Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dochvalr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dochvalr 40870
Description: Orthocomplement of a closed subspace. (Contributed by NM, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dochvalr.o βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
dochvalr.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dochvalr.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dochvalr.n 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
dochvalr (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))

Proof of Theorem dochvalr
Dummy variables 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dochvalr.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . . 4 ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š) = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 dochvalr.i . . . 4 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))
51, 2, 3, 4dihrnss 40791 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)))
6 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 eqid 2728 . . . 4 (glbβ€˜πΎ) = (glbβ€˜πΎ)
8 dochvalr.o . . . 4 βŠ₯ = (ocβ€˜πΎ)
9 dochvalr.n . . . 4 𝑁 = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
106, 7, 8, 1, 3, 2, 4, 9dochval 40864 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 βŠ† (Baseβ€˜((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š))) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}))))
115, 10syldan 589 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}))))
12 eqid 2728 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 hllat 38875 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
1413ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
15 hlclat 38870 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ CLat)
1615ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝐾 ∈ CLat)
17 ssrab2 4077 . . . . . 6 {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)
186, 7clatglbcl 18506 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1916, 17, 18sylancl 584 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
206, 1, 3dihcnvcl 40784 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
2117a1i 11 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ))
22 ssid 4004 . . . . . . . 8 𝑋 βŠ† 𝑋
231, 3dihcnvid2 40786 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
2422, 23sseqtrrid 4035 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)))
25 fveq2 6902 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (β—‘πΌβ€˜π‘‹) β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)))
2625sseq2d 4014 . . . . . . . 8 (𝑦 = (β—‘πΌβ€˜π‘‹) β†’ (𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦) ↔ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
2726elrab 3684 . . . . . . 7 ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} ↔ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
2820, 24, 27sylanbrc 581 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)})
296, 12, 7clatglble 18518 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ CLat ∧ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)})(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘‹))
3016, 21, 28, 29syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)})(leβ€˜πΎ)(β—‘πΌβ€˜π‘‹))
31 fveq2 6902 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜π‘¦) = (πΌβ€˜π‘§))
3231sseq2d 4014 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑧 β†’ (𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦) ↔ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
3332elrab 3684 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} ↔ (𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
3423adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) = 𝑋)
3534sseq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) βŠ† (πΌβ€˜π‘§) ↔ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
36 simpll 765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
3720adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
38 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
396, 12, 1, 3dihord 40777 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) βŠ† (πΌβ€˜π‘§) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4036, 37, 38, 39syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((πΌβ€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)) βŠ† (πΌβ€˜π‘§) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4135, 40bitr3d 280 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§) ↔ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4241biimpd 228 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4342expimpd 452 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((𝑧 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4433, 43biimtrid 241 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑧 ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4544ralrimiv 3142 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧)
466, 12, 7clatleglb 18519 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (β—‘πΌβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} βŠ† (Baseβ€˜πΎ)) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) ↔ βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4716, 20, 21, 46syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) ↔ βˆ€π‘§ ∈ {𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)} (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)𝑧))
4845, 47mpbird 256 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (β—‘πΌβ€˜π‘‹)(leβ€˜πΎ)((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}))
496, 12, 14, 19, 20, 30, 48latasymd 18446 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}) = (β—‘πΌβ€˜π‘‹))
5049fveq2d 6906 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ ( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)})) = ( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹)))
5150fveq2d 6906 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜((glbβ€˜πΎ)β€˜{𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∣ 𝑋 βŠ† (πΌβ€˜π‘¦)}))) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
5211, 51eqtrd 2768 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ ran 𝐼) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (πΌβ€˜( βŠ₯ β€˜(β—‘πΌβ€˜π‘‹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3058  {crab 3430   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5152  β—‘ccnv 5681  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  Basecbs 17189  lecple 17249  occoc 17250  glbcglb 18311  Latclat 18432  CLatccla 18499  HLchlt 38862  LHypclh 39497  DVecHcdvh 40591  DIsoHcdih 40741  ocHcoch 40860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-riotaBAD 38465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8240  df-undef 8287  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-0g 17432  df-proset 18296  df-poset 18314  df-plt 18331  df-lub 18347  df-glb 18348  df-join 18349  df-meet 18350  df-p0 18426  df-p1 18427  df-lat 18433  df-clat 18500  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19092  df-cntz 19282  df-lsm 19605  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20089  df-rng 20107  df-ur 20136  df-ring 20189  df-oppr 20287  df-dvdsr 20310  df-unit 20311  df-invr 20341  df-dvr 20354  df-drng 20640  df-lmod 20759  df-lss 20830  df-lsp 20870  df-lvec 21002  df-oposet 38688  df-ol 38690  df-oml 38691  df-covers 38778  df-ats 38779  df-atl 38810  df-cvlat 38834  df-hlat 38863  df-llines 39011  df-lplanes 39012  df-lvols 39013  df-lines 39014  df-psubsp 39016  df-pmap 39017  df-padd 39309  df-lhyp 39501  df-laut 39502  df-ldil 39617  df-ltrn 39618  df-trl 39672  df-tendo 40268  df-edring 40270  df-disoa 40542  df-dvech 40592  df-dib 40652  df-dic 40686  df-dih 40742  df-doch 40861
This theorem is referenced by:  doch0  40871  doch1  40872  dochvalr2  40875  dochvalr3  40876  dochocss  40879  dochoc  40880  dochnoncon  40904
  Copyright terms: Public domain W3C validator