Theorem lautj 40117

Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 25-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lautj.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lautj.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lautj.i	⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lautj	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem lautj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lautj.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		simpl 482	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr1 1195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹 ∈ 𝐼)
5	3, 4	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
6		lautj.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	1, 6	latjcl 18454	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	7	3adant3r1 1183	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
9		lautj.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LAut‘𝐾)
10	1, 9	lautcl 40111	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
11	5, 8, 10	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)
12		simpr2 1196	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13	1, 9	lautcl 40111	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	5, 12, 13	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
16	1, 9	lautcl 40111	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 15, 16	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 6	latjcl 18454	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
19	3, 14, 17, 18	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	1, 9	laut1o 40109	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
21	20	3ad2antr1 1189	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵)
22		f1ocnvfv1 7274	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
23	21, 8, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) = (𝑋 ∨ 𝑌))
24	1, 2, 6	latlej1 18463	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))
25	3, 14, 17, 24	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))
26		f1ocnvfv2 7275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))
27	21, 19, 26	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))) = ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))
28	25, 27	breqtrrd 5152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))))
29		f1ocnvdm 7283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:𝐵–1-1-onto→𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
30	21, 19, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)
31	1, 2, 9	lautle 40108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))))))
32	5, 12, 30, 31	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))))))
33	28, 32	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))))
34	1, 2, 6	latlej2 18464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))
35	3, 14, 17, 34	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))
36	35, 27	breqtrrd 5152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))))
37	1, 2, 9	lautle 40108	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)) → (𝑌(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))))))
38	5, 15, 30, 37	syl12anc 836	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑌(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ↔ (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)(𝐹‘(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))))))
39	36, 38	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))))
40	1, 2, 6	latjle12 18465	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))))
41	3, 12, 15, 30, 40	syl13anc 1374	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))) ∧ 𝑌(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))) ↔ (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))))
42	33, 39, 41	mpbi2and 712	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 ∨ 𝑌)(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))))
43	23, 42	eqbrtrd 5146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (◡𝐹‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))))
44	1, 2, 9	lautcnvle 40113	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)) ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)) ↔ (◡𝐹‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))))
45	5, 11, 19, 44	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)) ↔ (◡𝐹‘(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))(le‘𝐾)(◡𝐹‘((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))))
46	43, 45	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))(le‘𝐾)((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))
47	1, 2, 6	latlej1 18463	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
48	47	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
49	1, 2, 9	lautle 40108	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
50	5, 12, 8, 49	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
51	48, 50	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
52	1, 2, 6	latlej2 18464	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
53	52	3adant3r1 1183	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → 𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌))
54	1, 2, 9	lautle 40108	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)) → (𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
55	5, 15, 8, 54	syl12anc 836	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑌(le‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑌) ↔ (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
56	53, 55	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
57	1, 2, 6	latjle12 18465	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
58	3, 14, 17, 11, 57	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝐹‘𝑋)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) ∧ (𝐹‘𝑌)(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))) ↔ ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌))))
59	51, 56, 58	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌))(le‘𝐾)(𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)))
60	1, 2, 3, 11, 19, 46, 59	latasymd 18460	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝐹‘(𝑋 ∨ 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) ∨ (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5124  ^◡ccnv 5658  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  lecple 17283  joincjn 18328  Latclat 18446  LAutclaut 40009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8847  df-proset 18311  df-poset 18330  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-lat 18447  df-laut 40013

This theorem is referenced by:  ltrnj  40156