Theorem adcnellaz 49726

Description: The adjoined complex number is an extended integer. (Contributed by AV, 25-Oct-2026.)

Assertion

Ref	Expression
adcnellaz	⊢ (𝑆 ∈ ℂ → 𝑆 ∈ (Z[]l‘𝑆))

Proof of Theorem adcnellaz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mullid 11344	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (1 · 𝑆) = 𝑆)
2		1z 12764	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		adcnmulzlaz 49725	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℤ) → (1 · 𝑆) ∈ (Z[]l‘𝑆))
4	2, 3	mpan2 704	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (1 · 𝑆) ∈ (Z[]l‘𝑆))
5	1, 4	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → 𝑆 ∈ (Z[]l‘𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  1c1 11238   · cmul 11242  ℤcz 12731  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ov 7452  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-ltxr 11385  df-neg 11581  df-nn 12374  df-z 12732  df-laz 49718

This theorem is used by:  bru3sqez  49752