Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj01 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem olj01 38083
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 30737 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
olj0.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
olj0.z 0 = (0.β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
olj01 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
Proof of Theorem olj01
StepHypRef Expression
1 olop 38072 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ OP)
2 olj0.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 olj0.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
42, 3op0cl 38042 . . . 4 (𝐾 ∈ OP β†’ 0 ∈ 𝐡)
51, 4syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ OL β†’ 0 ∈ 𝐡)
65adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
7 eqid 2732 . . 3 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
8 ollat 38071 . . . 4 (𝐾 ∈ OL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
983ad2ant1 1133 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
10 olj0.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
112, 10latjcl 18388 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐡)
128, 11syl3an1 1163 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐡)
13 simp2 1137 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
142, 7latref 18390 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
158, 14sylan 580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
16153adant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋)
172, 7, 3op0le 38044 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
181, 17sylan 580 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
19183adant3 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋)
20 simp3 1138 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ 𝐡)
212, 7, 10latjle12 18399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(leβ€˜πΎ)𝑋))
229, 13, 20, 13, 21syl13anc 1372 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 0 (leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(leβ€˜πΎ)𝑋))
2316, 19, 22mpbi2and 710 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 )(leβ€˜πΎ)𝑋)
242, 7, 10latlej1 18397 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 0 ))
258, 24syl3an1 1163 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 0 ))
262, 7, 9, 12, 13, 23, 25latasymd 18394 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
276, 26mpd3an3 1462 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  0.cp0 18372  Latclat 18380  OPcops 38030  OLcol 38032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-oposet 38034  df-ol 38036
This theorem is referenced by:  olj02  38084  olm11  38085  omllaw3  38103  omlspjN  38119  2at0mat0  38384  lhp2at0nle  38894  lhple  38901  cdlemc6  39055  cdleme3c  39089  cdleme7e  39106  cdlemednpq  39158  cdlemefrs29pre00  39254  cdlemefrs29bpre0  39255  cdlemefrs29cpre1  39257  cdleme32fva  39296  cdleme42ke  39344  cdlemg12e  39506  cdlemg31d  39559  trljco  39599  cdlemkid2  39783  dihvalcqat  40098  dihmeetlem7N  40169  dihjatc1  40170  djh01  40271
  Copyright terms: Public domain W3C validator