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Theorem llnmlplnN 38002
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l = (le‘𝐾)
llnmlpln.m = (meet‘𝐾)
llnmlpln.z 0 = (0.‘𝐾)
llnmlpln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnmlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llnmlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 769 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ¬ 𝑋 𝑌)
2 simp11 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 37826 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12 1204 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋𝑁)
5 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 llnmlpln.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLines‘𝐾)
75, 6llnbase 37972 . . . . . . . 8 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp13 1205 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑃)
10 llnmlpln.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
115, 10lplnbase 37997 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 llnmlpln.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
145, 13latmcl 18329 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
153, 8, 12, 14syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp2r 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
17 simp3 1138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
18 llnmlpln.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
19 llnmlpln.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
20 llnmlpln.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
215, 18, 19, 20, 6llnle 37981 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌) ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
222, 15, 16, 17, 21syl22anc 837 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
233adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
2415adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
258adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
265, 18, 13latmle1 18353 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
273, 8, 12, 26syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
295, 6llnbase 37972 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑁𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
3029ad2antrl 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
31 simprr 771 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 (𝑋 𝑌))
325, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28lattrd 18335 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 𝑋)
33 simpl11 1248 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simprl 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢𝑁)
35 simpl12 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑁)
3618, 6llncmp 37985 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑢𝑁𝑋𝑁) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3832, 37mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 = 𝑋)
3938, 31eqbrtrrd 5129 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
405, 18, 23, 24, 25, 28, 39latasymd 18334 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
4122, 40rexlimddv 3158 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
425, 18, 13latleeqm1 18356 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
433, 8, 12, 42syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
4441, 43mpbird 256 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 𝑌)
45443expia 1121 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋 𝑌))
461, 45mt3d 148 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  meetcmee 18201  0.cp0 18312  Latclat 18320  Atomscatm 37725  HLchlt 37812  LLinesclln 37954  LPlanesclpl 37955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962
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