Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj01 35363
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 28928 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j = (join‘𝐾)
olj0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olj01 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olj01
StepHypRef Expression
1 olop 35352 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 olj0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 olj0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 35322 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
51, 4syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ OL → 0𝐵)
65adantr 474 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
7 eqid 2777 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 ollat 35351 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
983ad2ant1 1124 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10 olj0.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
112, 10latjcl 17437 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
128, 11syl3an1 1163 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
13 simp2 1128 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋𝐵)
142, 7latref 17439 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
158, 14sylan 575 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
16153adant3 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
172, 7, 3op0le 35324 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
181, 17sylan 575 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
19183adant3 1123 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
20 simp3 1129 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 0𝐵)
212, 7, 10latjle12 17448 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵0𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋))
229, 13, 20, 13, 21syl13anc 1440 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋))
2316, 19, 22mpbi2and 702 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋)
242, 7, 10latlej1 17446 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 0 ))
258, 24syl3an1 1163 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 0 ))
262, 7, 9, 12, 13, 23, 25latasymd 17443 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
276, 26mpd3an3 1535 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2106   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  joincjn 17330  0.cp0 17423  Latclat 17431  OPcops 35310  OLcol 35312
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-lat 17432  df-oposet 35314  df-ol 35316
This theorem is referenced by:  olj02  35364  olm11  35365  omllaw3  35383  omlspjN  35399  2at0mat0  35663  lhp2at0nle  36173  lhple  36180  cdlemc6  36334  cdleme3c  36368  cdleme7e  36385  cdlemednpq  36437  cdlemefrs29pre00  36533  cdlemefrs29bpre0  36534  cdlemefrs29cpre1  36536  cdleme32fva  36575  cdleme42ke  36623  cdlemg12e  36785  cdlemg31d  36838  trljco  36878  cdlemkid2  37062  dihvalcqat  37377  dihmeetlem7N  37448  dihjatc1  37449  djh01  37550
  Copyright terms: Public domain W3C validator