Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmlplnN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llnmlplnN 38398
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnmlpln.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnmlpln.z 0 = (0.β€˜πΎ)
llnmlpln.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnmlpln.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
llnmlpln.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ)
2 simp11 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38222 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12 1204 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
5 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 llnmlpln.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
75, 6llnbase 38368 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 simp13 1205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
10 llnmlpln.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
115, 10lplnbase 38393 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 llnmlpln.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
145, 13latmcl 18389 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
153, 8, 12, 14syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simp2r 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
17 simp3 1138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
18 llnmlpln.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
19 llnmlpln.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
20 llnmlpln.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
215, 18, 19, 20, 6llnle 38377 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑁 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
222, 15, 16, 17, 21syl22anc 837 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑁 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
233adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2415adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
258adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
265, 18, 13latmle1 18413 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
273, 8, 12, 26syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
295, 6llnbase 38368 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝑁 β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
325, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28lattrd 18395 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ≀ 𝑋)
33 simpl11 1248 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
34 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑁)
35 simpl12 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
3618, 6llncmp 38381 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 ↔ 𝑒 = 𝑋))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 ↔ 𝑒 = 𝑋))
3832, 37mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 = 𝑋)
3938, 31eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
405, 18, 23, 24, 25, 28, 39latasymd 18394 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)
4122, 40rexlimddv 3161 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)
425, 18, 13latleeqm1 18416 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
433, 8, 12, 42syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
4441, 43mpbird 256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
45443expia 1121 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
461, 45mt3d 148 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208  LLinesclln 38350  LPlanesclpl 38351
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-llines 38357  df-lplanes 38358
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator