Theorem llnmlplnN 40736

Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
llnmlpln.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
llnmlpln.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
llnmlpln.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
llnmlpln.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnmlpln.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llnmlpln.p	⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnmlplnN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnmlplnN

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ¬ 𝑋 ≤ 𝑌)
2		simp11 1222	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
3	2	hllatd 40561	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simp12 1223	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ 𝑁)
5		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		llnmlpln.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
7	5, 6	llnbase 40706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9		simp13 1224	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ 𝑃)
10		llnmlpln.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
11	5, 10	lplnbase 40731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑃 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
12	9, 11	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13		llnmlpln.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	5, 13	latmcl 18626	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15	3, 8, 12, 14	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16		simp2r 1219	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )
17		simp3 1156	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)
18		llnmlpln.l	. . . . . . 7 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
19		llnmlpln.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
20		llnmlpln.a	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
21	5, 18, 19, 20, 6	llnle 40715	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)) → ∃𝑢 ∈ 𝑁 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
22	2, 15, 16, 17, 21	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → ∃𝑢 ∈ 𝑁 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
23	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
24	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
25	8	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
26	5, 18, 13	latmle1 18650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
27	3, 8, 12, 26	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
28	27	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≤ 𝑋)
29	5, 6	llnbase 40706	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑢 ∈ 𝑁 → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
30	29	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
31		simprr 785	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
32	5, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28	lattrd 18632	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 ≤ 𝑋)
33		simpl11 1267	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
34		simprl 783	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 ∈ 𝑁)
35		simpl12 1268	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ∈ 𝑁)
36	18, 6	llncmp 40719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) → (𝑢 ≤ 𝑋 ↔ 𝑢 = 𝑋))
37	33, 34, 35, 36	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑢 ≤ 𝑋 ↔ 𝑢 = 𝑋))
38	32, 37	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑢 = 𝑋)
39	38, 31	eqbrtrrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → 𝑋 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))
40	5, 18, 23, 24, 25, 28, 39	latasymd 18631	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢 ∈ 𝑁 ∧ 𝑢 ≤ (𝑋 ∧ 𝑌))) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)
41	22, 40	rexlimddv 3172	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)
42	5, 18, 13	latleeqm1 18653	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
43	3, 8, 12, 42	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
44	41, 43	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ≤ 𝑌)
45	44	3expia 1139	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (¬ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 → 𝑋 ≤ 𝑌))
46	1, 45	mt3d 149	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃) ∧ (¬ 𝑋 ≤ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  lecple 17447  meetcmee 18498  0.cp0 18607  Latclat 18617  Atomscatm 40460  HLchlt 40547  LLinesclln 40688  LPlanesclpl 40689

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-proset 18480  df-poset 18499  df-plt 18514  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-p0 18609  df-lat 18618  df-clat 18685  df-oposet 40373  df-ol 40375  df-oml 40376  df-covers 40463  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548  df-llines 40695  df-lplanes 40696

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