Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmlplnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnmlplnN 36667
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l = (le‘𝐾)
llnmlpln.m = (meet‘𝐾)
llnmlpln.z 0 = (0.‘𝐾)
llnmlpln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnmlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llnmlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ¬ 𝑋 𝑌)
2 simp11 1197 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 36492 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12 1198 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋𝑁)
5 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 llnmlpln.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLines‘𝐾)
75, 6llnbase 36637 . . . . . . . 8 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp13 1199 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑃)
10 llnmlpln.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
115, 10lplnbase 36662 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 llnmlpln.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
145, 13latmcl 17654 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
153, 8, 12, 14syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp2r 1194 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
17 simp3 1132 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
18 llnmlpln.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
19 llnmlpln.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
20 llnmlpln.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
215, 18, 19, 20, 6llnle 36646 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌) ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
222, 15, 16, 17, 21syl22anc 836 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
233adantr 483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
2415adantr 483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
258adantr 483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
265, 18, 13latmle1 17678 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
273, 8, 12, 26syl3anc 1365 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
2827adantr 483 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
295, 6llnbase 36637 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑁𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
31 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 (𝑋 𝑌))
325, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28lattrd 17660 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 𝑋)
33 simpl11 1242 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢𝑁)
35 simpl12 1243 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑁)
3618, 6llncmp 36650 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑢𝑁𝑋𝑁) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1365 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3832, 37mpbid 234 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 = 𝑋)
3938, 31eqbrtrrd 5081 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
405, 18, 23, 24, 25, 28, 39latasymd 17659 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
4122, 40rexlimddv 3289 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
425, 18, 13latleeqm1 17681 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
433, 8, 12, 42syl3anc 1365 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
4441, 43mpbird 259 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 𝑌)
45443expia 1115 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋 𝑌))
461, 45mt3d 150 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3014  wrex 3137   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  meetcmee 17547  0.cp0 17639  Latclat 17647  Atomscatm 36391  HLchlt 36478  LLinesclln 36619  LPlanesclpl 36620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-llines 36626  df-lplanes 36627
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator