Theorem 2llnjaN 39553

Description: The join of two different lattice lines in a lattice plane equals the plane (version of 2llnjN 39554 in terms of atoms). (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnja.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2llnja.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
2llnja.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnja.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnja.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnjaN	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = 𝑊)

Proof of Theorem 2llnjaN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		2llnja.l	. 2 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		simpl1l 1225	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
4	3	hllatd 39350	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simpl21 1252	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
6		simpl22 1253	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
7		2llnja.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		2llnja.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9	1, 7, 8	hlatjcl 39353	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
10	3, 5, 6, 9	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11		simpl31 1255	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
12		simpl32 1256	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ 𝐴)
13	1, 7, 8	hlatjcl 39353	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
14	3, 11, 12, 13	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 7	latjcl 18380	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
16	4, 10, 14, 15	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
17		simpl1r 1226	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑊 ∈ 𝑃)
18		2llnja.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
19	1, 18	lplnbase 39521	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑃 → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
20	17, 19	syl 17	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
21		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊)
22		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊)
23	1, 2, 7	latjle12 18391	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ 𝑊))
24	4, 10, 14, 20, 23	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ 𝑊))
25	21, 22, 24	mpbi2and 712	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≤ 𝑊)
26	1, 8	atbase 39275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐴 → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
27	12, 26	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
28	1, 7	latjcl 18380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
29	4, 10, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
30	1, 8	atbase 39275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ 𝐴 → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
31	11, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
32	1, 2, 7	latlej2 18390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
33	4, 31, 27, 32	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
34	1, 2, 7	latjlej2 18395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
35	4, 27, 14, 10, 34	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑇 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
36	33, 35	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
37	1, 2, 4, 29, 16, 20, 36, 25	lattrd 18387	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊)
38	37	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊)
39		simp11l 1285	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
40		simp121 1306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
41		simp122 1307	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
42		simp132 1310	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑇 ∈ 𝐴)
43		simp123 1308	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝑅)
44		simp23 1209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))
45		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
46		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
47	1, 2, 7	latjle12 18391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
48	4, 31, 27, 10, 47	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
49	48	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
51	45, 46, 50	mpbi2and 712	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
52		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇))
53	2, 7, 8	ps-1 39464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
54	3, 52, 5, 6, 53	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
55	54	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑆 ∨ 𝑇) ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
57	51, 56	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅))
58	57	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑆 ∨ 𝑇))
59	58	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
60	59	necon3ad 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇) → ¬ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)))
61	44, 60	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
62	2, 7, 8, 18	lplni2 39524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑇 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑃)
63	39, 40, 41, 42, 43, 61, 62	syl132anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑃)
64		simp11r 1286	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
65	2, 18	lplncmp 39549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = 𝑊))
66	39, 63, 64, 65	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = 𝑊))
67	38, 66	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = 𝑊)
68	36	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
69	67, 68	eqbrtrrd 5126	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑊 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
70	69	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑊 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
71	1, 7	latjcl 18380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
72	4, 10, 31, 71	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
73	1, 2, 7	latlej1 18389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
74	4, 31, 27, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇))
75	1, 2, 7	latjlej2 18395	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
76	4, 31, 14, 10, 75	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (𝑆 ≤ (𝑆 ∨ 𝑇) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
77	74, 76	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
78	1, 2, 4, 72, 16, 20, 77, 25	lattrd 18387	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊)
79	78	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊)
80		simp11l 1285	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
81		simp121 1306	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
82		simp122 1307	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑅 ∈ 𝐴)
83		simp131 1309	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑆 ∈ 𝐴)
84		simp123 1308	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑄 ≠ 𝑅)
85		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))
86	2, 7, 8, 18	lplni2 39524	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ≠ 𝑅 ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
87	80, 81, 82, 83, 84, 85, 86	syl132anc 1390	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
88		simp11r 1286	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑊 ∈ 𝑃)
89	2, 18	lplncmp 39549	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊 ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = 𝑊))
90	80, 87, 88, 89	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ 𝑊 ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = 𝑊))
91	79, 90	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = 𝑊)
92	77	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
93	91, 92	eqbrtrrd 5126	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅)) → 𝑊 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
94	93	3expia 1121	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → (¬ 𝑆 ≤ (𝑄 ∨ 𝑅) → 𝑊 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
95	70, 94	pm2.61d 179	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → 𝑊 ≤ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
96	1, 2, 4, 16, 20, 25, 95	latasymd 18386	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ≠ 𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ≠ 𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≤ 𝑊 ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≤ 𝑊 ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ≠ (𝑆 ∨ 𝑇))) → ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = 𝑊)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lecple 17203  joincjn 18252  Latclat 18372  Atomscatm 39249  HLchlt 39336  LLinesclln 39478  LPlanesclpl 39479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-plt 18269  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-p0 18364  df-lat 18373  df-clat 18440  df-oposet 39162  df-ol 39164  df-oml 39165  df-covers 39252  df-ats 39253  df-atl 39284  df-cvlat 39308  df-hlat 39337  df-llines 39485  df-lplanes 39486

This theorem is referenced by:  2llnjN  39554