Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmlplnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnmlplnN 39012
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l = (le‘𝐾)
llnmlpln.m = (meet‘𝐾)
llnmlpln.z 0 = (0.‘𝐾)
llnmlpln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnmlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llnmlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 770 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ¬ 𝑋 𝑌)
2 simp11 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 38836 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12 1202 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋𝑁)
5 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 llnmlpln.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLines‘𝐾)
75, 6llnbase 38982 . . . . . . . 8 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp13 1203 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑃)
10 llnmlpln.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
115, 10lplnbase 39007 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 llnmlpln.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
145, 13latmcl 18432 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
153, 8, 12, 14syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp2r 1198 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
17 simp3 1136 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
18 llnmlpln.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
19 llnmlpln.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
20 llnmlpln.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
215, 18, 19, 20, 6llnle 38991 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌) ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
222, 15, 16, 17, 21syl22anc 838 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
233adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
2415adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
258adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
265, 18, 13latmle1 18456 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
273, 8, 12, 26syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
2827adantr 480 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
295, 6llnbase 38982 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑁𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
31 simprr 772 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 (𝑋 𝑌))
325, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28lattrd 18438 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 𝑋)
33 simpl11 1246 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simprl 770 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢𝑁)
35 simpl12 1247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑁)
3618, 6llncmp 38995 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑢𝑁𝑋𝑁) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3832, 37mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 = 𝑋)
3938, 31eqbrtrrd 5172 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
405, 18, 23, 24, 25, 28, 39latasymd 18437 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
4122, 40rexlimddv 3158 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
425, 18, 13latleeqm1 18459 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
433, 8, 12, 42syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
4441, 43mpbird 257 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 𝑌)
45443expia 1119 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋 𝑌))
461, 45mt3d 148 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wrex 3067   class class class wbr 5148  cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  lecple 17240  meetcmee 18304  0.cp0 18415  Latclat 18423  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  LLinesclln 38964  LPlanesclpl 38965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator