Theorem olj01 39999

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 31849 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj01	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olj01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39988	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		olj0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		olj0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 39958	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		ollat 39987	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
9	8	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10		olj0.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	2, 10	latjcl 18490	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
13		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	2, 7	latref 18492	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
15	8, 14	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
16	15	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
17	2, 7, 3	op0le 39960	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
18	1, 17	sylan 591	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
19	18	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
20		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
21	2, 7, 10	latjle12 18501	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
22	9, 13, 20, 13, 21	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
23	16, 19, 22	mpbi2and 724	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋)
24	2, 7, 10	latlej1 18499	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
25	8, 24	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
26	2, 7, 9, 12, 13, 23, 25	latasymd 18496	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
27	6, 26	mpd3an3 1491	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  lecple 17312  joincjn 18362  0.cp0 18472  Latclat 18482  OPcops 39946  OLcol 39948

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-proset 18345  df-poset 18364  df-lub 18395  df-glb 18396  df-join 18397  df-meet 18398  df-p0 18474  df-lat 18483  df-oposet 39950  df-ol 39952

This theorem is referenced by:  olj02  40000  olm11  40001  omllaw3  40019  omlspjN  40035  2at0mat0  40299  lhp2at0nle  40809  lhple  40816  cdlemc6  40970  cdleme3c  41004  cdleme7e  41021  cdlemednpq  41073  cdlemefrs29pre00  41169  cdlemefrs29bpre0  41170  cdlemefrs29cpre1  41172  cdleme32fva  41211  cdleme42ke  41259  cdlemg12e  41421  cdlemg31d  41474  trljco  41514  cdlemkid2  41698  dihvalcqat  42013  dihmeetlem7N  42084  dihjatc1  42085  djh01  42186