Theorem lattrd 17668

Description: A lattice ordering is transitive. Deduction version of lattr 17666. (Contributed by NM, 3-Sep-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lattrd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lattrd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lattrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
lattrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
lattrd.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lattrd.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
lattrd.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
lattrd.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
lattrd	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Proof of Theorem lattrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lattrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
2		lattrd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑍)
3		lattrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Lat)
4		lattrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lattrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		lattrd.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
7		lattrd.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		lattrd.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9	7, 8	lattr 17666	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
10	3, 4, 5, 6, 9	syl13anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑍) → 𝑋 ≤ 𝑍))
11	1, 2, 10	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑍)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  Basecbs 16483  lecple 16572  Latclat 17655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-nul 5210

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-xp 5561  df-dm 5565  df-iota 6314  df-fv 6363  df-poset 17556  df-lat 17656

This theorem is referenced by:  latmlej11  17700  latjass  17705  lubun  17733  cvlcvr1  36490  exatleN  36555  2atjm  36596  2llnmat  36675  llnmlplnN  36690  2llnjaN  36717  2lplnja  36770  dalem5  36818  lncmp  36934  2lnat  36935  2llnma1b  36937  cdlema1N  36942  paddasslem5  36975  paddasslem12  36982  paddasslem13  36983  dalawlem3  37024  dalawlem5  37026  dalawlem6  37027  dalawlem7  37028  dalawlem8  37029  dalawlem11  37032  dalawlem12  37033  pl42lem1N  37130  lhpexle2lem  37160  lhpexle3lem  37162  4atexlemtlw  37218  4atexlemc  37220  cdleme15  37429  cdleme17b  37438  cdleme22e  37495  cdleme22eALTN  37496  cdleme23a  37500  cdleme28a  37521  cdleme30a  37529  cdleme32e  37596  cdleme35b  37601  trlord  37720  cdlemg10  37792  cdlemg11b  37793  cdlemg17a  37812  cdlemg35  37864  tendococl  37923  tendopltp  37931  cdlemi1  37969  cdlemk11  38000  cdlemk5u  38012  cdlemk11u  38022  cdlemk52  38105  dialss  38197  diaglbN  38206  diaintclN  38209  dia2dimlem1  38215  cdlemm10N  38269  djajN  38288  dibglbN  38317  dibintclN  38318  diblss  38321  cdlemn10  38357  dihord1  38369  dihord2pre2  38377  dihopelvalcpre  38399  dihord5apre  38413  dihmeetlem1N  38441  dihglblem2N  38445  dihmeetlem2N  38450  dihglbcpreN  38451  dihmeetlem3N  38456