Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnjaN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnjaN 38893
Description: The join of two different lattice lines in a lattice plane equals the plane (version of 2llnjN 38894 in terms of atoms). (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnja.l = (le‘𝐾)
2llnja.j = (join‘𝐾)
2llnja.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnja.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnja.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnjaN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) = 𝑊)

Proof of Theorem 2llnjaN
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 2llnja.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38690 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl21 1248 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑄𝐴)
6 simpl22 1249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑅𝐴)
7 2llnja.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 2llnja.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
91, 7, 8hlatjcl 38693 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
103, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11 simpl31 1251 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝐴)
12 simpl32 1252 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝐴)
131, 7, 8hlatjcl 38693 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
143, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
151, 7latjcl 18393 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
164, 10, 14, 15syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl1r 1222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊𝑃)
18 2llnja.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
191, 18lplnbase 38861 . . 3 (𝑊𝑃𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2017, 19syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
21 simpr1 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑄 𝑅) 𝑊)
22 simpr2 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑇) 𝑊)
231, 2, 7latjle12 18404 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊) ↔ ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊))
244, 10, 14, 20, 23syl13anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊) ↔ ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊))
2521, 22, 24mpbi2and 709 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊)
261, 8atbase 38615 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
281, 7latjcl 18393 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
294, 10, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
301, 8atbase 38615 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
321, 2, 7latlej2 18403 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑇 (𝑆 𝑇))
334, 31, 27, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇 (𝑆 𝑇))
341, 2, 7latjlej2 18408 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑇 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
354, 27, 14, 10, 34syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
3633, 35mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
371, 2, 4, 29, 16, 20, 36, 25lattrd 18400 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊)
38373adant3 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊)
39 simp11l 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
40 simp121 1302 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
41 simp122 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
42 simp132 1306 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑇𝐴)
43 simp123 1304 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝑅)
44 simp23 1205 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))
45 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → 𝑆 (𝑄 𝑅))
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → 𝑇 (𝑄 𝑅))
471, 2, 7latjle12 18404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
484, 31, 27, 10, 47syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
49483adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
5145, 46, 50mpbi2and 709 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅))
52 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇))
532, 7, 8ps-1 38804 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
543, 52, 5, 6, 53syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
55543adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
5751, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅))
5857eqcomd 2730 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) = (𝑆 𝑇))
5958ex 412 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (𝑇 (𝑄 𝑅) → (𝑄 𝑅) = (𝑆 𝑇)))
6059necon3ad 2945 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇) → ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅)))
6144, 60mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅))
622, 7, 8, 18lplni2 38864 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃)
6339, 40, 41, 42, 43, 61, 62syl132anc 1385 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃)
64 simp11r 1282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊𝑃)
652, 18lplncmp 38889 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃𝑊𝑃) → (((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊))
6639, 63, 64, 65syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊))
6738, 66mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊)
68363adant3 1129 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
6967, 68eqbrtrrd 5162 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
70693expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 (𝑄 𝑅) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
711, 7latjcl 18393 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
724, 10, 31, 71syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
731, 2, 7latlej1 18402 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑆 𝑇))
744, 31, 27, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆 (𝑆 𝑇))
751, 2, 7latjlej2 18408 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
764, 31, 14, 10, 75syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
7774, 76mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
781, 2, 4, 72, 16, 20, 77, 25lattrd 18400 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊)
79783adant3 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊)
80 simp11l 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
81 simp121 1302 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
82 simp122 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
83 simp131 1305 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑆𝐴)
84 simp123 1304 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝑅)
85 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
862, 7, 8, 18lplni2 38864 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
8780, 81, 82, 83, 84, 85, 86syl132anc 1385 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
88 simp11r 1282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊𝑃)
892, 18lplncmp 38889 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃𝑊𝑃) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊))
9080, 87, 88, 89syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊))
9179, 90mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊)
92773adant3 1129 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
9391, 92eqbrtrrd 5162 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
94933expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
9570, 94pm2.61d 179 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
961, 2, 4, 16, 20, 25, 95latasymd 18399 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5138  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  lecple 17202  joincjn 18265  Latclat 18385  Atomscatm 38589  HLchlt 38676  LLinesclln 38818  LPlanesclpl 38819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-lat 18386  df-clat 18453  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826
This theorem is referenced by:  2llnjN  38894
  Copyright terms: Public domain W3C validator