Theorem lattrd 18456

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 18454. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 18454	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 699	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  Basecbs 17228  lecple 17278  Latclat 18441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-nul 5276

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-dm 5664  df-iota 6484  df-fv 6539  df-poset 18325  df-lat 18442

This theorem is referenced by:  latmlej11  18488  latjass  18493  lubun  18525  cvlcvr1  39357  exatleN  39423  2atjm  39464  2llnmat  39543  llnmlplnN  39558  2llnjaN  39585  2lplnja  39638  dalem5  39686  lncmp  39802  2lnat  39803  2llnma1b  39805  cdlema1N  39810  paddasslem5  39843  paddasslem12  39850  paddasslem13  39851  dalawlem3  39892  dalawlem5  39894  dalawlem6  39895  dalawlem7  39896  dalawlem8  39897  dalawlem11  39900  dalawlem12  39901  pl42lem1N  39998  lhpexle2lem  40028  lhpexle3lem  40030  4atexlemtlw  40086  4atexlemc  40088  cdleme15  40297  cdleme17b  40306  cdleme22e  40363  cdleme22eALTN  40364  cdleme23a  40368  cdleme28a  40389  cdleme30a  40397  cdleme32e  40464  cdleme35b  40469  trlord  40588  cdlemg10  40660  cdlemg11b  40661  cdlemg17a  40680  cdlemg35  40732  tendococl  40791  tendopltp  40799  cdlemi1  40837  cdlemk11  40868  cdlemk5u  40880  cdlemk11u  40890  cdlemk52  40973  dialss  41065  diaglbN  41074  diaintclN  41077  dia2dimlem1  41083  cdlemm10N  41137  djajN  41156  dibglbN  41185  dibintclN  41186  diblss  41189  cdlemn10  41225  dihord1  41237  dihord2pre2  41245  dihopelvalcpre  41267  dihord5apre  41281  dihmeetlem1N  41309  dihglblem2N  41313  dihmeetlem2N  41318  dihglbcpreN  41319  dihmeetlem3N  41324