Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochvalr 40216
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
dochvalr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochvalr.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochvalr.n 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dochvalr (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))

Proof of Theorem dochvalr
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochvalr.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . 4 ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dochvalr.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
51, 2, 3, 4dihrnss 40137 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
6 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 eqid 2732 . . . 4 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
8 dochvalr.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
9 dochvalr.n . . . 4 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
106, 7, 8, 1, 3, 2, 4, 9dochval 40210 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}))))
115, 10syldan 591 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}))))
12 eqid 2732 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 hllat 38221 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1413ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 hlclat 38216 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
1615ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
17 ssrab2 4076 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
186, 7clatglbcl 18454 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
206, 1, 3dihcnvcl 40130 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2117a1i 11 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
22 ssid 4003 . . . . . . . 8 𝑋 βŠ† 𝑋
231, 3dihcnvid2 40132 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2422, 23sseqtrrid 4034 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)))
25 fveq2 6888 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (β—‘πΌβ€˜π‘‹) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)))
2625sseq2d 4013 . . . . . . . 8 (𝑦 = (β—‘πΌβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦) ↔ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
2726elrab 3682 . . . . . . 7 ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} ↔ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
2820, 24, 27sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)})
296, 12, 7clatglble 18466 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)})(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘‹))
3016, 21, 28, 29syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)})(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘‹))
31 fveq2 6888 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘§))
3231sseq2d 4013 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦) ↔ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
3332elrab 3682 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} ↔ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
3423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
3534sseq1d 4012 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) βŠ† (πΌβ€˜π‘§) ↔ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
36 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3720adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
396, 12, 1, 3dihord 40123 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) βŠ† (πΌβ€˜π‘§) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) βŠ† (πΌβ€˜π‘§) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4135, 40bitr3d 280 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4241biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4342expimpd 454 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4433, 43biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4544ralrimiv 3145 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧)
466, 12, 7clatleglb 18467 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) ↔ βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4716, 20, 21, 46syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) ↔ βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4845, 47mpbird 256 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}))
496, 12, 14, 19, 20, 30, 48latasymd 18394 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) = (β—‘πΌβ€˜π‘‹))
5049fveq2d 6892 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)})) = ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)))
5150fveq2d 6892 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}))) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
5211, 51eqtrd 2772 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674  ran crn 5676  β€˜cfv 6540  Basecbs 17140  lecple 17200  occoc 17201  glbcglb 18259  Latclat 18380  CLatccla 18447  HLchlt 38208  LHypclh 38843  DVecHcdvh 39937  DIsoHcdih 40087  ocHcoch 40206
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 37811
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-undef 8254  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-p1 18375  df-lat 18381  df-clat 18448  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-cntz 19175  df-lsm 19498  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lvec 20706  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358  df-lvols 38359  df-lines 38360  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655  df-lhyp 38847  df-laut 38848  df-ldil 38963  df-ltrn 38964  df-trl 39018  df-tendo 39614  df-edring 39616  df-disoa 39888  df-dvech 39938  df-dib 39998  df-dic 40032  df-dih 40088  df-doch 40207
This theorem is referenced by:  doch0  40217  doch1  40218  dochvalr2  40221  dochvalr3  40222  dochocss  40225  dochoc  40226  dochnoncon  40250
  Copyright terms: Public domain W3C validator