Theorem dochvalr 37427

Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochvalr.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
dochvalr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochvalr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))

Proof of Theorem dochvalr

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochvalr.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2825	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochvalr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
5	1, 2, 3, 4	dihrnss 37348	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
6		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
8		dochvalr.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
9		dochvalr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10	6, 7, 8, 1, 3, 2, 4, 9	dochval 37421	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}))))
11	5, 10	syldan 585	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}))))
12		eqid 2825	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		hllat 35433	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	ad2antrr 717	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ Lat)
15		hlclat 35428	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
16	15	ad2antrr 717	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ CLat)
17		ssrab2 3914	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)
18	6, 7	clatglbcl 17474	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) ∈ (Base‘𝐾))
19	16, 17, 18	sylancl 580	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) ∈ (Base‘𝐾))
20	6, 1, 3	dihcnvcl 37341	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
21	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾))
22		ssid 3848	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
23	1, 3	dihcnvid2 37343	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
24	22, 23	syl5sseqr 3879	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
25		fveq2 6437	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (◡𝐼‘𝑋) → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
26	25	sseq2d 3858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (◡𝐼‘𝑋) → (𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))))
27	26	elrab 3585	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐼‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ↔ ((◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))))
28	20, 24, 27	sylanbrc 578	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)})
29	6, 12, 7	clatglble 17485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)})(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑋))
30	16, 21, 28, 29	syl3anc 1494	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)})(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑋))
31		fveq2 6437	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑧))
32	31	sseq2d 3858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
33	32	elrab 3585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ↔ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
34	23	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
35	34	sseq1d 3857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘𝑧) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
36		simpll 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
37	20	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
38		simpr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
39	6, 12, 1, 3	dihord 37334	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘𝑧) ↔ (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘𝑧) ↔ (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
41	35, 40	bitr3d 273	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧) ↔ (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
42	41	biimpd 221	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧) → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
43	42	expimpd 447	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧)) → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
44	33, 43	syl5bi 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
45	44	ralrimiv 3174	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧)
46	6, 12, 7	clatleglb 17486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
47	16, 20, 21, 46	syl3anc 1494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
48	45, 47	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}))
49	6, 12, 14, 19, 20, 30, 48	latasymd 17417	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) = (◡𝐼‘𝑋))
50	49	fveq2d 6441	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)})) = ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)))
51	50	fveq2d 6441	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘( ⊥ ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}))) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))
52	11, 51	eqtrd 2861	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117  {crab 3121   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875  ^◡ccnv 5345  ran crn 5347  ‘cfv 6127  Basecbs 16229  lecple 16319  occoc 16320  glbcglb 17303  Latclat 17405  CLatccla 17467  HLchlt 35420  LHypclh 36054  DVecHcdvh 37148  DIsoHcdih 37298  ocHcoch 37417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35023

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-oposet 35246  df-ol 35248  df-oml 35249  df-covers 35336  df-ats 35337  df-atl 35368  df-cvlat 35392  df-hlat 35421  df-llines 35568  df-lplanes 35569  df-lvols 35570  df-lines 35571  df-psubsp 35573  df-pmap 35574  df-padd 35866  df-lhyp 36058  df-laut 36059  df-ldil 36174  df-ltrn 36175  df-trl 36229  df-tendo 36825  df-edring 36827  df-disoa 37099  df-dvech 37149  df-dib 37209  df-dic 37243  df-dih 37299  df-doch 37418

This theorem is referenced by:  doch0  37428  doch1  37429  dochvalr2  37432  dochvalr3  37433  dochocss  37436  dochoc  37437  dochnoncon  37461