Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmlplnN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llnmlplnN 39068
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
llnmlpln.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
llnmlpln.z 0 = (0.β€˜πΎ)
llnmlpln.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
llnmlpln.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
llnmlpln.p 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ)
2 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38892 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12 1201 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
5 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
6 llnmlpln.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
75, 6llnbase 39038 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
9 simp13 1202 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
10 llnmlpln.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (LPlanesβ€˜πΎ)
115, 10lplnbase 39063 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ 𝑃 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 llnmlpln.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
145, 13latmcl 18431 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
153, 8, 12, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simp2r 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
17 simp3 1135 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
18 llnmlpln.l . . . . . . 7 ≀ = (leβ€˜πΎ)
19 llnmlpln.z . . . . . . 7 0 = (0.β€˜πΎ)
20 llnmlpln.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
215, 18, 19, 20, 6llnle 39047 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑁 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
222, 15, 16, 17, 21syl22anc 837 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑁 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
233adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2415adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
258adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
265, 18, 13latmle1 18455 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
273, 8, 12, 26syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
2827adantr 479 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ≀ 𝑋)
295, 6llnbase 39038 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ 𝑁 β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
31 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
325, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28lattrd 18437 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ≀ 𝑋)
33 simpl11 1245 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
34 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 ∈ 𝑁)
35 simpl12 1246 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
3618, 6llncmp 39051 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 ↔ 𝑒 = 𝑋))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑒 ≀ 𝑋 ↔ 𝑒 = 𝑋))
3832, 37mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑒 = 𝑋)
3938, 31eqbrtrrd 5167 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ 𝑋 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))
405, 18, 23, 24, 25, 28, 39latasymd 18436 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑒 ∈ 𝑁 ∧ 𝑒 ≀ (𝑋 ∧ π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)
4122, 40rexlimddv 3151 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)
425, 18, 13latleeqm1 18458 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
433, 8, 12, 42syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
4441, 43mpbird 256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) ∧ Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
45443expia 1118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (Β¬ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ))
461, 45mt3d 148 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃) ∧ (Β¬ 𝑋 ≀ π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  meetcmee 18303  0.cp0 18414  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878  LLinesclln 39020  LPlanesclpl 39021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator