Theorem lazaddcl 49732

Description: The extended integers are closed under addition. (Contributed by AV, 25-Oct-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
laznegcl.r	⊢ 𝑅 = (Z[]l‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
lazaddcl	⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅))

Proof of Theorem lazaddcl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		laznegcl.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Z[]l‘𝑆)
2	1	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑅 ↔ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆))
3	1	eleq2i 2856	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑅 ↔ 𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆))
4	2, 3	anbi12i 640	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) ↔ (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆)))
5		ellazim 49721	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)))
6	5	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) → ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))))
7		ellazim 49721	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)))
8	7	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆) → ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))))
9		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑆 ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑆 ∈ ℂ)
11		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
12	11	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℤ)
13		simpl 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑐 ∈ ℤ)
14		zaddcl 12774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑐 ∈ ℤ) → (𝑎 + 𝑐) ∈ ℤ)
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑎 + 𝑐) ∈ ℤ)
16		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
17	16	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℤ)
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → 𝑑 ∈ ℤ)
19		zaddcl 12774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ) → (𝑏 + 𝑑) ∈ ℤ)
20	17, 18, 19	syl2an 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑏 + 𝑑) ∈ ℤ)
21	15, 20	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + 𝑐) ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ ℤ))
22		lazlinz 49727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (((𝑎 + 𝑐) ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ ℤ) → ((𝑎 + 𝑐) + ((𝑏 + 𝑑) · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆)))
23	10, 21, 22	sylc 66	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + 𝑐) + ((𝑏 + 𝑑) · 𝑆)) ∈ (Z[]l‘𝑆))
24		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
25	24	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑎 ∈ ℂ)
27		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
28	27	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
29	28	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
30	29, 10	mulcld 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑏 · 𝑆) ∈ ℂ)
31		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ℤ → 𝑐 ∈ ℂ)
32	31	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑐 ∈ ℂ)
33		zcn 12736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑑 ∈ ℤ → 𝑑 ∈ ℂ)
34	33	ad2antll 742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑑 ∈ ℂ)
35	34, 10	mulcld 11366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝑑 · 𝑆) ∈ ℂ)
36	26, 30, 32, 35	add4d 11576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) + (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) = ((𝑎 + 𝑐) + ((𝑏 · 𝑆) + (𝑑 · 𝑆))))
37	29, 34, 10	adddird 11371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑏 + 𝑑) · 𝑆) = ((𝑏 · 𝑆) + (𝑑 · 𝑆)))
38	37	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑏 · 𝑆) + (𝑑 · 𝑆)) = ((𝑏 + 𝑑) · 𝑆))
39	38	oveq2d 7465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + 𝑐) + ((𝑏 · 𝑆) + (𝑑 · 𝑆))) = ((𝑎 + 𝑐) + ((𝑏 + 𝑑) · 𝑆)))
40	36, 39	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) + (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) = ((𝑎 + 𝑐) + ((𝑏 + 𝑑) · 𝑆)))
41	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → 𝑅 = (Z[]l‘𝑆))
42	23, 40, 41	3eltr4d 2879	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) + (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) ∈ 𝑅)
43		oveq12 7458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∧ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) → (𝐴 + 𝐵) = ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) + (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))))
44	43	eleq1d 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∧ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) + (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) ∈ 𝑅))
45	44	ancoms 464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → ((𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅 ↔ ((𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) + (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) ∈ 𝑅))
46	42, 45	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → ((𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) ∧ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅))
47	46	expd 421	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) ∧ (𝑐 ∈ ℤ ∧ 𝑑 ∈ ℤ)) → (𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅)))
48	47	rexlimdvva 3223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅)))
49	48	com23 87	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℂ ∧ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ)) → (𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅)))
50	49	rexlimdvva 3223	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) → (∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅)))
51	50	impd 416	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑎 + (𝑏 · 𝑆)) ∧ ∃𝑐 ∈ ℤ ∃𝑑 ∈ ℤ 𝐵 = (𝑐 + (𝑑 · 𝑆))) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅))
52	6, 8, 51	syl2and 620	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ (Z[]l‘𝑆) ∧ 𝐵 ∈ (Z[]l‘𝑆)) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅))
53	4, 52	biimtrid 245	1 ⊢ (𝑆 ∈ ℂ → ((𝐴 ∈ 𝑅 ∧ 𝐵 ∈ 𝑅) → (𝐴 + 𝐵) ∈ 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235   + caddc 11240   · cmul 11242  ℤcz 12731  Z[]lclaz 49717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-er 8753  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-laz 49718

This theorem is used by:  lazsubcl  49733  lazmulcl  49734  lazcjcl  49735  ezsubrg  49753