Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj01 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem olj01 38095
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 30750 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olj0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
olj0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
olj01 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
Proof of Theorem olj01
StepHypRef Expression
1 olop 38084 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
2 olj0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 olj0.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3op0cl 38054 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ 𝐡)
51, 4syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ OL β†’ 0 ∈ 𝐡)
65adantr 482 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
7 eqid 2733 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
8 ollat 38083 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
983ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
10 olj0.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
112, 10latjcl 18392 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐡)
128, 11syl3an1 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐡)
13 simp2 1138 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
142, 7latref 18394 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
158, 14sylan 581 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
16153adant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
172, 7, 3op0le 38056 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
181, 17sylan 581 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
19183adant3 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
20 simp3 1139 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
212, 7, 10latjle12 18403 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(leβ€˜πΎ)𝑋))
229, 13, 20, 13, 21syl13anc 1373 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(leβ€˜πΎ)𝑋))
2316, 19, 22mpbi2and 711 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 )(leβ€˜πΎ)𝑋)
242, 7, 10latlej1 18401 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 0 ))
258, 24syl3an1 1164 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 0 ))
262, 7, 9, 12, 13, 23, 25latasymd 18398 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
276, 26mpd3an3 1463 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  0.cp0 18376  Latclat 18384  OPcops 38042  OLcol 38044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-proset 18248  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-oposet 38046  df-ol 38048
This theorem is referenced by:  olj02  38096  olm11  38097  omllaw3  38115  omlspjN  38131  2at0mat0  38396  lhp2at0nle  38906  lhple  38913  cdlemc6  39067  cdleme3c  39101  cdleme7e  39118  cdlemednpq  39170  cdlemefrs29pre00  39266  cdlemefrs29bpre0  39267  cdlemefrs29cpre1  39269  cdleme32fva  39308  cdleme42ke  39356  cdlemg12e  39518  cdlemg31d  39571  trljco  39611  cdlemkid2  39795  dihvalcqat  40110  dihmeetlem7N  40181  dihjatc1  40182  djh01  40283
  Copyright terms: Public domain W3C validator