Theorem lattrd 18399

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 18397. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 18397	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  lecple 17204  Latclat 18384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5683  df-dm 5687  df-iota 6496  df-fv 6552  df-poset 18266  df-lat 18385

This theorem is referenced by:  latmlej11  18431  latjass  18436  lubun  18468  cvlcvr1  38257  exatleN  38323  2atjm  38364  2llnmat  38443  llnmlplnN  38458  2llnjaN  38485  2lplnja  38538  dalem5  38586  lncmp  38702  2lnat  38703  2llnma1b  38705  cdlema1N  38710  paddasslem5  38743  paddasslem12  38750  paddasslem13  38751  dalawlem3  38792  dalawlem5  38794  dalawlem6  38795  dalawlem7  38796  dalawlem8  38797  dalawlem11  38800  dalawlem12  38801  pl42lem1N  38898  lhpexle2lem  38928  lhpexle3lem  38930  4atexlemtlw  38986  4atexlemc  38988  cdleme15  39197  cdleme17b  39206  cdleme22e  39263  cdleme22eALTN  39264  cdleme23a  39268  cdleme28a  39289  cdleme30a  39297  cdleme32e  39364  cdleme35b  39369  trlord  39488  cdlemg10  39560  cdlemg11b  39561  cdlemg17a  39580  cdlemg35  39632  tendococl  39691  tendopltp  39699  cdlemi1  39737  cdlemk11  39768  cdlemk5u  39780  cdlemk11u  39790  cdlemk52  39873  dialss  39965  diaglbN  39974  diaintclN  39977  dia2dimlem1  39983  cdlemm10N  40037  djajN  40056  dibglbN  40085  dibintclN  40086  diblss  40089  cdlemn10  40125  dihord1  40137  dihord2pre2  40145  dihopelvalcpre  40167  dihord5apre  40181  dihmeetlem1N  40209  dihglblem2N  40213  dihmeetlem2N  40218  dihglbcpreN  40219  dihmeetlem3N  40224