Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cdleme19.d |
. 2
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
2 | | eqid 2733 |
. . . 4
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
3 | | cdleme19.l |
. . . 4
β’ β€ =
(leβπΎ) |
4 | | hllat 37871 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
5 | 4 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
6 | | simp1 1137 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
7 | | simp21 1207 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
8 | | simp22 1208 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
9 | | cdleme19.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
10 | | cdleme19.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
11 | 2, 9, 10 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
12 | 6, 7, 8, 11 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
13 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
14 | 2, 9, 10 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
15 | 6, 8, 13, 14 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
16 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
17 | 3, 9, 10 | hlatlej1 37883 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π β¨ π)) |
18 | 6, 8, 13, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π)) |
19 | 2, 10 | atbase 37797 |
. . . . . . 7
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
20 | 7, 19 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
21 | 2, 10 | atbase 37797 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
22 | 8, 21 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
23 | 2, 3, 9 | latjle12 18344 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π
β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
24 | 5, 20, 22, 15, 23 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β€ (π β¨ π) β§ π β€ (π β¨ π)) β (π
β¨ π) β€ (π β¨ π))) |
25 | 16, 18, 24 | mpbi2and 711 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β€ (π β¨ π)) |
26 | 3, 9, 10 | hlatlej2 37884 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π
β¨ π)) |
27 | 6, 7, 8, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ (π
β¨ π)) |
28 | | hlcvl 37867 |
. . . . . . . . 9
β’ (πΎ β HL β πΎ β CvLat) |
29 | 28 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β CvLat) |
30 | | simp31 1210 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
31 | | simp32 1211 |
. . . . . . . . 9
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
32 | | nbrne2 5126 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β π
β π) |
33 | 30, 31, 32 | syl2anc 585 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π) |
34 | 3, 9, 10 | cvlatexch1 37844 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β CvLat β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
35 | 29, 7, 13, 8, 33, 34 | syl131anc 1384 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
36 | 16, 35 | mpd 15 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ (π β¨ π
)) |
37 | 9, 10 | hlatjcom 37876 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
38 | 6, 7, 8, 37 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) = (π β¨ π
)) |
39 | 36, 38 | breqtrrd 5134 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ (π
β¨ π)) |
40 | 2, 10 | atbase 37797 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
41 | 13, 40 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
42 | 2, 3, 9 | latjle12 18344 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β€ (π
β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π
β¨ π))) |
43 | 5, 22, 41, 12, 42 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β€ (π
β¨ π) β§ π β€ (π
β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (π
β¨ π))) |
44 | 27, 39, 43 | mpbi2and 711 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β€ (π
β¨ π)) |
45 | 2, 3, 5, 12, 15, 25, 44 | latasymd 18339 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) = (π β¨ π)) |
46 | 45 | oveq1d 7373 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
47 | 1, 46 | eqtrid 2785 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π· = ((π β¨ π) β§ π)) |