔ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΉβ€˜π‘)))
3128, 30mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΉβ€˜π‘))
32 hlmod.p . . . . . . . . 9 + = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
3319, 25, 32pmod1i 39022 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΉβ€˜π‘) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + ((πΉβ€˜π‘Œ) ∩ (πΉβ€˜π‘)))))
34333impia 1117 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) βŠ† (Atomsβ€˜πΎ) ∧ (πΉβ€˜π‘) ∈ (PSubSpβ€˜πΎ)) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) βŠ† (πΉβ€˜π‘)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + ((πΉβ€˜π‘Œ) ∩ (πΉβ€˜π‘))))
3518, 22, 24, 27, 31, 34syl131anc 1383 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + ((πΉβ€˜π‘Œ) ∩ (πΉβ€˜π‘))))
361, 11, 19, 20pmapmeet 38947 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
3718, 9, 10, 36syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
38 simp3r 1202 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))
3938ineq1d 4211 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
4037, 39eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = (((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
411, 11, 19, 20pmapmeet 38947 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
4218, 6, 10, 41syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜(π‘Œ ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜π‘Œ) ∩ (πΉβ€˜π‘)))
4342oveq2d 7427 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜(π‘Œ ∧ 𝑍))) = ((πΉβ€˜π‘‹) + ((πΉβ€˜π‘Œ) ∩ (πΉβ€˜π‘))))
4435, 40, 433eqtr4d 2782 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜(π‘Œ ∧ 𝑍))))
451, 7, 20, 32pmapjoin 39026 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∧ 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜(π‘Œ ∧ 𝑍))) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍))))
464, 5, 15, 45syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜(π‘Œ ∧ 𝑍))) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍))))
4744, 46eqsstrd 4020 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍))))
481, 2, 20pmaple 38935 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ↔ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))))
4918, 13, 17, 48syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ↔ (πΉβ€˜((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)) βŠ† (πΉβ€˜(𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))))
5047, 49mpbird 256 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) ≀ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
511, 2, 7, 11mod1ile 18450 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ≀ 𝑍 β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍)))
52513impia 1117 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 ≀ 𝑍) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
534, 5, 6, 10, 28, 52syl131anc 1383 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)) ≀ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍))
541, 2, 4, 13, 17, 50, 53latasymd 18402 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ)))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍)))
55543expia 1121 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ 𝑍 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) + (πΉβ€˜π‘Œ))) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑍) = (𝑋 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑍))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  lecple 17208  joincjn 18268  meetcmee 18269  Latclat 18388  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  PSubSpcpsubsp 38670  pmapcpmap 38671  +𝑃cpadd 38969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970
This theorem is referenced by:  atmod1i1  39031  atmod1i2  39033  llnmod1i2  39034
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