Theorem olj01 36376

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 29274 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj01	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olj01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 36365	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		olj0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		olj0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 36335	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
7		eqid 2821	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		ollat 36364	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
9	8	3ad2ant1 1129	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10		olj0.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	2, 10	latjcl 17661	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl3an1 1159	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
13		simp2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	2, 7	latref 17663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
15	8, 14	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
16	15	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
17	2, 7, 3	op0le 36337	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
18	1, 17	sylan 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
19	18	3adant3 1128	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
20		simp3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
21	2, 7, 10	latjle12 17672	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
22	9, 13, 20, 13, 21	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
23	16, 19, 22	mpbi2and 710	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋)
24	2, 7, 10	latlej1 17670	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
25	8, 24	syl3an1 1159	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
26	2, 7, 9, 12, 13, 23, 25	latasymd 17667	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
27	6, 26	mpd3an3 1458	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  0.cp0 17647  Latclat 17655  OPcops 36323  OLcol 36325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-proset 17538  df-poset 17556  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-lat 17656  df-oposet 36327  df-ol 36329

This theorem is referenced by:  olj02  36377  olm11  36378  omllaw3  36396  omlspjN  36412  2at0mat0  36676  lhp2at0nle  37186  lhple  37193  cdlemc6  37347  cdleme3c  37381  cdleme7e  37398  cdlemednpq  37450  cdlemefrs29pre00  37546  cdlemefrs29bpre0  37547  cdlemefrs29cpre1  37549  cdleme32fva  37588  cdleme42ke  37636  cdlemg12e  37798  cdlemg31d  37851  trljco  37891  cdlemkid2  38075  dihvalcqat  38390  dihmeetlem7N  38461  dihjatc1  38462  djh01  38563