Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnjaN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnjaN 39549
Description: The join of two different lattice lines in a lattice plane equals the plane (version of 2llnjN 39550 in terms of atoms). (Contributed by NM, 5-Jul-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnja.l = (le‘𝐾)
2llnja.j = (join‘𝐾)
2llnja.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnja.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
2llnja.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnjaN ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) = 𝑊)

Proof of Theorem 2llnjaN
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . 2 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 2llnja.l . 2 = (le‘𝐾)
3 simpl1l 1223 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ HL)
43hllatd 39346 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl21 1250 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑄𝐴)
6 simpl22 1251 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑅𝐴)
7 2llnja.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 2llnja.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
91, 7, 8hlatjcl 39349 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
103, 5, 6, 9syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
11 simpl31 1253 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆𝐴)
12 simpl32 1254 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇𝐴)
131, 7, 8hlatjcl 39349 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
143, 11, 12, 13syl3anc 1370 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
151, 7latjcl 18497 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
164, 10, 14, 15syl3anc 1370 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) ∈ (Base‘𝐾))
17 simpl1r 1224 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊𝑃)
18 2llnja.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
191, 18lplnbase 39517 . . 3 (𝑊𝑃𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
2017, 19syl 17 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
21 simpr1 1193 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑄 𝑅) 𝑊)
22 simpr2 1194 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 𝑇) 𝑊)
231, 2, 7latjle12 18508 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊) ↔ ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊))
244, 10, 14, 20, 23syl13anc 1371 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊) ↔ ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊))
2521, 22, 24mpbi2and 712 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) 𝑊)
261, 8atbase 39271 . . . . . . . . . 10 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
2712, 26syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
281, 7latjcl 18497 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
294, 10, 27, 28syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
301, 8atbase 39271 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
3111, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
321, 2, 7latlej2 18507 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑇 (𝑆 𝑇))
334, 31, 27, 32syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑇 (𝑆 𝑇))
341, 2, 7latjlej2 18512 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑇 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
354, 27, 14, 10, 34syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑇 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
3633, 35mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
371, 2, 4, 29, 16, 20, 36, 25lattrd 18504 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊)
38373adant3 1131 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊)
39 simp11l 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
40 simp121 1304 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
41 simp122 1305 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
42 simp132 1308 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑇𝐴)
43 simp123 1306 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝑅)
44 simp23 1207 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))
45 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → 𝑆 (𝑄 𝑅))
46 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → 𝑇 (𝑄 𝑅))
471, 2, 7latjle12 18508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
484, 31, 27, 10, 47syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
49483adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) ↔ (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅)))
5145, 46, 50mpbi2and 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅))
52 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇))
532, 7, 8ps-1 39460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
543, 52, 5, 6, 53syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
55543adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → ((𝑆 𝑇) (𝑄 𝑅) ↔ (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅)))
5751, 56mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑆 𝑇) = (𝑄 𝑅))
5857eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) ∧ 𝑇 (𝑄 𝑅)) → (𝑄 𝑅) = (𝑆 𝑇))
5958ex 412 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (𝑇 (𝑄 𝑅) → (𝑄 𝑅) = (𝑆 𝑇)))
6059necon3ad 2951 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇) → ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅)))
6144, 60mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅))
622, 7, 8, 18lplni2 39520 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑇𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑇 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃)
6339, 40, 41, 42, 43, 61, 62syl132anc 1387 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃)
64 simp11r 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊𝑃)
652, 18lplncmp 39545 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑇) ∈ 𝑃𝑊𝑃) → (((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊))
6639, 63, 64, 65syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (((𝑄 𝑅) 𝑇) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊))
6738, 66mpbid 232 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) = 𝑊)
68363adant3 1131 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑇) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
6967, 68eqbrtrrd 5172 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
70693expia 1120 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 (𝑄 𝑅) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
711, 7latjcl 18497 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
724, 10, 31, 71syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
731, 2, 7latlej1 18506 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑆 (𝑆 𝑇))
744, 31, 27, 73syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑆 (𝑆 𝑇))
751, 2, 7latjlej2 18512 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
764, 31, 14, 10, 75syl13anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (𝑆 (𝑆 𝑇) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
7774, 76mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
781, 2, 4, 72, 16, 20, 77, 25lattrd 18504 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊)
79783adant3 1131 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊)
80 simp11l 1283 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝐾 ∈ HL)
81 simp121 1304 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝐴)
82 simp122 1305 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑅𝐴)
83 simp131 1307 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑆𝐴)
84 simp123 1306 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑄𝑅)
85 simp3 1137 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))
862, 7, 8, 18lplni2 39520 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (𝑄𝑅 ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅))) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
8780, 81, 82, 83, 84, 85, 86syl132anc 1387 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃)
88 simp11r 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊𝑃)
892, 18lplncmp 39545 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∈ 𝑃𝑊𝑃) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊))
9080, 87, 88, 89syl3anc 1370 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → (((𝑄 𝑅) 𝑆) 𝑊 ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊))
9179, 90mpbid 232 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) = 𝑊)
92773adant3 1131 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → ((𝑄 𝑅) 𝑆) ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
9391, 92eqbrtrrd 5172 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇)) ∧ ¬ 𝑆 (𝑄 𝑅)) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
94933expia 1120 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → (¬ 𝑆 (𝑄 𝑅) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇))))
9570, 94pm2.61d 179 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → 𝑊 ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)))
961, 2, 4, 16, 20, 25, 95latasymd 18503 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝑃) ∧ (𝑄𝐴𝑅𝐴𝑄𝑅) ∧ (𝑆𝐴𝑇𝐴𝑆𝑇)) ∧ ((𝑄 𝑅) 𝑊 ∧ (𝑆 𝑇) 𝑊 ∧ (𝑄 𝑅) ≠ (𝑆 𝑇))) → ((𝑄 𝑅) (𝑆 𝑇)) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  LLinesclln 39474  LPlanesclpl 39475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-llines 39481  df-lplanes 39482
This theorem is referenced by:  2llnjN  39550
  Copyright terms: Public domain W3C validator