Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmlplnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnmlplnN 39541
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l = (le‘𝐾)
llnmlpln.m = (meet‘𝐾)
llnmlpln.z 0 = (0.‘𝐾)
llnmlpln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnmlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llnmlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 771 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ¬ 𝑋 𝑌)
2 simp11 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 39365 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12 1205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋𝑁)
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 llnmlpln.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLines‘𝐾)
75, 6llnbase 39511 . . . . . . . 8 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp13 1206 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑃)
10 llnmlpln.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
115, 10lplnbase 39536 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 llnmlpln.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
145, 13latmcl 18485 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
153, 8, 12, 14syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp2r 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
17 simp3 1139 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
18 llnmlpln.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
19 llnmlpln.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
20 llnmlpln.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
215, 18, 19, 20, 6llnle 39520 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌) ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
222, 15, 16, 17, 21syl22anc 839 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
233adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
2415adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
258adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
265, 18, 13latmle1 18509 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
273, 8, 12, 26syl3anc 1373 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
2827adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
295, 6llnbase 39511 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑁𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
3029ad2antrl 728 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
31 simprr 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 (𝑋 𝑌))
325, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28lattrd 18491 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 𝑋)
33 simpl11 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simprl 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢𝑁)
35 simpl12 1250 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑁)
3618, 6llncmp 39524 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑢𝑁𝑋𝑁) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3832, 37mpbid 232 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 = 𝑋)
3938, 31eqbrtrrd 5167 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
405, 18, 23, 24, 25, 28, 39latasymd 18490 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
4122, 40rexlimddv 3161 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
425, 18, 13latleeqm1 18512 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
433, 8, 12, 42syl3anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
4441, 43mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 𝑌)
45443expia 1122 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋 𝑌))
461, 45mt3d 148 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  lecple 17304  meetcmee 18358  0.cp0 18468  Latclat 18476  Atomscatm 39264  HLchlt 39351  LLinesclln 39493  LPlanesclpl 39494
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-lat 18477  df-clat 18544  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator