Theorem lattrd 18454

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 18452. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 18452	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6530  Basecbs 17226  lecple 17276  Latclat 18439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-nul 5276

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-dm 5664  df-iota 6483  df-fv 6538  df-poset 18323  df-lat 18440

This theorem is referenced by:  latmlej11  18486  latjass  18491  lubun  18523  cvlcvr1  39303  exatleN  39369  2atjm  39410  2llnmat  39489  llnmlplnN  39504  2llnjaN  39531  2lplnja  39584  dalem5  39632  lncmp  39748  2lnat  39749  2llnma1b  39751  cdlema1N  39756  paddasslem5  39789  paddasslem12  39796  paddasslem13  39797  dalawlem3  39838  dalawlem5  39840  dalawlem6  39841  dalawlem7  39842  dalawlem8  39843  dalawlem11  39846  dalawlem12  39847  pl42lem1N  39944  lhpexle2lem  39974  lhpexle3lem  39976  4atexlemtlw  40032  4atexlemc  40034  cdleme15  40243  cdleme17b  40252  cdleme22e  40309  cdleme22eALTN  40310  cdleme23a  40314  cdleme28a  40335  cdleme30a  40343  cdleme32e  40410  cdleme35b  40415  trlord  40534  cdlemg10  40606  cdlemg11b  40607  cdlemg17a  40626  cdlemg35  40678  tendococl  40737  tendopltp  40745  cdlemi1  40783  cdlemk11  40814  cdlemk5u  40826  cdlemk11u  40836  cdlemk52  40919  dialss  41011  diaglbN  41020  diaintclN  41023  dia2dimlem1  41029  cdlemm10N  41083  djajN  41102  dibglbN  41131  dibintclN  41132  diblss  41135  cdlemn10  41171  dihord1  41183  dihord2pre2  41191  dihopelvalcpre  41213  dihord5apre  41227  dihmeetlem1N  41255  dihglblem2N  41259  dihmeetlem2N  41264  dihglbcpreN  41265  dihmeetlem3N  41270