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Theorem lautj 38964
Description: Meet property of a lattice automorphism. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
lautj.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lautj.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
lautj.i 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lautj ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem lautj
StepHypRef Expression
1 lautj.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . 2 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
3 simpl 484 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐼)
53, 4jca 513 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼))
6 lautj.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
71, 6latjcl 18392 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
873adant3r1 1183 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
9 lautj.i . . . 4 𝐼 = (LAutβ€˜πΎ)
101, 9lautcl 38958 . . 3 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
115, 8, 10syl2anc 585 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)
12 simpr2 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
131, 9lautcl 38958 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
145, 12, 13syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡)
15 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
161, 9lautcl 38958 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
175, 15, 16syl2anc 585 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
181, 6latjcl 18392 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
193, 14, 17, 18syl3anc 1372 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)
201, 9laut1o 38956 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
21203ad2antr1 1189 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡)
22 f1ocnvfv1 7274 . . . . 5 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
2321, 8, 22syl2anc 585 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
241, 2, 6latlej1 18401 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
253, 14, 17, 24syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
26 f1ocnvfv2 7275 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
2721, 19, 26syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
2825, 27breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))))
29 f1ocnvdm 7283 . . . . . . . 8 ((𝐹:𝐡–1-1-onto→𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)
3021, 19, 29syl2anc 585 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)
311, 2, 9lautle 38955 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))))))
325, 12, 30, 31syl12anc 836 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))))))
3328, 32mpbird 257 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))))
341, 2, 6latlej2 18402 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
353, 14, 17, 34syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
3635, 27breqtrrd 5177 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))))
371, 2, 9lautle 38955 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ↔ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))))))
385, 15, 30, 37syl12anc 836 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ↔ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))))))
3936, 38mpbird 257 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))))
401, 2, 6latjle12 18403 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))))
413, 12, 15, 30, 40syl13anc 1373 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))) ∧ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))) ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))))
4233, 39, 41mpbi2and 711 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))))
4323, 42eqbrtrd 5171 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))))
441, 2, 9lautcnvle 38960 . . . 4 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)) ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))))
455, 11, 19, 44syl12anc 836 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)) ↔ (β—‘πΉβ€˜(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))(leβ€˜πΎ)(β—‘πΉβ€˜((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))))
4643, 45mpbird 257 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))(leβ€˜πΎ)((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
471, 2, 6latlej1 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
48473adant3r1 1183 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
491, 2, 9lautle 38955 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
505, 12, 8, 49syl12anc 836 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
5148, 50mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
521, 2, 6latlej2 18402 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
53523adant3r1 1183 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ))
541, 2, 9lautle 38955 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ 𝐼) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
555, 15, 8, 54syl12anc 836 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (π‘Œ(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ π‘Œ) ↔ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
5653, 55mpbid 231 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
571, 2, 6latjle12 18403 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
583, 14, 17, 11, 57syl13anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((πΉβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) ∧ (πΉβ€˜π‘Œ)(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))) ↔ ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ))))
5951, 56, 58mpbi2and 711 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ))(leβ€˜πΎ)(πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)))
601, 2, 3, 11, 19, 46, 59latasymd 18398 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝐹 ∈ 𝐼 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 ∨ π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) ∨ (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  β—‘ccnv 5676  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264  Latclat 18384  LAutclaut 38856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-lat 18385  df-laut 38860
This theorem is referenced by:  ltrnj  39003
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