Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme19a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdleme19a 39162
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, 5th paragraph on p. 114, 1st line. 𝐷 represents s2. In their notation, we prove that if r ≀ s ∨ t, then s2=(s ∨ t) ∧ w. (Contributed by NM, 13-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdleme19.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdleme19.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdleme19.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdleme19.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdleme19.u π‘ˆ = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Š)
cdleme19.f 𝐹 = ((𝑆 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)))
cdleme19.g 𝐺 = ((𝑇 ∨ π‘ˆ) ∧ (𝑄 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)))
cdleme19.d 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
cdleme19.y π‘Œ = ((𝑅 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdleme19a ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐷 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
Proof of Theorem cdleme19a
StepHypRef Expression
1 cdleme19.d . 2 𝐷 = ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š)
2 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
3 cdleme19.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
4 hllat 38221 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
543ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6 simp1 1136 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
7 simp21 1206 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
8 simp22 1207 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
9 cdleme19.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
10 cdleme19.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
112, 9, 10hlatjcl 38225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
126, 7, 8, 11syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 simp23 1208 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
142, 9, 10hlatjcl 38225 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
156, 8, 13, 14syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simp33 1211 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
173, 9, 10hlatlej1 38233 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
186, 8, 13, 17syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
192, 10atbase 38147 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝐴 β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
207, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
212, 10atbase 38147 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
228, 21syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
232, 3, 9latjle12 18399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
245, 20, 22, 15, 23syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) ∧ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)) ↔ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇)))
2516, 18, 24mpbi2and 710 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
263, 9, 10hlatlej2 38234 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆))
276, 7, 8, 26syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆))
28 hlcvl 38217 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
29283ad2ant1 1133 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ CvLat)
30 simp31 1209 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
31 simp32 1210 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄))
32 nbrne2 5167 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄)) β†’ 𝑅 β‰  𝑆)
3330, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 β‰  𝑆)
343, 9, 10cvlatexch1 38194 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ CvLat ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑅 β‰  𝑆) β†’ (𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑅)))
3529, 7, 13, 8, 33, 34syl131anc 1383 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑅)))
3616, 35mpd 15 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑅))
379, 10hlatjcom 38226 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑅))
386, 7, 8, 37syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑅))
3936, 38breqtrrd 5175 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆))
402, 10atbase 38147 . . . . . . 7 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4113, 40syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
422, 3, 9latjle12 18399 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑅 ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑅 ∨ 𝑆)))
435, 22, 41, 12, 42syl13anc 1372 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆) ∧ 𝑇 ≀ (𝑅 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑅 ∨ 𝑆)))
4427, 39, 43mpbi2and 710 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑅 ∨ 𝑆))
452, 3, 5, 12, 15, 25, 44latasymd 18394 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑅 ∨ 𝑆) = (𝑆 ∨ 𝑇))
4645oveq1d 7420 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑅 ∨ 𝑆) ∧ π‘Š) = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
471, 46eqtrid 2784 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑅 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐷 = ((𝑆 ∨ 𝑇) ∧ π‘Š))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  CvLatclc 38123  HLchlt 38208  LHypclh 38843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  cdleme19b  39163
  Copyright terms: Public domain W3C validator