Theorem llnmlplnN 39522

Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnmlpln.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnmlpln.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
llnmlpln.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
llnmlpln.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnmlpln.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llnmlpln.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnmlplnN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnmlplnN

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 770	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌)
2		simp11 1204	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 39347	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp12 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
5		eqid 2729	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		llnmlpln.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
7	5, 6	llnbase 39492	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9		simp13 1206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		llnmlpln.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
11	5, 10	lplnbase 39517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
12	9, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13		llnmlpln.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	5, 13	latmcl 18346	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15	3, 8, 12, 14	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16		simp2r 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )
17		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
18		llnmlpln.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19		llnmlpln.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
20		llnmlpln.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	5, 18, 19, 20, 6	llnle 39501	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)) → ∃𝑢 ∈ 𝑁 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
22	2, 15, 16, 17, 21	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ 𝑁 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
23	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
24	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
25	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
26	5, 18, 13	latmle1 18370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
27	3, 8, 12, 26	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
28	27	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
29	5, 6	llnbase 39492	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑁 → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
30	29	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
31		simprr 772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
32	5, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28	lattrd 18352	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 ≤ 𝑋)
33		simpl11 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
34		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 ∈ 𝑁)
35		simpl12 1250	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑁)
36	18, 6	llncmp 39505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → (𝑢 ≤ 𝑋 ↔ 𝑢 = 𝑋))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑢 ≤ 𝑋 ↔ 𝑢 = 𝑋))
38	32, 37	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 = 𝑋)
39	38, 31	eqbrtrrd 5116	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
40	5, 18, 23, 24, 25, 28, 39	latasymd 18351	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)
41	22, 40	rexlimddv 3136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)
42	5, 18, 13	latleeqm1 18373	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
43	3, 8, 12, 42	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
44	41, 43	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ≤ 𝑌)
45	44	3expia 1121	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 → 𝑋 ≤ 𝑌))
46	1, 45	mt3d 148	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∃wrex 3053   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  lecple 17168  meetcmee 18218  0.cp0 18327  Latclat 18337  Atomscatm 39246  HLchlt 39333  LLinesclln 39474  LPlanesclpl 39475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39159  df-ol 39161  df-oml 39162  df-covers 39249  df-ats 39250  df-atl 39281  df-cvlat 39305  df-hlat 39334  df-llines 39481  df-lplanes 39482

This theorem is referenced by: (None)