Theorem olj01 40098

Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 31978 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
olj0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
olj0.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
olj01	⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olj01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olop 40087	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2		olj0.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		olj0.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4	2, 3	op0cl 40057	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 0 ∈ 𝐵)
6	5	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8		ollat 40086	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
9	8	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10		olj0.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
11	2, 10	latjcl 18527	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
12	8, 11	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) ∈ 𝐵)
13		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
14	2, 7	latref 18529	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
15	8, 14	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
16	15	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
17	2, 7, 3	op0le 40059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
18	1, 17	sylan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
19	18	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
20		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
21	2, 7, 10	latjle12 18538	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
22	9, 13, 20, 13, 21	syl13anc 1399	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋 ∧ 0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋))
23	16, 19, 22	mpbi2and 725	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 )(le‘𝐾)𝑋)
24	2, 7, 10	latlej1 18536	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
25	8, 24	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 0 ))
26	2, 7, 9, 12, 13, 23, 25	latasymd 18533	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)
27	6, 26	mpd3an3 1491	1 ⊢ ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 0 ) = 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  lecple 17349  joincjn 18399  0.cp0 18509  Latclat 18519  OPcops 40045  OLcol 40047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-proset 18382  df-poset 18401  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-lat 18520  df-oposet 40049  df-ol 40051

This theorem is used by:  olj02  40099  olm11  40100  omllaw3  40118  omlspjN  40134  2at0mat0  40398  lhp2at0nle  40908  lhple  40915  cdlemc6  41069  cdleme3c  41103  cdleme7e  41120  cdlemednpq  41172  cdlemefrs29pre00  41268  cdlemefrs29bpre0  41269  cdlemefrs29cpre1  41271  cdleme32fva  41310  cdleme42ke  41358  cdlemg12e  41520  cdlemg31d  41573  trljco  41613  cdlemkid2  41797  dihvalcqat  42112  dihmeetlem7N  42183  dihjatc1  42184  djh01  42285