Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochvalr 38360
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr.o = (oc‘𝐾)
dochvalr.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr.i 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr.n 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
dochvalr (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁𝑋) = (𝐼‘( ‘(𝐼𝑋))))

Proof of Theorem dochvalr
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochvalr.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 eqid 2826 . . . 4 ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 dochvalr.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2826 . . . 4 (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
51, 2, 3, 4dihrnss 38281 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
6 eqid 2826 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 eqid 2826 . . . 4 (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
8 dochvalr.o . . . 4 = (oc‘𝐾)
9 dochvalr.n . . . 4 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
106, 7, 8, 1, 3, 2, 4, 9dochval 38354 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑁𝑋) = (𝐼‘( ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}))))
115, 10syldan 591 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁𝑋) = (𝐼‘( ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}))))
12 eqid 2826 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13 hllat 36366 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1413ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ Lat)
15 hlclat 36361 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
1615ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ CLat)
17 ssrab2 4060 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)
186, 7clatglbcl 17714 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}) ∈ (Base‘𝐾))
1916, 17, 18sylancl 586 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}) ∈ (Base‘𝐾))
206, 1, 3dihcnvcl 38274 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
2117a1i 11 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾))
22 ssid 3993 . . . . . . . 8 𝑋𝑋
231, 3dihcnvid2 38276 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
2422, 23sseqtrrid 4024 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (𝐼‘(𝐼𝑋)))
25 fveq2 6667 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (𝐼𝑋) → (𝐼𝑦) = (𝐼‘(𝐼𝑋)))
2625sseq2d 4003 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝐼𝑋) → (𝑋 ⊆ (𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼‘(𝐼𝑋))))
2726elrab 3684 . . . . . . 7 ((𝐼𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} ↔ ((𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼‘(𝐼𝑋))))
2820, 24, 27sylanbrc 583 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)})
296, 12, 7clatglble 17725 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (𝐼𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)})(le‘𝐾)(𝐼𝑋))
3016, 21, 28, 29syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)})(le‘𝐾)(𝐼𝑋))
31 fveq2 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 → (𝐼𝑦) = (𝐼𝑧))
3231sseq2d 4003 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 → (𝑋 ⊆ (𝐼𝑦) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑧)))
3332elrab 3684 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} ↔ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑧)))
3423adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(𝐼𝑋)) = 𝑋)
3534sseq1d 4002 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ⊆ (𝐼𝑧) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑧)))
36 simpll 763 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3720adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
38 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
396, 12, 1, 3dihord 38267 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ⊆ (𝐼𝑧) ↔ (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(𝐼𝑋)) ⊆ (𝐼𝑧) ↔ (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
4135, 40bitr3d 282 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ⊆ (𝐼𝑧) ↔ (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
4241biimpd 230 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ⊆ (𝐼𝑧) → (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
4342expimpd 454 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑧)) → (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
4433, 43syl5bi 243 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} → (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
4544ralrimiv 3186 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧)
466, 12, 7clatleglb 17726 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝐼𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)) → ((𝐼𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
4716, 20, 21, 46syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((𝐼𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)} (𝐼𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
4845, 47mpbird 258 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}))
496, 12, 14, 19, 20, 30, 48latasymd 17657 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}) = (𝐼𝑋))
5049fveq2d 6671 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)})) = ( ‘(𝐼𝑋)))
5150fveq2d 6671 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘( ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼𝑦)}))) = (𝐼‘( ‘(𝐼𝑋))))
5211, 51eqtrd 2861 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁𝑋) = (𝐼‘( ‘(𝐼𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  {crab 3147  wss 3940   class class class wbr 5063  ccnv 5553  ran crn 5555  cfv 6352  Basecbs 16473  lecple 16562  occoc 16563  glbcglb 17543  Latclat 17645  CLatccla 17707  HLchlt 36353  LHypclh 36987  DVecHcdvh 38081  DIsoHcdih 38231  ocHcoch 38350
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 35956
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-undef 7930  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-0g 16705  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-subg 18206  df-cntz 18377  df-lsm 18681  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-drng 19424  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-lsp 19664  df-lvec 19795  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-llines 36501  df-lplanes 36502  df-lvols 36503  df-lines 36504  df-psubsp 36506  df-pmap 36507  df-padd 36799  df-lhyp 36991  df-laut 36992  df-ldil 37107  df-ltrn 37108  df-trl 37162  df-tendo 37758  df-edring 37760  df-disoa 38032  df-dvech 38082  df-dib 38142  df-dic 38176  df-dih 38232  df-doch 38351
This theorem is referenced by:  doch0  38361  doch1  38362  dochvalr2  38365  dochvalr3  38366  dochocss  38369  dochoc  38370  dochnoncon  38394
  Copyright terms: Public domain W3C validator