Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnjaN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2llnjaN 39071
Description: The join of two different lattice lines in a lattice plane equals the plane (version of 2llnjN 39072 in terms of atoms). (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnja.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
2llnja.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2llnja.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnja.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
2llnja.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnjaN ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = π‘Š)
Proof of Theorem 2llnjaN
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . 2 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
2 2llnja.l . 2 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 simpl1l 1221 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 38868 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl21 1248 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 simpl22 1249 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
7 2llnja.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 2llnja.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
91, 7, 8hlatjcl 38871 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
103, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
11 simpl31 1251 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
12 simpl32 1252 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
131, 7, 8hlatjcl 38871 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
143, 11, 12, 13syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
151, 7latjcl 18438 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
164, 10, 14, 15syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
17 simpl1r 1222 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘Š ∈ 𝑃)
18 2llnja.p . . . 4 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
191, 18lplnbase 39039 . . 3 (π‘Š ∈ 𝑃 β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2017, 19syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))
21 simpr1 1191 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š)
22 simpr2 1192 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š)
231, 2, 7latjle12 18449 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Š ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ π‘Š))
244, 10, 14, 20, 23syl13anc 1369 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š) ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ π‘Š))
2521, 22, 24mpbi2and 710 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) ≀ π‘Š)
261, 8atbase 38793 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ 𝐴 β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
281, 7latjcl 18438 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
294, 10, 27, 28syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
301, 8atbase 38793 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝐴 β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
321, 2, 7latlej2 18448 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
334, 31, 27, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
341, 2, 7latjlej2 18453 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
354, 27, 14, 10, 34syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑇 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
3633, 35mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
371, 2, 4, 29, 16, 20, 36, 25lattrd 18445 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≀ π‘Š)
38373adant3 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≀ π‘Š)
39 simp11l 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
40 simp121 1302 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
41 simp122 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
42 simp132 1306 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑇 ∈ 𝐴)
43 simp123 1304 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
44 simp23 1205 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))
45 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
46 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
471, 2, 7latjle12 18449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
484, 31, 27, 10, 47syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
49483adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
5049adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
5145, 46, 50mpbi2and 710 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
52 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇))
532, 7, 8ps-1 38982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
543, 52, 5, 6, 53syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
55543adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑆 ∨ 𝑇) ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) ↔ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅)))
5751, 56mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑆 ∨ 𝑇) = (𝑄 ∨ 𝑅))
5857eqcomd 2734 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) ∧ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑆 ∨ 𝑇))
5958ex 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ (𝑄 ∨ 𝑅) = (𝑆 ∨ 𝑇)))
6059necon3ad 2950 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)))
6144, 60mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
622, 7, 8, 18lplni2 39042 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑇 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑃)
6339, 40, 41, 42, 43, 61, 62syl132anc 1385 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑃)
64 simp11r 1282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ π‘Š ∈ 𝑃)
652, 18lplncmp 39067 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ∈ 𝑃 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = π‘Š))
6639, 63, 64, 65syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = π‘Š))
6738, 66mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) = π‘Š)
68363adant3 1129 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑇) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
6967, 68eqbrtrrd 5176 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ π‘Š ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
70693expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ π‘Š ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
711, 7latjcl 18438 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
724, 10, 31, 71syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
731, 2, 7latlej1 18447 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑇 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
744, 31, 27, 73syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ 𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇))
751, 2, 7latjlej2 18453 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) ∈ (Baseβ€˜πΎ))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
764, 31, 14, 10, 75syl13anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (𝑆 ≀ (𝑆 ∨ 𝑇) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
7774, 76mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
781, 2, 4, 72, 16, 20, 77, 25lattrd 18445 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ π‘Š)
79783adant3 1129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ π‘Š)
80 simp11l 1281 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
81 simp121 1302 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
82 simp122 1303 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ 𝐴)
83 simp131 1305 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑆 ∈ 𝐴)
84 simp123 1304 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ 𝑄 β‰  𝑅)
85 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))
862, 7, 8, 18lplni2 39042 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 β‰  𝑅 ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
8780, 81, 82, 83, 84, 85, 86syl132anc 1385 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃)
88 simp11r 1282 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ π‘Š ∈ 𝑃)
892, 18lplncmp 39067 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ∈ 𝑃 ∧ π‘Š ∈ 𝑃) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ π‘Š ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = π‘Š))
9080, 87, 88, 89syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ (((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ π‘Š ↔ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = π‘Š))
9179, 90mpbid 231 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) = π‘Š)
92773adant3 1129 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ 𝑆) ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
9391, 92eqbrtrrd 5176 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇)) ∧ Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅)) β†’ π‘Š ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
94933expia 1118 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ (Β¬ 𝑆 ≀ (𝑄 ∨ 𝑅) β†’ π‘Š ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇))))
9570, 94pm2.61d 179 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ π‘Š ≀ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)))
961, 2, 4, 16, 20, 25, 95latasymd 18444 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝑃) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 β‰  𝑅) ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑇 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 β‰  𝑇)) ∧ ((𝑄 ∨ 𝑅) ≀ π‘Š ∧ (𝑆 ∨ 𝑇) ≀ π‘Š ∧ (𝑄 ∨ 𝑅) β‰  (𝑆 ∨ 𝑇))) β†’ ((𝑄 ∨ 𝑅) ∨ (𝑆 ∨ 𝑇)) = π‘Š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854  LLinesclln 38996  LPlanesclpl 38997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004
This theorem is referenced by:  2llnjN  39072
  Copyright terms: Public domain W3C validator