Theorem lazlinz 49727

Description: Construct an extended integer. (Contributed by AV, 25-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
lazlinz	⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆)))

Proof of Theorem lazlinz

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12736	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
3	2	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
4		zcn 12736	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝑆 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcld 11366	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐵 · 𝑆) ∈ ℂ)
9	3, 8	addcld 11365	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) ∈ ℂ)
10		oveq1 7456	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) = (𝐴 + (𝑏 · 𝑆)))
11	10	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → ((𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ↔ (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) = (𝐴 + (𝑏 · 𝑆))))
12		oveq1 7456	. . . . . 6 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝑏 · 𝑆) = (𝐵 · 𝑆))
13	12	oveq2d 7465	. . . . 5 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → (𝐴 + (𝑏 · 𝑆)) = (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)))
14	13	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝐵 → ((𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) = (𝐴 + (𝑏 · 𝑆)) ↔ (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) = (𝐴 + (𝐵 · 𝑆))))
15		simpl 488	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
16	15	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐴 ∈ ℤ)
17		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → 𝐵 ∈ ℤ)
18		eqidd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) = (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)))
19	11, 14, 16, 17, 18	2rspcedvdw 3593	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
20		ellaz 49720	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆) ↔ ((𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))))
21	20	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → ((𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆) ↔ ((𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) ∈ ℂ ∧ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))))
22	9, 19, 21	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) → (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆))
23	22	ex 418	1 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 + (𝐵 · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235   + caddc 11240   · cmul 11242  ℤcz 12731  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-pr 5396  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-addcl 11297  ax-mulcl 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fv 6572  df-ov 7452  df-neg 11581  df-z 12732  df-laz 49718

This theorem is used by:  laznegcl  49730  lazmulzcl  49731  lazaddcl  49732