Theorem olj01 39397

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 31498 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj01	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olj01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 39386	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		olj0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		olj0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 39356	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
7		eqid 2733	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		ollat 39385	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
9	8	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10		olj0.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	2, 10	latjcl 18353	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
13		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	2, 7	latref 18355	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
15	8, 14	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
16	15	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
17	2, 7, 3	op0le 39358	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
18	1, 17	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
19	18	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
20		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
21	2, 7, 10	latjle12 18364	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
22	9, 13, 20, 13, 21	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
23	16, 19, 22	mpbi2and 712	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋)
24	2, 7, 10	latlej1 18362	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
25	8, 24	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
26	2, 7, 9, 12, 13, 23, 25	latasymd 18359	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
27	6, 26	mpd3an3 1464	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  lecple 17175  joincjn 18225  0.cp0 18335  Latclat 18345  OPcops 39344  OLcol 39346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-proset 18208  df-poset 18227  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-lat 18346  df-oposet 39348  df-ol 39350

This theorem is referenced by:  olj02  39398  olm11  39399  omllaw3  39417  omlspjN  39433  2at0mat0  39697  lhp2at0nle  40207  lhple  40214  cdlemc6  40368  cdleme3c  40402  cdleme7e  40419  cdlemednpq  40471  cdlemefrs29pre00  40567  cdlemefrs29bpre0  40568  cdlemefrs29cpre1  40570  cdleme32fva  40609  cdleme42ke  40657  cdlemg12e  40819  cdlemg31d  40872  trljco  40912  cdlemkid2  41096  dihvalcqat  41411  dihmeetlem7N  41482  dihjatc1  41483  djh01  41584