Theorem dochvalr 39758

Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochvalr.o	⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
dochvalr.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochvalr.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dochvalr.n	⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
dochvalr	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))

Proof of Theorem dochvalr

Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochvalr.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochvalr.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)) = (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))
5	1, 2, 3, 4	dihrnss 39679	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊)))
6		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (glb‘𝐾) = (glb‘𝐾)
8		dochvalr.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = (oc‘𝐾)
9		dochvalr.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10	6, 7, 8, 1, 3, 2, 4, 9	dochval 39752	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ⊆ (Base‘((DVecH‘𝐾)‘𝑊))) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}))))
11	5, 10	syldan 591	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}))))
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		hllat 37763	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
14	13	ad2antrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ Lat)
15		hlclat 37758	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ CLat)
16	15	ad2antrr 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝐾 ∈ CLat)
17		ssrab2 4035	. . . . . 6 ⊢ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)
18	6, 7	clatglbcl 18354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) ∈ (Base‘𝐾))
19	16, 17, 18	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) ∈ (Base‘𝐾))
20	6, 1, 3	dihcnvcl 39672	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
21	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾))
22		ssid 3964	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 ⊆ 𝑋
23	1, 3	dihcnvid2 39674	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
24	22, 23	sseqtrrid 3995	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → 𝑋 ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
25		fveq2 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (◡𝐼‘𝑋) → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)))
26	25	sseq2d 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (◡𝐼‘𝑋) → (𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))))
27	26	elrab 3643	. . . . . . 7 ⊢ ((◡𝐼‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ↔ ((◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋))))
28	20, 24, 27	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)})
29	6, 12, 7	clatglble 18366	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)})(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑋))
30	16, 21, 28, 29	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)})(le‘𝐾)(◡𝐼‘𝑋))
31		fveq2 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝐼‘𝑦) = (𝐼‘𝑧))
32	31	sseq2d 3974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
33	32	elrab 3643	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ↔ (𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
34	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) = 𝑋)
35	34	sseq1d 3973	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘𝑧) ↔ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
36		simpll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
37	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾))
38		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑧 ∈ (Base‘𝐾))
39	6, 12, 1, 3	dihord 39665	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘𝑧) ↔ (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
40	36, 37, 38, 39	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐼‘(◡𝐼‘𝑋)) ⊆ (𝐼‘𝑧) ↔ (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
41	35, 40	bitr3d 280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧) ↔ (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
42	41	biimpd 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧) → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
43	42	expimpd 454	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((𝑧 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑧)) → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
44	33, 43	biimtrid 241	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
45	44	ralrimiv 3140	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧)
46	6, 12, 7	clatleglb 18367	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (◡𝐼‘𝑋) ∈ (Base‘𝐾) ∧ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} ⊆ (Base‘𝐾)) → ((◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
47	16, 20, 21, 46	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) ↔ ∀𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)} (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)𝑧))
48	45, 47	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (◡𝐼‘𝑋)(le‘𝐾)((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}))
49	6, 12, 14, 19, 20, 30, 48	latasymd 18294	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}) = (◡𝐼‘𝑋))
50	49	fveq2d 6843	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → ( ⊥ ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)})) = ( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋)))
51	50	fveq2d 6843	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝐼‘( ⊥ ‘((glb‘𝐾)‘{𝑦 ∈ (Base‘𝐾) ∣ 𝑋 ⊆ (𝐼‘𝑦)}))) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))
52	11, 51	eqtrd 2777	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) → (𝑁‘𝑋) = (𝐼‘( ⊥ ‘(◡𝐼‘𝑋))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3062  {crab 3405   ⊆ wss 3908   class class class wbr 5103  ^◡ccnv 5630  ran crn 5632  ‘cfv 6493  Basecbs 17043  lecple 17100  occoc 17101  glbcglb 18159  Latclat 18280  CLatccla 18347  HLchlt 37750  LHypclh 38385  DVecHcdvh 39479  DIsoHcdih 39629  ocHcoch 39748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-riotaBAD 37353

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-tpos 8149  df-undef 8196  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-n0 12372  df-z 12458  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-0g 17283  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-p1 18275  df-lat 18281  df-clat 18348  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-lsm 19377  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lvec 20517  df-oposet 37576  df-ol 37578  df-oml 37579  df-covers 37666  df-ats 37667  df-atl 37698  df-cvlat 37722  df-hlat 37751  df-llines 37899  df-lplanes 37900  df-lvols 37901  df-lines 37902  df-psubsp 37904  df-pmap 37905  df-padd 38197  df-lhyp 38389  df-laut 38390  df-ldil 38505  df-ltrn 38506  df-trl 38560  df-tendo 39156  df-edring 39158  df-disoa 39430  df-dvech 39480  df-dib 39540  df-dic 39574  df-dih 39630  df-doch 39749

This theorem is referenced by:  doch0  39759  doch1  39760  dochvalr2  39763  dochvalr3  39764  dochocss  39767  dochoc  39768  dochnoncon  39792