Theorem lattrd 18412

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 18410. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 18410	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1375	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  Basecbs 17179  lecple 17227  Latclat 18397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-nul 5241

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-dm 5641  df-iota 6454  df-fv 6506  df-poset 18279  df-lat 18398

This theorem is referenced by:  latmlej11  18444  latjass  18449  lubun  18481  cvlcvr1  39785  exatleN  39850  2atjm  39891  2llnmat  39970  llnmlplnN  39985  2llnjaN  40012  2lplnja  40065  dalem5  40113  lncmp  40229  2lnat  40230  2llnma1b  40232  cdlema1N  40237  paddasslem5  40270  paddasslem12  40277  paddasslem13  40278  dalawlem3  40319  dalawlem5  40321  dalawlem6  40322  dalawlem7  40323  dalawlem8  40324  dalawlem11  40327  dalawlem12  40328  pl42lem1N  40425  lhpexle2lem  40455  lhpexle3lem  40457  4atexlemtlw  40513  4atexlemc  40515  cdleme15  40724  cdleme17b  40733  cdleme22e  40790  cdleme22eALTN  40791  cdleme23a  40795  cdleme28a  40816  cdleme30a  40824  cdleme32e  40891  cdleme35b  40896  trlord  41015  cdlemg10  41087  cdlemg11b  41088  cdlemg17a  41107  cdlemg35  41159  tendococl  41218  tendopltp  41226  cdlemi1  41264  cdlemk11  41295  cdlemk5u  41307  cdlemk11u  41317  cdlemk52  41400  dialss  41492  diaglbN  41501  diaintclN  41504  dia2dimlem1  41510  cdlemm10N  41564  djajN  41583  dibglbN  41612  dibintclN  41613  diblss  41616  cdlemn10  41652  dihord1  41664  dihord2pre2  41672  dihopelvalcpre  41694  dihord5apre  41708  dihmeetlem1N  41736  dihglblem2N  41740  dihmeetlem2N  41745  dihglbcpreN  41746  dihmeetlem3N  41751