Theorem lattrd 18652

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 18650. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 18650	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 712	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6561  Basecbs 17419  lecple 17467  Latclat 18637

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-nul 5264

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-xp 5662  df-dm 5666  df-iota 6515  df-fv 6569  df-poset 18519  df-lat 18638

This theorem is used by:  latmlej11  18684  latjass  18689  lubun  18721  cvlcvr1  40599  exatleN  40664  2atjm  40705  2llnmat  40784  llnmlplnN  40799  2llnjaN  40826  2lplnja  40879  dalem5  40927  lncmp  41043  2lnat  41044  2llnma1b  41046  cdlema1N  41051  paddasslem5  41084  paddasslem12  41091  paddasslem13  41092  dalawlem3  41133  dalawlem5  41135  dalawlem6  41136  dalawlem7  41137  dalawlem8  41138  dalawlem11  41141  dalawlem12  41142  pl42lem1N  41239  lhpexle2lem  41269  lhpexle3lem  41271  4atexlemtlw  41327  4atexlemc  41329  cdleme15  41538  cdleme17b  41547  cdleme22e  41604  cdleme22eALTN  41605  cdleme23a  41609  cdleme28a  41630  cdleme30a  41638  cdleme32e  41705  cdleme35b  41710  trlord  41829  cdlemg10  41901  cdlemg11b  41902  cdlemg17a  41921  cdlemg35  41973  tendococl  42032  tendopltp  42040  cdlemi1  42078  cdlemk11  42109  cdlemk5u  42121  cdlemk11u  42131  cdlemk52  42214  dialss  42306  diaglbN  42315  diaintclN  42318  dia2dimlem1  42324  cdlemm10N  42378  djajN  42397  dibglbN  42426  dibintclN  42427  diblss  42430  cdlemn10  42466  dihord1  42478  dihord2pre2  42486  dihopelvalcpre  42508  dihord5apre  42522  dihmeetlem1N  42550  dihglblem2N  42554  dihmeetlem2N  42559  dihglbcpreN  42560  dihmeetlem3N  42565