Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  olj01 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem olj01 35035
Description: An ortholattice element joined with zero equals itself. (chj0 28697 analog.) (Contributed by NM, 19-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
olj0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
olj0.j = (join‘𝐾)
olj0.z 0 = (0.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
olj01 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem olj01
StepHypRef Expression
1 olop 35024 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ OP)
2 olj0.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 olj0.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
42, 3op0cl 34994 . . . 4 (𝐾 ∈ OP → 0𝐵)
51, 4syl 17 . . 3 (𝐾 ∈ OL → 0𝐵)
65adantr 466 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0𝐵)
7 eqid 2771 . . 3 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
8 ollat 35023 . . . 4 (𝐾 ∈ OL → 𝐾 ∈ Lat)
983ad2ant1 1127 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
10 olj0.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
112, 10latjcl 17260 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
128, 11syl3an1 1166 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) ∈ 𝐵)
13 simp2 1131 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋𝐵)
142, 7latref 17262 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
158, 14sylan 563 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
16153adant3 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)𝑋)
172, 7, 3op0le 34996 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
181, 17sylan 563 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
19183adant3 1126 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 0 (le‘𝐾)𝑋)
20 simp3 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 0𝐵)
212, 7, 10latjle12 17271 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵0𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋))
229, 13, 20, 13, 21syl13anc 1478 . . . 4 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → ((𝑋(le‘𝐾)𝑋0 (le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋))
2316, 19, 22mpbi2and 685 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 )(le‘𝐾)𝑋)
242, 7, 10latlej1 17269 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 0 ))
258, 24syl3an1 1166 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 0 ))
262, 7, 9, 12, 13, 23, 25latasymd 17266 . 2 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵0𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
276, 26mpd3an3 1573 1 ((𝐾 ∈ OL ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145   class class class wbr 4787  cfv 6032  (class class class)co 6794  Basecbs 16065  lecple 16157  joincjn 17153  0.cp0 17246  Latclat 17254  OPcops 34982  OLcol 34984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-preset 17137  df-poset 17155  df-lub 17183  df-glb 17184  df-join 17185  df-meet 17186  df-p0 17248  df-lat 17255  df-oposet 34986  df-ol 34988
This theorem is referenced by:  olj02  35036  olm11  35037  omllaw3  35055  omlspjN  35071  2at0mat0  35334  lhp2at0nle  35844  lhple  35851  cdlemc6  36006  cdleme3c  36040  cdleme7e  36057  cdlemednpq  36109  cdlemefrs29pre00  36205  cdlemefrs29bpre0  36206  cdlemefrs29cpre1  36208  cdleme32fva  36247  cdleme42ke  36295  cdlemg12e  36457  cdlemg31d  36510  trljco  36550  cdlemkid2  36734  dihvalcqat  37050  dihmeetlem7N  37121  dihjatc1  37122  djh01  37223
  Copyright terms: Public domain W3C validator