Theorem lattrd 18445

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 18443. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 18443	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  ‘cfv 6553  Basecbs 17187  lecple 17247  Latclat 18430

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2699  ax-nul 5310

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-xp 5688  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fv 6561  df-poset 18312  df-lat 18431

This theorem is referenced by:  latmlej11  18477  latjass  18482  lubun  18514  cvlcvr1  38843  exatleN  38909  2atjm  38950  2llnmat  39029  llnmlplnN  39044  2llnjaN  39071  2lplnja  39124  dalem5  39172  lncmp  39288  2lnat  39289  2llnma1b  39291  cdlema1N  39296  paddasslem5  39329  paddasslem12  39336  paddasslem13  39337  dalawlem3  39378  dalawlem5  39380  dalawlem6  39381  dalawlem7  39382  dalawlem8  39383  dalawlem11  39386  dalawlem12  39387  pl42lem1N  39484  lhpexle2lem  39514  lhpexle3lem  39516  4atexlemtlw  39572  4atexlemc  39574  cdleme15  39783  cdleme17b  39792  cdleme22e  39849  cdleme22eALTN  39850  cdleme23a  39854  cdleme28a  39875  cdleme30a  39883  cdleme32e  39950  cdleme35b  39955  trlord  40074  cdlemg10  40146  cdlemg11b  40147  cdlemg17a  40166  cdlemg35  40218  tendococl  40277  tendopltp  40285  cdlemi1  40323  cdlemk11  40354  cdlemk5u  40366  cdlemk11u  40376  cdlemk52  40459  dialss  40551  diaglbN  40560  diaintclN  40563  dia2dimlem1  40569  cdlemm10N  40623  djajN  40642  dibglbN  40671  dibintclN  40672  diblss  40675  cdlemn10  40711  dihord1  40723  dihord2pre2  40731  dihopelvalcpre  40753  dihord5apre  40767  dihmeetlem1N  40795  dihglblem2N  40799  dihmeetlem2N  40804  dihglbcpreN  40805  dihmeetlem3N  40810