Theorem lattrd 18079

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 18077. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 18077	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 695	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  lecple 16895  Latclat 18064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-nul 5225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fv 6426  df-poset 17946  df-lat 18065

This theorem is referenced by:  latmlej11  18111  latjass  18116  lubun  18148  cvlcvr1  37280  exatleN  37345  2atjm  37386  2llnmat  37465  llnmlplnN  37480  2llnjaN  37507  2lplnja  37560  dalem5  37608  lncmp  37724  2lnat  37725  2llnma1b  37727  cdlema1N  37732  paddasslem5  37765  paddasslem12  37772  paddasslem13  37773  dalawlem3  37814  dalawlem5  37816  dalawlem6  37817  dalawlem7  37818  dalawlem8  37819  dalawlem11  37822  dalawlem12  37823  pl42lem1N  37920  lhpexle2lem  37950  lhpexle3lem  37952  4atexlemtlw  38008  4atexlemc  38010  cdleme15  38219  cdleme17b  38228  cdleme22e  38285  cdleme22eALTN  38286  cdleme23a  38290  cdleme28a  38311  cdleme30a  38319  cdleme32e  38386  cdleme35b  38391  trlord  38510  cdlemg10  38582  cdlemg11b  38583  cdlemg17a  38602  cdlemg35  38654  tendococl  38713  tendopltp  38721  cdlemi1  38759  cdlemk11  38790  cdlemk5u  38802  cdlemk11u  38812  cdlemk52  38895  dialss  38987  diaglbN  38996  diaintclN  38999  dia2dimlem1  39005  cdlemm10N  39059  djajN  39078  dibglbN  39107  dibintclN  39108  diblss  39111  cdlemn10  39147  dihord1  39159  dihord2pre2  39167  dihopelvalcpre  39189  dihord5apre  39203  dihmeetlem1N  39231  dihglblem2N  39235  dihmeetlem2N  39240  dihglbcpreN  39241  dihmeetlem3N  39246