Theorem olj01 40262

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 32092 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj01	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olj01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 40251	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		olj0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		olj0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 40221	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
7		eqid 2761	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		ollat 40250	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
9	8	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10		olj0.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	2, 10	latjcl 18606	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
13		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	2, 7	latref 18608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
15	8, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
16	15	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
17	2, 7, 3	op0le 40223	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
18	1, 17	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
19	18	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
20		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
21	2, 7, 10	latjle12 18617	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
22	9, 13, 20, 13, 21	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
23	16, 19, 22	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋)
24	2, 7, 10	latlej1 18615	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
25	8, 24	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
26	2, 7, 9, 12, 13, 23, 25	latasymd 18612	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
27	6, 26	mpd3an3 1491	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  lecple 17428  joincjn 18478  0.cp0 18588  Latclat 18598  OPcops 40209  OLcol 40211

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-proset 18461  df-poset 18480  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-lat 18599  df-oposet 40213  df-ol 40215

This theorem is used by:  olj02  40263  olm11  40264  omllaw3  40282  omlspjN  40298  2at0mat0  40562  lhp2at0nle  41072  lhple  41079  cdlemc6  41233  cdleme3c  41267  cdleme7e  41284  cdlemednpq  41336  cdlemefrs29pre00  41432  cdlemefrs29bpre0  41433  cdlemefrs29cpre1  41435  cdleme32fva  41474  cdleme42ke  41522  cdlemg12e  41684  cdlemg31d  41737  trljco  41777  cdlemkid2  41961  dihvalcqat  42276  dihmeetlem7N  42347  dihjatc1  42348  djh01  42449